1、题库:圆的证明与计算题1.如图，AB是O的直径，点D是上的一点，且BDECBE，BD与AE交于点F.(1)求证：BC是O的切线；(2)若BD平分ABE，延长ED、BA交于点P，若PAAO，DE2，求PD的长 第1题图 (1)证明：AB是O的直径，AEB90，EABEBA90，BDEEAB，BDECBE，EABCBE，ABECBE90，CBAB，AB是O的直径，BC是O的切线；(2)解：BD平分ABE，ABDDBE，如解图，连接DO， 第1题解图ODOB，ODBOBD，EBDOBD，EBDODB，ODBE，PAAO，PAAOOB，DE2，PD4.2.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与
2、边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DFAC，垂足为点F.(1)求证：DF是O的切线；(2)若AE4，cosA，求DF的长 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD，G 第2题解图OBOD，ODBB，又ABAC，CB，ODBC，ODAC，DFAC，DFC90，ODFDFC90，OD是O的半径，DF是O的切线；(2)解：如解图，过点O作OGAC，垂足为G，AGAE2.cosA，OA5，OG，ODFDFGOGF90，四边形OGFD为矩形，DFOG.3如图，在O中，直径CD弦AB于点E，AMBC于点M，交CD于点N，连接AD.(1)求证：ADAN；(2)若AB4，ON1，求O的半径 第3题图 (1
3、)证明：BAD与BCD是同弧所对的圆周角，BADBCD，AECD，AMBC，AENAMC90，ANECNM，BAMBCD，BAMBAD，在ANE与ADE中，ANEADE(ASA)，ANAD；(2)解：AB4，AECD, AEAB2，又ON1，设NEx，则OEx1，NEEDx，ODOEED2x1，如解图，连接AO，则AOOD2x1， 第3题解图AOE是直角三角形，AE2，OEx1，AO2x1，(2)2(x1)2(2x1)2，解得x12，x2(舍)，AO2x13，即O的半径为3.4.如图，在ABC中，C90，D是BC边上一点，以DB为直径的O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)
4、求证：1F；(2)若sinB，EF2，求CD的长 第4题图 （1）证明：如解图，连接DE. 第4题解图BD是O的直径，DEB90.E是AB的中点，DADB，1B.BF，1F；(2)解：1F，AEEF2，AB2AE4.在RtABC中，ACABsinB4，BC8.设CDx，则ADBD8x.在RtACD中，由勾股定理得AC2CD2AD2，即42x2(8x)2，解得x3，CD3.5.如图，直线DP和O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交O于点B，作ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求P及AEB的度数.第5题图（1）证明：四边形ABCD是
5、平行四边形，ADBC，CBAE，ADAE，DAO90，又直线DP和O相切于点C，DCOC，DCO90，在RtDAO和RtDCO中，RtDAORtDCO(HL)，DADC；(2)解：CBAE，AE是O的直径，CFFBBC，又四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CFAD，又CFDA，PCFPDA，即PCPD，DCPD.由(1)知DADC，DAPD，在RtDAP中，P30.DPAB，FABP30，又ABE90，AEB903060. 6.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC交于点D，过点D作O的切线交AC于点E.(1)求证：ABDADE；(2)若O的半径为，AD，求CE的长 第6题图
6、（1）证明：如解图，连接OD.第6题解图DE为O的切线，ODDE，ADOADE90.AB为O的直径，ADB90，ADOODB90.ADEODB，OBOD，OBDODB，ABD ADE; (2)解：ABAC2，ADBADC90，ABCC，BDCD.O为AB的中点，OD为ABC的中位线，ODAC，ODDE，ACDE，在RtACD中，CD5，CC，DECADC90，DECADC，即，CE3.7.如图，在ABC中，ACB90，D是边AB上的一点，且A2DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的O经过点D.(1)求证：AB是O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BEEO，求BD的长第7题图(1)证明：如解
7、图，连接OD，第7题解图 则DOB2DCB，又A2DCB，ADOB，又AB90，DOBB90，BDO90，即ODAB，又OD是O的半径，AB是O的切线 （2）解：如解图，过点O作OMCD于点M，连接DE， 第7题解图ODOEBEBO，BDO90，B30，DOB60，DCB30，OC2OM2，OD2，BDODtan602.8.如图，PB为O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA，AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D.(1)求证：PA是O的切线；(2)若cosCAO，且OC6，求PB的长 第8题图 （1）证明：如解图，连接OB， 第8题解图OAOB，O
8、ABOBA，OPAB，ACBC，OP是AB的垂直平分线，PAPB，PABPBA，PAOPBO.PB为O的切线，OBP90，PAO90，OA为O的半径，PA是O的切线；(2)解：cosCAO，设AC4k，AO5k，由勾股定理可知OC3k，sinCAO，tanCOA，即，解得OA10，tanPOAtanCOA，解得AP，PAPB，PBPA.9.如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，ACDABC.(1)求证：CA是O的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE6，tanABC，tanAEC，求O的直径第9题图(1)证明：BC是O的直径，BDC90，ABCDCB90，ACDABC，ACDDCB
9、90，ACB90，即BCCA，又BC是O的直径，CA是O的切线；(2)解：在RtAEC中，tanAEC，ECAC.在RtABC中，tanABC，BCAC.BCECBE6，ACAC6，解得AC，BC10，即O的直径为10.10.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1)求证：DEAC；(2)若AB10，AE8，求BF的长 第10题图 （1）证明：如解图,连接OD，AD， 第10题解图DE与O相切于点D，ODDE.AB是O的直径，ADB=90，AB=AC，D为BC中点，又O为AB中点，ODAC，DEAC；(2)解：AB=1
10、0，OB=OD=5.由(1)知ODAC，ODFAEF，设BF=x,则有解得x=，BF=.11.如图，已知AB为O的直径，F为O上一点，AC平分BAF且交O于点C，过点C作CDAF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是O的切线；(2)若AD6，DE8，求BE的长；(3)求证：AF2DFAB. 第11题图 （1）证明：如解图，连接OC. 第11题解图AC平分BAD,OAC=CAD，又OAC=OCA,OCA=CAD，COAD.又CDAD，CDOC，又OC是O的半径，CD是O的切线；（2）解：在RtADE中，AD=6，DE=8，根据勾股定理得：AE=10，COAD，EOCE
11、AD, .设O的半径为r，OE=10-r.，r=，BE=10-2r=；（3）证明：如解图，过点C作CGAB于点G.OAC=CAD，ADCD，CG=CD，在RtAGC和RtADC中，CG=CD，AC=AC，RtAGCRtADC（HL），AG=AD.又BAC=CAD，BC=CF，在RtCGB和RtCDF中，BC=FC，CG=CD，RtCGBRtCDF（HL），GB=DF.AG+GB=AB，AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.12.如图，在RtABC中，ACB90，以BC为直径的O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若BCD36，BC10，求的长；(2)判断直线DE与O的位置关
12、系，并说明理由；(3)求证：2CE2ABEF. 第12题图 （1）解：如解图，连接OD， 第12题解图BCD36，BOD2BCD23672，BC是O的直径，BC10，OB5，l2；(2)解：DE是O的切线；理由如下：BC是O的直径，ADC180BDC90，又点E是线段AC中点，DEACEC，在DOE与COE中，DOECOE(SSS)ACB90，ODEOCE90，OD是O的半径，DE是O的切线；(3)证明：由(2)知，DOECOE，OE是线段CD的垂直平分线，点F是线段CD中点，点E是线段AC中点，则EFAD，BACCAD，ADCACB，ACDABC，则，即AC2ABAD，而AC2CE，AD2E
13、F，(2CE)2AB2EF，即4CE2AB2EF，2CE2ABEF.13.如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线PA为O的切线；(2)求证：EF24ODOP；(3)若BC6，tanF，求AC的长. 第13题图 （1）证明：如解图，连接OB， 第13题解图PB是O的切线，PBO90，OAOB，BAPO于点D，ADBD，点D为AB的中点，即OP垂直平分AB，APOBPO，ADPBDP90，APDBPD，APBP，在PAO和PBO中，PAOPBO（SAS），PAOPBO90，OA为
14、O的半径，直线PA为O的切线；(2)证明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90，OADOPA，OADOPA，即OA2ODOP，又EF2OA，EF 24ODOP；(3)解：OAOC，ADBD，BC6，ODBC3，设ADx，tanF，DF2x，OAOF2x3，在RtAOD中，由勾股定理得(2x3)2x232，解得x14或x20(不合题意，舍去)，OA2x35，AC为O的直径，AC2OA10.14.如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交直径AB于点F，连接BE.(1)求证：AC平分DAB；(2
15、)求证：PC=PF；(3)若tanPCB，BE5，求PF的长 第14题图 （1）证明：如解图，连接OC， 第14题解图OAOC，OACOCA，PC是O的切线，且ADCD，OCPD90，OCAD，CADOCAOAC，即AC平分DAB；(2)证明：AB是O的直径，ACB90，PCBACD90，又CADACD90，CABCADPCB.CE平分ACB，ACEBCE，PFCCABACE，PCFPCBBCE，PFCPCF，PCPF；(3)解：如解图，连接AE，ACEBCE，AEBE，又AB是直径，AEB90，ABBE10，OBOC5，PCBPAC，PP，PCBPAC，tanPCBtanCAB，设PB3x，
16、则PC4x，在RtPOC中，根据勾股定理得，(3x5)2(4x)252，解得x10，x2.x0，x，PFPC.15.如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且点C是劣弧的中点，过点C的直线CDBG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是O的切线；(2)若EDDB，求证：3OF2DF；(3)在(2)的条件下，连接AD，若CD3，求AD的长第15题图 (1)证明：如解图，连接OC、AC、CG，ACCG，ABCCBG，OCOB，OCBOBC， OCBCBG，OCBG，CDBG，OCCD，OC是O的半径，CD是O的切线；第15题解图(2)证明：OCBD，CFOD
17、FB，OCBCBD，EOCEBD，OCF DBF，EOC EBD，EDDB，EDB90，E30，OCOE，OAOC，AEOAOCOB，即3OF2DF；(3)解：如解图，过A作AHDE，交DE于点H，E30，EBD60，ABCCBD，CBDEBD30，CD3， BD3， BE6，DEBD9， AEBE，AHBD，AHBD，DHDE6，AD. 第15题解图16.如图，在RtABC中，ACB90，AO是ABC的角平分线.以O为圆心，OC长为半径作O，连接AO交O于点E，延长AO交O于点D.(1)求证：AB是O的切线；(2)若tanD，求的值；(3)设O的半径为3，求AB的长 第16题图 (1)证明：
18、如解图，过O作OFAB交AB于F，ACB90，ACBC，AO是ABC的角平分线，OFAB，COFO，FO为O的半径，AB是O的切线； 第16题解图(2)解：如解图，连接CE，ED是O的直径，ECD90，ECOOCD90，ACB90，ACEECO90，ACEOCD，OCOD，OCDODC，ACEODC，CAECAE，ACEADC，tanD，；(3)解：由(2)知，设AEc，则AC=2c，在RtACO中，(2c)232(c3)2，解得c2或c=0（舍去），AFAC2c4，在BFO和BCA中，BB，BFOBCA90，BFOBCA，设BFx，BOy，解得x，y，ABAFBF4.17.如图，O是ABC的
19、外接圆，O点在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：PBDDCA；(3)当AB6，AC8时，求线段PB的长 第17题图 (1)证明：圆心O在BC上，BC是O的直径，BAC90.如解图，连接OD. 第17题解图 AD平分BAC，BAC2DAC.DOC2DAC，DOCBAC90.即ODBC.PDBC，ODPD.又OD是O的半径，PD是O的切线；(2)证明：PDBC，PABC.又ABCADC，PADC.PBDABD180，ACDABD180，PBDACD.PBDDCA；(3)解：ABC是直角三角形，
20、BC2AB2AC26282100.BC10.OD垂直平分BC，DBDC.BC是O的直径，BDC90.在等腰直角三角形BDC中DCDB5.PBDDCA，即PB.18.如图，AB是O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且PE，POE2CAB.(1)求证：CEAB；(2)求证：PC是O的切线；(3)若BD2OD，且PB9，求tanP的值 第18题图 （1）证明：如解图，连接OC， 第18题解图COB2CAB，又POE2CAB，CODEOD，又OCOE，CEAB;(2)证明：CEAB，PE，PPCDEPCD90，又OCDE，OCDPCDPCO90，OC是O的半径，PC是O
21、的切线；(3)解：设O的半径为r，ODx，则BD2x，r3x，CDOP，OCPC，RtOCDRtOPC，OC2ODOP，即(3x)2x(3x9)，解得x或x=0（舍去），O的半径r为，同理可得PC2PDPO(PBBD) (PBOB)162，PC9，在RtOCP中，tanP.19.如图，AC是O的直径，弦BEAC于H，F为O上的一点，过点F的直线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MFMG.(1)求证：MD为O的切线；(2)求证：当MDAB时，FG2MFEG；(3)在(2)的条件下，若cosM，FD6，求AG的长 第19题图 (1)证明：MFMG，MFGMGFA
22、GB，如解图，连接FO，OFAO，OFA=OAF，BEAC，AGH+OAF=MFG+OFA=90，即MFO90，OF为O的半径，MD为O的切线；(2) 证明：MDAB，MABM，如解图，连接EF，EFGABM，MEFG，MGFFGE，MGFFGE，又MG=MF，FG2MFEG； 第19题解图(3)解：MABM，cosM，设AH3k，AB5k，HB4k，如解图，连接OB，FODM，FD6，FO8OBOA，OH83k，OH 2HB 2OB2，(4k)2(83k)282，解得k或k=0（舍去），MDAB，MFGBAF，BGABAG，ABGB5k，GHk，AGk，AG.20.如图，AB是O的直径，C是
23、圆上一点，BAC的平分线交O于点D，过D作DEAC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线; (2)若AB10，AC6，求BD的长；(3)如图，若F是OA的中点，FGOA交直线DE于点G，若FG，tanBAD，求O的半径 图 图第20题图（1）证明：如解图，连接OD，第20题解图OAOD，OADODA，AD平分BAC，OADDAE，ODADAE，ODAE，ODEAED180，AED90，ODE90，ODDE，OD是O的半径，DE是O的切线；(2)解：如解图，连接BC，交OD于点N，AB是O的直径，BCA90，ODAE，O是AB的中点，ONAC，且ONAC，ONB90，且ON3，OB=5，则BN4，ND2，BD2；（3）解：如解图，设FG与AD交于点H， H第20题解图根据题意，设AB5x，AD4x，则AFx，FHAFtanBADxx，AHx，HDADAH4xxx，由（1）可知，HDGODA90，在RtHFA中，FAHFHA90，OADODA，FHADHG，DHGHDG，GHGD，过点G作GMHD，交HD于点M，MHMD，HMHDxx，FAHAHF90，MHGHGM90，FAHHGM，在RtHGM中，HGx，FHGH，xx，解得x，此O的半径为4.
