1、提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?|类型2|二次函数与直线的综合2.2018北京 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3|二次函数与
2、三角形的综合3.2018黄冈 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.4.2017齐齐哈尔 如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C和点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且SABP=4SCOE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4|二次函数
3、与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5|二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式
4、;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将ABC的面积分成13两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:(-2m)2-4(m2+3)=-120,该函数的图象开口向上.又y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+33,该函数的图象在x轴的上方.不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,
5、得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,A(-1,0),B(0,4).将点B向右平移5个单位长度,得到点C,C(0+5,4),即C(5,4).(2)抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,a-b-3a=0.b=-2a.抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).若a0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a4即可,可知a的取值范围是a.若a4,此时a-.若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)
6、2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a或a0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以SABO=SAOC+SBOC=OC|xA|+OC|xB|=OC|xA-xB|=12=.4.解:(1)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)x=0时,y=3,点C的坐标
7、为(0,3).y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,点D的坐标为(1,4).(3)设点P(x,y),其中x0,y0,SCOE=31=,SABP=4y=2y,SABP=4SCOE,2y=4,y=3.-x2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).点P的坐标为(2,3).5.解:(1)B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为y=-x2+x+3.顶点D的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,DE=-=.点P为第一象限内抛物线上一点,可设点P的坐标为m,-m2+m+3,则点F的坐标为m,-m+3.若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,-m2+m+3
8、-m+3=,解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).当点P的坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.6.解:(1)A(0,2),B(-1,0),将ABO经过旋转、平移等变化得到BCD,BD=OA=2,CD=OB=1,BDC=AOB=90.C(1,1).设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有解得:a=-,b=,c=2.抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.直线PC将ABC的面积分成13两部分,=或=3,过E作EFOB于点F,则EFOA.BEFBAO,=.当=时,=,EF=,BF=,E-,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+,-x2+x+2=-x+,x1=-,x2=1(舍去),P1-,.当=3时,同理可得P2-,.
