1、 今 天 多 几 分 钟 的 努 力 ， 明 天 多 几 小 时 的 快 乐 ！ 何 乐 而 不 为 ！教 师 辅 导 讲 义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：九年级 学科教师：汪老师授课日期及时段课 题初中数学总复习几何三大变化对称学习目标教学内容初中数学总复习几何三大变化对称轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变
2、换的知识，是中考数学的必考内容。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。【一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：】例1、（2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 例2、（2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线裁剪 最后将图中的纸片打开铺
3、平，所得到的图案是【 】 A B C D例3、（2012福建龙岩12分）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折 痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C 两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形 （1）若ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ； （2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH； （3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ， 正方形EFGH的对角线长
4、为 1、（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展 开后图形是【 】 A B C D2、（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形【二、线段、角的轴对称性：】例1、（2012海南省3分）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC 于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是
5、 . 例2、（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图电信部门要修建一座信号发射 塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发 射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置 （保留作图痕迹，不要求写出画法）1、（2012云南省3分）如图，在中，AD是的角平分线，则CAD的度数为 2、（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到 斜边AB的距离为 【三、等腰（边）三角形的轴对称性：】例1、（2012福建三明4分）如图，在平面直角
6、坐标系中，点A在第一象限， 点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足 条件的点P共有【 】 A 2个 B 3个 C4个 D5个例2、（2012湖北荆门3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线 BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q 若BF=2，则PE的长为【 】 A 2 B 2 C D 3例3、（2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点， 且AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= 。1、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延
7、长线上，点D 在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】 A2 B3 C D 2、（2012湖北孝感3分）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D若AC2， 则AD的长是 3、（2012四川泸州5分）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE， 使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。求证：AEBC 4、（2012甘肃白银10分）如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60， DC = EF （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD 【四、矩形、
8、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：】例1、（2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更 换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为 A.2 B. 3 C. 4 D.5 例2、（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则图中阴影部分 的面积是【 】 A B2 C3 D例3、（2012广东深圳3分）如图，RtABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外 作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5， OC = 6，则另一直角边BC的长为 例4
9、、（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上（1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长 1、（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、 PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 2、（2012湖北天门、仙桃、潜江、
10、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上， 在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为 S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记 为Sn当n2时，SnSn1= 3、（2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点， 且AEEF，BE=2。 （1）求EC：CF值； （2）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由； （3）在图2的AB边上是
11、否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在， 请说明理由。 【五、等腰梯形的轴对称性：】例1、（2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD相交于点O，下列结论不一 定正确的是【 】 AAC=BD BOB=OC CBCD=BDC DABD=ACD 例2、（2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0） D点坐标为（0，3），则AC长为【 】 A4 B5 C6 D不能确定例3、（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，
12、E、F、 G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。 1、（2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E， 连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】 A17 B18 C19 D20 2、（2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，过点D作DFBC于F若AD=2，BC=4， DF=2，则DC的长为 【六、圆的轴对称性：】例1、（2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=C
13、D=8 则OP的长为【 】 A3 B4 C D 例2、（2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度， 其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm例3、（2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的O1与O2外切，O1与O2 的外公切线交于点D，且ADC=60，过B点的O1的切线交其中一条外公切 线于点A若O2的面积为，则四边形ABCD的面积是 1、（2012广西桂林10分）如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、 B、O2 (1) 求证：四边形AO
14、1BO2是菱形； (2) 过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2O2D； (3) 在(2)的条件下，若AO2D的面积为1，求BO2D的面积 【七、折叠的轴对称性：】例1、（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处， 且AD经过B，EF为折痕，当DFCD时，的值为【 】 A. B. C. D. 例2、（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠， 则图中阴影部分的周长为【 】 A 8 B 4 C 8 D 6例3、（2012山东泰安3分）如图，
15、将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3， 则FCB与BDG的面积之比为【 】 A9：4 B3：2 C4：3 D16：9 例4、（2012黑龙江绥化3分）长为20，宽为a的矩形纸片（10a20），如图那样折一下，剪下一个边长等 于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩 形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形， 则操作停止当n=3时，a的值为 .例5、（2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线 BC上的点E、F
16、处，折痕分别为CM、AN. （1）求证：ANDCBM. （2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。 且AB=4，BC=3，求PC的长度. 例6、（2012广东珠海9分） 已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折， 点A的对应点C恰好落在O上 （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （
17、3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD 1、（2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直 线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样 就可以求出67.5角的正切值是【 】A 1 B1 C2.5 D 2、（2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别 和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】 A B C D3 3、（2012山东潍坊3
18、分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在 AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=【 】 A B C . D24、（2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C 处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D 落在D处，点D恰好与点A重合 （1）求证：ABGCDG； （2）求tanABG的值； （3）求EF的长 【八、利用轴对称性求最值：】例1、（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在
19、BC、CD上分别找 一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为【 】 A130 B120 C110 D100 例2、（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点， 则PE+PB的最小值为 例3、（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距 离为 cm 1、（2012广西贵港2分）如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN 于点D，P为DC上
20、的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是 。 2、（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任 意一点，则PK+QK的最小值为【 】A1 B C 2 D13、（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线AC平分BAD，点E在 AB上，且AE=2（AEAD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 【九、解析几何中图形的轴对称性：】例1、（2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC12，BD16，E为AD的 中点，点P在x轴上
21、移动小明同学写出了两个使POE为等腰三角形的P点坐标为(5，0)和(5，0) 请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 例2、（2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是 这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .例3、（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、C， 与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1) 若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值 (2) 在(1)的条件下，求BCE的面积 (3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐
22、标 (4) 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在， 求m的值；若不存在，请说明理由 例4、（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点 A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（1，0）。（1）求点C的坐标； （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式， 并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰 三角形？若存在，请
23、直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 例5、（2012山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1）， 且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线 于点C，交x轴于点G。PMx轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足 为点M，PCM为等边三角形。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求点P的坐标； （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由； （4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标； 若不存在，请说明理由。 1、（2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N其顶点为D （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点 F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值
