1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 08 函数与几何综合问题函数与几何综合问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年苏州中考第 25 题）如图，A 为反比例函数 y= （其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上 有一点 B，OB4连接 OA，AB，且 OAAB210 （1）求 k 的值； （2） 过点B作BCOB， 交反比例函数y= （其中x0） 的图象于点C， 连接OC交AB于点D， 求 的值 【分析】 （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，利用等腰三
2、角形的性质可得出 DH 的长，利用勾股定理可得出 AH 的长，进而可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征 即可求出 k 值； （2）由 OB 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 BC 的长，利用三角形中位线定理可求出 MH 的长， 进而可得出 AM 的长， 由 AMBC 可得出ADMBDC， 利用相似三角形的性质即可求出 的值 【解析】 （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，如图所示 OAAB，AHOB， OHBH= 1 2OB2， AH= 2 2=6， 点 A 的坐标为（2，6） A 为反比例函数 y= 图象上的一点， k2612
3、 （2）BCx 轴，OB4，点 C 在反比例函数 y= 12 上， BC= =3 AHBC，OHBH， MH= 1 2BC= 3 2， AMAHMH= 9 2 AMBC， ADMBDC， = = 3 2 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判 定与性质，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点 A 的坐标； （2）利用相似三 角形的性质求出 的值 2 （2019 年徐州中考第 28 题）如图，平面直角坐标系中，O 为原点，点 A、B 分别在 y 轴、x 轴的正半轴 上AOB 的两条外角平分线交于点 P，P 在反比例函数 y
4、= 9 的图象上PA 的延长线交 x 轴于点 C，PB 的延长线交 y 轴于点 D，连接 CD （1）求P 的度数及点 P 的坐标； （2）求OCD 的面积； （3）AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）如图，作 PMOA 于 M，PNOB 于 N，PHAB 于 H利用全等三角形的性质解决问题 即可 （2）设 OAa，OBb，则 AMAH3a，BNBH3b，利用勾股定理求出 a，b 之间的关系，求 出 OC，OD 即可解决问题 （3）设 OAa，OBb，则 AMAH3a，BNBH3b，可得 AB6ab，推出 OA+OB+AB 6，可得 a+b
5、+2+ 2=6，利用基本不等式即可解决问题 【解析】 （1）如图，作 PMOA 于 M，PNOB 于 N，PHAB 于 H PMAPHA90， PAMPAH，PAPA， PAMPAH（AAS） ， PMPH，APMAPH， 同理可证：BPNBPH， PHPN，BPNBPH， PMPN， PMOMONPNO90， 四边形 PMON 是矩形， MPN90， APBAPH+BPH= 1 2（MPH+NPH）45， PMPN， 可以假设 P（m，m） ， P（m，m）在 y= 9 上， m29， m0， m3， P（3，3） （2）设 OAa，OBb，则 AMAH3a，BNBH3b， AB6ab， A
6、B2OA2+OB2， a2+b2（6ab）2， 可得 ab6a+6b18， 3a+3b9= 1 2ab， PMOC， = ， 3 = 3;， OC= 3 3，同法可得 OD= 3 3， SCOD= 1 2OCDO= 1 2 9 (3;)(3;) = 1 2 9 9;3;3: = 1 2 9 ;1 2: =9 解法二：证明COPPOD，得 OCODOP218，可求COD 的面积等于 9 （3）设 OAa，OBb，则 AMAH3a，BNBH3b， AB6ab， OA+OB+AB6， a+b+2+ 2=6， 2 + 2 6， （2+2） 6， 3（22） ， ab54362， SAOB= 1 2ab
7、27182， AOB 的面积的最大值为 27182 点评：本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中 考压轴题 3 （2019 年无锡中考副卷第 26 题）如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y= （x0）的图象相交 于点 A（1，m） ，与 x 轴相交于点 B （1）求这个反比例函数的表达式； （2）C 为反比例函数的图象上异于点 A 的一点，直线 AC 交 x 轴于点 D，设直线 AC 所对应的函数表达 式为 ynx+b 若ABD 的面积为 12，
8、求 n、b 的值； 作 CEx 轴，垂足为 E，记 tOEDE，求 nt 的值 【分析】 （1）直接利用 A 点横坐标代入 yx+3 求出 m 的值，进而得出 k 的值； （2）直接利用ABD 的面积为 12，得出 BD 的长进而得出 D 点坐标，再利用待定系数法求出函数解 析式即可得出答案； 根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出 E 点坐标，得出 EO，ED 的长进而得出答案 【解析】 （1）把 x1 代入 yx+3，得 y4， m4， A 点坐标为： （1，4） ， k4， 则反比例函数表达式为：y= 4 ； （2）ABD 的面积为 12，A（1，4） ， BD6， 把 y0 代入 y
9、x+3，得 x3， B 点坐标为： （3，0） ， D 点的坐标为： （3，0） ， 把 x1，y4；x3，y0，分别代入 ynx+b， + = 4 3 + = 0 解得： = 2 = 6 ， 把 x1，y4 代入得：n+b4，得 b4n， 令 y0，得 x= 4 ， 点 D 的坐标为： （;4 ，0） ， 当4 =nx+4n 时， 解得：x11，x2= 4 ， 点 E 的坐标为： （ 4 ，0） ， OE= 4 ， DE= 4 （ 4 ）1， tOEDE= 4 ， nt4 点评：此题主要考查了反比例函数综合以及一次函数与反比例函数的交点求法等知识，正确表示出 EO， DE 的长是解题关键 4
10、 （2018 年无锡中考第 28 题）已知：如图，一次函数 ykx1 的图象经过点 A（35，m） （m0） ，与 y 轴交于点 B点 C 在线段 AB 上，且 BC2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D若 ACCD （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（ 45 5 ，0） ，求这条抛物线的函数表达式 【分析】 （1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求 AC 和 m （2）由APQ90，构造PQDAPE 构造方程求点 P 坐标可求二次函数解析式 【解析
11、】 （1）过点 A 作 AFx 轴，过点 B 作 BFCD 于 H，交 AF 于点 F，过点 C 作 CEAF 于点 E 设 ACn，则 CDn 点 B 坐标为（0，1） CHn+1，AFm+1 CHAF，BC2AC = = 2 3 即： :1 :1 = 2 3 整理得： n= 21 3 RtAEC 中， CE2+AE2AC2 5+（mn）2n2 把 n= 21 3 代入 5+（m 21 3 ）2（2;1 3 ）2 解得 m15，m23（舍去） n3 把 A（35，5）代入 ykx1 得 k= 25 5 y= 25 5 x1 （2）如图，过点 A 作 AECD 于点 E 设点 P 坐标为（25
12、，n） ，由已知 n0 由已知，PDx 轴 PQDAPE = 145 5 = ;5 5 解得 n17，n22（舍去） 设抛物线解析式为 ya（xh）2+k ya（x25）2+7 把 A（35，5）代入 ya（x25）2+7 解得 a= 2 5 抛物线解析式为：y= 2 5 2 + 85 5 1 点评：本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造 方程，求出未知量 5 （2018 年泰州中考第 26 题）平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1 （x0）的 图象上，点 A与点 A 关于点 O 对称，一次函数 y2mx+n 的图象
13、经过点 A （1）设 a2，点 B（4，2）在函数 y1、y2的图象上 分别求函数 y1、y2的表达式； 直接写出使 y1y20 成立的 x 的范围； （2）如图，设函数 y1、y2的图象相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，AAB 的面积为 16，求 k 的值； （3）设 m= 1 2，如图，过点 A 作 ADx 轴，与函数 y2 的图象相交于点 D，以 AD 为一边向右侧作正 方形 ADEF，试说明函数 y2的图象与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1的图象上 【分析】 （1）由已知代入点坐标即可； （2）面积问题可以转化为AOB 面积，用 a、k 表示面积问题可解； （3）设出点
14、A、A坐标，依次表示 AD、AF 及点 P 坐标 【解析】 （1）由已知，点 B（4，2）在 y1 （x0）的图象上 k8 y1= 8 a2 点 A 坐标为（2，4） ，A坐标为（2，4） 把 B（4，2） ，A（2，4）代入 y2mx+n 2 = 4 + 4 = 2 + 解得 = 1 = 2 y2x2 当 y1y20 时，y1= 8 图象在 y2x2 图象上方，且两函数图象在 x 轴上方 由图象得：2x4 （2）分别过点 A、B 作 ACx 轴于点 C，BDx 轴于点 D，连 BO O 为 AA中点 SAOB= 1 2SABA8 点 A、B 在双曲线上 SAOCSBOD SAOBS四边形AC
15、DB8 由已知点 A、B 坐标都表示为（a， ） （3a， 3） 1 2 ( 3 + ) 2 = 8 解得 k6 （3）由已知 A（a， ） ，则 A为（a， ） 把 A代入到 y= 1 2 + = 1 2 + n= 1 2 AD 解析式为 y= 1 2 + 1 2 当 xa 时，点 D 纵坐标为 AD= 2 ADAF， 点 F 和点 P 横坐标为 + 2 = 2 点 P 纵坐标为1 2 2 + 1 2 = 1 2 点 P 在 y1 （x0）的图象上 点评：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定 系数法和数形结合思想 6 （2018 年镇江中考第
16、25 题）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A（9，0） ， B（0，6）两点，过点 C（2，0）作直线 l 与 BC 垂直，点 E 在直线 l 位于 x 轴上方的部分 （1）求一次函数 ykx+b（k0）的表达式； （2）若ACE 的面积为 11，求点 E 的坐标； （3）当CBEABO 时，点 E 的坐标为 （11，3） 【分析】 （1）利用待定系数法求出直线表达式； （2）先确定出直线 l 的解析式，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出ABOEBC，得出 = = 2 3，再判断出BOCCFE，即可求出 CF，EF 即可 得出结
17、论 【解析】 （1）一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A（9，0） ，B（0，6）两点， 9 + = 0 = 6 ， = 2 3 = 6 ， 一次函数 ykx+b 的表达式为 y= 2 3x+6； （2）如图，记直线 l 与 y 轴的交点为 D， BCl， BCD90BOC， OBC+OCBOCD+OCB， OBCOCD， BOCCOD， OBCOCD， = ， B（0，6） ，C（2，0） ， OB6，OC2， 6 2 = 2 ， OD= 2 3， D（0， 2 3） ， C（2，0） ， 直线 l 的解析式为 y= 1 3x 2 3， 设 E（t，1 3t 2
18、3） ， A（9，0） ，C（2，0） ， SACE= 1 2ACyE= 1 2 11（1 3t 2 3）11， t8， E（8，2） ； （3）如图，过点 E 作 EFx 轴于 F，连接 BE， ABOCBE，AOBBCE90 ABOEBC， = = 2 3， BCE90BOC， BCO+CBOBCO+ECF， CBOECF， BOCEFC90， BOCCFE， = = = 2 3， 6 = 2 = 2 3， CF9，EF3， OF11， E（11，3） 故答案为（11，3） 点评：此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质， 求出 CF9，EF3 是
19、解本题的关键 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2019常州二模）小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组建了三人探究小 组，探究小组对以下问题有了发现： 如图 b，已知一次函数 yx+1 的图象分别与 x 轴和 y 轴相交于点 E、F过一次函数 yx+1 的图象上的 动点 P 作 PBx 轴，垂足是 B，直线 BP 交反比例函数 y= 1 2的图象于点 Q过点 Q 作 QCy 轴，垂 足是 C，直线 QC 交一次函数 yx+1 的图象于点 A当点 P 与点 E 重合时（如图 a） ，POA 的度数是 一个确定的值 请你加入该小组，继续探究： （1）当点
20、 P 与点 E 重合时，POA 45 ； （2）当点 P 不与点 E 重合时， （1）中的结论还成立吗？如果成立说明理由；如果不成立，说明理由并 求出POA 的度数 【分析】 （1）求出点 Q（1， 1 2） ，点 A 在一次函数上 yx+1 上，当 y= 1 2时，x= 1 2，即点 A（ 1 2， 1 2） ， 即可求解； （2）分点 P 在射线 FE 上（不包括端点 F） 、点 P 在射线端点 F 处、点 P 在射线 FE 反向延长线上（不 包括端点 F） ，三种情况分别求解 【解析】 （1）yx+1，令 x0，则 y1，令 y0，则 x1， 即点 P（1，0） 、点 F（0，1） ，
21、当 x1 时，y= 1 2 = 1 2，即点 Q（1， 1 2） ， 点 A 在一次函数上 yx+1 上，当 y= 1 2时，x= 1 2，即点 A（ 1 2， 1 2） ， 则 ACOC= 1 2，故ACO45， 故答案为 45； （2）当点 P 在射线 FE 上（不包括端点 F）时， 由直线 yx+1 得PEO45， 设 P（a，a+1） ，则 Q（a， 1 2） ，PQ= 1 2 a1，AF= 2（1+ 1 2） PA= 2（ 1 2 a1） ，PFPA+AF= 2a， PAPF2a2+2a+1， OP2 a2+（a+1）22a2+2a+1 PAPFOP2， 又APOOPF， PAOPO
22、F， POAPEO45； 当点 P 在射线端点 F 处时，直线 PB 与双曲线无交点，不构成POA； 当点 P 在射线 FE 反向延长线上（不包括端点 F）时， 同理可得AEOOFP， AOE+POF45， POA135 2 （2020海门市校级模拟） 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y= （x0） 的图象交于点 P （n， 2） ，与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C，PBx 轴于点 B，且 ACBC （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 kx+b 的 x 的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为
23、菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不 存在，说明理由 【分析】 （1）先根据题意得出 P 点坐标，再将 A、P 两点的坐标代入 ykx+b 求出 kb 的值，故可得出一 次函数的解析式，把点 P（4，2）代入反比例函数 y= 即可得出 m 的值，进而得出结论； （2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可； （3）根据菱形的性质即可得出结论 【解析】 （1）ACBC，COAB，A（4，0） ， O 为 AB 的中点，即 OAOB4， P（4，2） ，B（4，0） ， 将 A（4，0）与 P（4，2）代入 ykx+b 得： 4 + = 0 4 + = 2
24、， 解得： = 1 4 = 1 ， 一次函数解析式为 y= 1 4x+1， 将 P（4，2）代入反比例解析式得：m8，即反比例解析式为 y= 8 （2）观察图象可知，kx+b 时，x 的取值范围 0x4 （3）如图所示， 点 C（0，1） ，B（4，0） BC= 42+ 12= 17，PC= 17， 以 BC、PC 为边构造菱形， 四边形 BCPD 为菱形， PB 垂直且平分 CD， PBx 轴，P（4，2） ， 点 D（8，1） 3 （2019滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx+b 经过点 A（4，0） 、B（0，2） ，点 P 是 x 轴正半轴上的动点，过点 P 作 PCx
25、 轴，交直线 AB 于点 C，以 OA、AC 为边构造平行四边形 OACD设 点 P 的横坐标为 m （1）若四边形 OACD 恰是菱形，请求出 m 的值； （2）在（1）的条件下，y 轴上是否存在点 Q，连结 CQ，使得OQC+ODC180？若存在，请求出 所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先根据OABPAC，由比例线段用 m 表示 PC 与 AP，再由勾股定理，用 m 表示 AC， 最后根据菱形的性质得 OAAC，由此列出 m 的方程便可求得 m； （2）设 Q（0，n） ，分两种情况分别由OABCQB 和PQOBAO 的比例线段列出 n 的方程，分 别求
26、出 n 的值便可 【解析】 （1）A（4，0） 、B（0，2） ， OA4，OB2， AP4m， PCOB， OABPAC， = ，即 2 = 4; 4 ， PC2 1 2 ， AC= 2+ 2= 5 2 |4 |， 四边形 OACD 恰是菱形， OAAC，即 5 2 |4m|4， 解得，m= 2085 5 ； （2）存在，设点 Q 的坐标为（0，n） ， 当 m= 2085 5 时，如图 1 所示 四边形 OACD 恰是菱形， ODCCAO， CDO+OQC180，OQC+BQC180， BQCBAO， QBCABO， BQCBAO， = ， ACAO4，AB= 22+ 42= 25， BC
27、ABAC25 4， BQ= =1045， 2n1045， n45 8， Q（0，45 8） 当 m= 20+85 5 时，如图 2 所示， 四边形 OACD 恰是菱形， ODCCAO， CDO+OQC180，OAC+OAB180， OQCBAO， AOBPOQ90， PQOBAO， = ，即 2 20+85 5 = 4 |， 解得，n= 40+165 5 或 40+165 5 ， 此时，Q（0，40:165 5 ）或（0， 40+165 5 ） 综上，Q 点的坐标为（0，45 8）或（0，40:165 5 ）或（0， 40+165 5 ） 4 （2019苏州一模）如图 1，在平面直角坐标系中，
28、一次函数 y= 4 3x+8 的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交 于点 B，点 C 是 x 轴正半轴上的一点，以 OA，OC 为边作矩形 AOCD，直线 AB 交 OD 于点 E，交直线 DC 于点 F （1）如图 2，若四边形 AOCD 是正方形 求证：AOECOE； 过点 C 作 CGCE，交直线 AB 于点 G求证：CGFG （2）是否存在点 C，使得CEF 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由四边形 AOCD 是正方形知 AOCO，AODEOC，据此依据“SAS”可证得AOE COE； ECB+CBG90，CBGBCG，在 RtBCF
29、中，BCG+FCG90，CBG+CFB 90，利用角的代换得到GCFCFG，即可解题； （2）设 C（m，0） ，则可表示出 F（m， 4 3m+8） ，D（m，8） ，E（ 6 6:， 48 6:） ，利用勾股定理分别求 出 EC2= 4+482 (6+)2 ，CF2= 16(6)2 9 ，EF2= 254 9(6+)2；然后分三种情况进行讨论： 当 ECEF 时， 4:482 (6:)2 = 254 9(6:)2；当 CFEF 时， 16(6;)2 9 = 254 9(6:)2；当 ECEF 时， 4:482 (6:)2 = 254 9(6:)2； 【解析】 （1）四边形 AOCD 是正方
30、形 AOCO，AODEOC， AOECOE（SAS） ； AOECOE， OABECB， OAB+OBAOAB+CBG90， ECB+CBG90， CGCE， CBGBCG， BGCG， 在 RtBCF 中，BCG+FCG90，CBG+CFB90， GCFCFG， CGGF； （2）设 C（m，0） ，F（m， 4 3m+8） ，D（m，8） ， 直线 OD 的解析式为 y= 8 x， 两直线 y= 8 x 与 y= 4 3x+8 的交点为 E， 8 x= 4 3x+8， x= 6 6+， E（ 6 6:， 48 6:） ， EC2= 4+482 (6+)2 ，CF2= 16(6)2 9 ，E
31、F2= 254 9(6+)2， 当 ECCF 时， 4:482 (6:)2 = 16(6;)2 9 ， m= 24 7 14； EC8+ 3214 7 ； 当 CFEF 时，16(6;) 2 9 = 254 9(6:)2， m4； CF= 8 3； 当 ECEF 时， 4:482 (6:)2 = 254 9(6:)2， m6； 此时 C 与 F 重合，不合题意； 综上所述：m4 或 m= 24 7 14时CEF 是等腰三角形，腰长分别为8 3或8+ 3214 7 ； 【题组二】【题组二】 5 （2019金湖县二模）已知，A（0，8） ，B（4，0） ，直线 yx 沿 x 轴作平移运动，平移时交
32、 OA 于 D， 交 OB 于 C （1）当直线 yx 从点 O 出发以 1 单位长度/s 的速度匀速沿 x 轴正方向平移，平移到达点 B 时结束运 动，过点 D 作 DEy 轴交 AB 于点 E，连接 CE，设运动时间为 t（s） 是否存在 t 值， 使得CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果能， 请直接写出相应的 t 值； 如果不能， 请说明理由 将CDE 沿 DE 翻折后得到FDE，设EDF 与ADE 重叠部分的面积为 y（单位长度的平方） 求 y 关于 t 的函数关系式及相应的 t 的取值范围； （2）若点 M 是 AB 的中点，将 MC 绕点 M 顺时针旋转 90得到 MN，连接
33、 AN，请直接写出 AN+MN 的 最小值 【分析】 （1）求出 AB 直线解析式，设出移动后的直线 yx+t，当 CDCE 时，当 CDDE 时分别求 出 t 的值； （2）0t2 时，ySEFDt2+4t；当 2t4 时，DF 所在直线解析式为 yx+t，得到 DFAB，作 GPDE，FQDE，由 = ； （3） N 的运动轨迹在 x2 的线段上， 当 t0 时 AN+MN 最小 N （2， 6） ， AN+MN 最小值 22 +25 【解析】 （1）设过 A（0，8） ，B（4，0）两点的直线解析式为 ykx+b， y2x+8， 直线 yx 从点 0 出发以 1 单位长度/s 的速度匀速
34、沿 x 轴正方向平移， 此时函数解析式为 yx+t， D（0，t） ，E（4 1 2t，t） ，C（t，0） ， 当 CDCE 时， 2t2（4 3 2t） 2+t2， t8 或 t= 8 5， 当 CDDE 时， DE|4 1 2t|，CD= 2t， |4 1 2t|= 2t， t= 1628 7 ，或 t= 8162 7 ， 0t3， t= 8 5或 t= 1628 7 ； CDE 沿 DE 翻折后得到FDE， F（t，2t） ， 当 F 在直线 AB 上时，t2， 0t2 时， ySEFD= 1 2 （4 1 2t）t= 1 4t 2+2t， 当 2t4 时， DF 所在直线解析式为 y
35、x+t， DFAB， 作 GPDE，FQDE， FQt，DQt，GP2PE，DE4 1 2t， = ， GP= 8 3 ， y= 1 2 （4 1 2t） 8 3 = 1 12t 24 3t+ 16 3 ； （2）如图 3： 过点 M 作 MEx 轴，交 x 轴于 E 点； 过点 M 作 y 轴垂线，过 N 做 x 轴垂线， 相交于点 F； 过点 M 做 AB 直线的垂线， NMCNMG+CMG90， GMBGMC+CMB90， NMGCMB， FHx 轴， CBAHMB， FMGKMH，KMH+HMB90，BME+MBE90， BMEKMHFMG， CMENMF， 在 RtNMF 和 RtC
36、ME 中，MNMC，CMENMF， RtNMF 和 RtCME（AAS） ， MFME， 点 M 是 AB 的中点， M（2，4） ， MEMF4， N 在 NF 所在直线上运动， N 点横坐标是2， 如图：作 A 点关于直线 x2 的对称点 A，连接 AM 与 x2 交点为 N， 此时 AN+NM 的值最小； A（4，8） ， AM= 213； AN+MN 的最小值213； 6 （2019江阴市模拟）如图，直线 y= 3 3 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB 上一点，四边形 OEDC 是平行四边形 （1）当四边形 OEDC 是菱形，求OAE
37、 的面积； （2）设点 D 的横坐标为 x，OAE 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式； （3）若OAE 为直角三角形，求点 D 的坐标 【分析】 （1） 延长 DE 交 OA 于 F， 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 A， B 的坐标， 在 RtAOB 中，由 OA，OB 的长可得出OBA60，由 C 是 OB 的中点结合菱形的性质可得出 DE 的长及EOF 的度数，进而可得出 EF 的长，再利用三角形的面积公式可求出OAE 的面积； （2）设点 D 的坐标为（x， 3 3 x+4） ，则点 E 的坐标为（x， 3 3 x+2） ，分 0x23或 23x43两 种情况可求出
38、 S 关于 x 的函数关系式； （3） 由点 A， O， E 的坐标可得出 OA2， AE2， OE2 的值， 分AOE90， AEO90及OAE90 三种情况，利用勾股定理可得出关于 x 的一元二次方程（或一元一次方程） ，解之取其大于 0 小于等于 43的值即可得出结论 【解析】 （1）延长 DE 交 OA 于 F，如图 1 所示 当 x0 时，y= 3 3 x+44， 点 B 的坐标为（0，4） ； 当 y0 时， 3 3 x+40， 解得：x43， 点 A 的坐标为（43，0） 在 RtAOB 中，tanOBA= = 43 4 = 3， OBA60 C 是 OB 的中点， OCCB2
39、四边形 OEDC 是菱形， CDBCDECE2，CDOE， BCD 为等边三角形， BCD60， COE60， EOF30， EF= 1 2OE1， SOAE= 1 2OAEF= 1 2 43 123 （2）设点 D 的坐标为（x， 3 3 x+4） ，则点 E 的坐标为（x， 3 3 x+2） ， 分两种情况考虑，如图 2 所示： 当 0x23时，S= 1 2OAyE= 1 2 43 （ 3 3 x+2）2x+43； 当 23x43时，S= 1 2OA （yE）= 1 2 43 （ 3 3 x2）2x43 S 关于 x 的函数关系式为 S= 2 + 43(0 23) 2 43(23 43)
40、（3）点 A 的坐标为（43，0） ，点 O 的坐标为（0，0） ，点 E 的坐标为（x， 3 3 x+2） ， OA248，OE2（x0）2+（ 3 3 x+20）2= 4 3x 243 3 x+4，AE2（x43）2+（ 3 3 x+20） 2=4 3x 2283 3 x+52 分三种情况考虑： 当AOE90时，AE2OA2+OE2，即4 3x 2283 3 x+5248+ 4 3x 243 3 x+4， 解得：x0（舍去） ； 当AEO90时，OA2OE2+AE2，即 48= 4 3x 243 3 x+4+ 4 3x 2283 3 x+52， 整理，得：x243x+30， 解得：x123
41、 3，x223 +3， 点 D 的坐标为（23 3，2+3）或（23 +3，23） ； 当OAE90时，OE2OA2+AE2，即4 3x 243 3 x+448+ 4 3x 2283 3 x+52， 整理，得：83x1000， 解得：x43， 点 D 的坐标为（43，0） 综上所述：当OAE 为直角三角形时，点 D 的坐标为（23 3，2+3） 、 （23 +3，23）或（43， 0） 7 （2019宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（4，0） ，B（0，2） ，C（1，0） ，P（0，m） 为 y 轴正半轴上的动点，连接 CP，过 P 作 CP 的垂线，交直线 AB 于点 M，交 x 轴于 E，过点 M 作 MN y 轴，垂足为 N （1）求直线 AB 对应的函数表达式； （2）随着 m 取不同值，线段 PN 的长度是否发生改变？若不变，求出 PN 的长，若改变，求出 PN 的取 值范围 （3）作 B 关于 x 轴的对称点 D，设 SCMES1，SCDPS2，求1 2的取值范围 【分析】 （1）直接利用待定系数法即可得出结论； （2）先表示出 PNmn，进而表示出 MN2n+4，再判断出COPPNM，得出 = ，即 1 = ; 2:4，即可得出结论； （3） 先
