1、 圆的知识点复习知识点1 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。题型 1. 在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在ABC中，C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求 AD的长。CBDA3. 如图，弦AB垂直于O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。 4. 如图所示，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦
2、心距。定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。题型1. 如果两条弦相等，那么（ ） A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等 C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对2.下列说法正确的是（） A相等的圆心角所对的弧相等 B在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D圆心到弦的距离相等，则弦相等 3. 线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交 弧AB、AC于C、D，AD的垂直
3、平分线EF分别 交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（） A弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC 4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_，弦所对的圆心角是_. 5. 如图，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_.6. 如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_7. 如图，已知AB、CD为O的两条弦，弧AD=弧BC, 求证：AB=CD。8. 如图，BC为O的直径，OA是O的半径，弦BEOA, 求证：AC=AE。 第5题图 第6题图 第7题图 第
4、8题图 知识点3 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。题型1. 下列说法正确的是（ ） A顶点在圆上的角是圆周角 B两边都和圆相交的角是圆周角 C圆心角是圆周角的2倍 D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半2下列说法错误的是（ ） A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等 C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等3. 已知O是ABC的外接圆，若A=80，则B
5、OC的度数为（ ）A40 B80 C160 D120 4. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30 B.30或150 C.60 D.60或1205. ABC三个顶点A、B、C都在O上,点D是AB延长线上一点,AOC=140, CBD 的度数是( )A.40 B.50 C.70 D.110 第8题图6.等边三角形ABC的三个顶点都在O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则ADC的度数是 _。7. O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm， 则此弦所对的圆周角等于 。8. 如图，AB为O的直径，点C在O上， 若B=60， 则A等于_。9. 如图,在O中,AB
6、是直径,CD是弦,ABCD. (1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断 CPD与COB的大小关系, 并说明理由. (2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合时), CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论。 9. 如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点 BMO=120。（1）求证：AB为C直径。 （2）求C的半径及圆心C的坐标。 第9题图 11. 如图，O的直径AB=8cm，CBD=30，求弦DC的长。 第10题图 第11题图 第12题图12. 如图，A、B、C、D四点都在O上，AD是O的直径，且AD=6cm，若ABC=CAD，求弦
7、AC的长。24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点1 点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：（1）点P在圆外 dr（2）点P在圆上 d=r（3）点P在圆外 dr知识点2 确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆。知识点3 三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点4 反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。题型1. 若O所在平面内一点P到O上的点的最大
8、距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（ ）。A. B. C. 或 D. a+b或ab2.三角形的外心是( )A.三条中线的交点 B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点3.下列命题不正确的是( )A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆4.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个5.锐角三角形的外心位于_,直角三角形的外心位于_,钝角三角形的外心位于 _。6.下列说法正确的是：_。（1） 经过三个点一定可以作圆（2）任意一
9、个三角形一定有一个外接圆（3）任意一个圆一定有一内接三角形，并且只有一个内接三角形（4）三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等7. 边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是_。8. ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_。9. 矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm，(1)若以A为圆心，6cm长为半径作A，则点B在A_，点C在A_，点D在A_， AC与BD的交点O在A_；(2)若作A，使B、C、D三点至少有一个点在A内，至少有一点在A外， 则A的半径r的取值范围是_。10. 如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求
10、作供水站的位置 （不写作法,尺规作图,保留作图痕迹)。11. 如图，已知在ABC中，ACB=900,AC=12,AB=13,CDAB,以C为圆心，5为半径作C，试判断A,D,B 三点与C的位置关系。 12. 如图,在钝角ABC中,ADBC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(ADDC),O为 ABC的外接圆,如果BD的长为6,求ABC的外接圆O的面积。 第11题图 第12题图13. 已知ABC内接于O，ODBC，垂足为D，若BC=2，OD=1，求BAC的度数。（注意：分类讨论）24.2.1 直线和圆的位置关系知识点1 基本概念1. 直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相
11、交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。2. 直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。3. 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。知识点2 直线和圆的位置关系的判定 设O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则： 直线l和O相交 dr题型1. 在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（） A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切2. 已知O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与O的位置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交 3. 已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只
12、有一个公共点，则圆心到直线的距离是_。4. 等边三角形ABC的边长为2，则以A为圆心，半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是_；以A为圆心，_为半径的圆与直线BC相切。5. 已知O的直径为10cm。（1）若直线l与O相交，则圆心O到直线l的距离为_；（2）若直线l与O相切，则圆心O到直线l的距离为_；（3）若直线l与O相离，则圆心O到直线l的距离为_。6. 如图，M与x轴相交于点A（2，0）， B（8，0），与y轴相切于点C， 求圆心M的坐标 知识点3 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。题型1命题：“圆的切线垂直于经过
13、切点的半径”的逆命题是（） A.经过半径的外端点的直线是圆的切线 B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2. 如图，BC是O直径，P是CB延长线上一点，PA切O于A，若PA，OB1，则APC等于（） A. 150 B.300 C.450 D.6003. 如图，线段AB过圆心O，交O于点A、C，B300，直线BD与O切于点D，则ADB的度数是（） A.1500 B.1350 C.1200 D.10004.如图，的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，若的半径为3， 则的长为（）A.6 B. C.3 D.5.
14、 PA是O的切线，切点为A，PA=，APO=30，则O的半径长为_6. 如图，直线AB与O相切于点B，BC是O的直径，AC交O于点D，连结BD，则图中直角三角形有 _个第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 7. 如图，PAQ是直角，O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点. （1）BT是否平分OBA？说明你的理由； （2） 若已知AT4，弦BC6，试求O 的半径R. 8. 如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，CAB=30， 求证：DC是O的切线。9. 在RtABC中，B=90，A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作D。 试说明：C是D的切线。EFB
15、OCA.ABDCO 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图10. 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD与底 BC 是方程 10x + 16 = 0的两根，求 E 的半径 r 。11. 如图，ABC内接于O ，直线EF经过 B 点，CBF A。 求证：EF 是O 的切线。 第11题图OABEDC12. 如图，RtABC中，B90，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E， 交AC于点D，其中DEOC。（1）求证：AC为O的切线。（2）若AD2，且AB、AE的长是关于x的 方程x28xk0的两个实数根，求
16、O的半径、CD的长。ABCOGFDE13. 如图，等腰ABC中，ACBC10，AB12，以BC为 第12题图 直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为 F，交CB的延长线于点E。（1）求证：直线EF是O的切线。 第13题图（2）求DF、DE的长。. ABCDEM14. 如图，RtABC中，ACB90，CDAB于D，以 CD为半径作C与AE切于点E，过点B作BMAE。（1）求证：BM是C的切线。 第14题图ABDECO（2）作DFBC于F，若AB16，DBM60，求EF的长。15. 如图，AB为O的直径，D为的中点，DCAE 交AE的延长线于C。（1）求证：CD是O的切线。 （2）若
17、CE1，CD2，求O的半径。 第15题图OBACDE16. 如图，钝角ABC，CDAC，BE平分ABC交 AC于E，且CEB45，以AD为直径作O。 （1）求证：BC是O的切线。 (2）若O直径为10，ACBC，求ABC的周长。 第16题图17. 如图，ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN， 若MACABC（1）求证：MN是半圆的切线。（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G， 过D作DEAB于E，交AC于F求证：FDFG。 第17题图知识点4 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
18、长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。题型1. 如图，PA切O于A，PB切O于B，OP交O于C，下列结论错误的是（） A. 1=2 B.PAPB C.ABOP D.2. 如图，PA、PB是O的两条切线，切点是A、B. 如果OP4，那么AOB等于（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 1203. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ） A9 B9（-1） C9（-1） D94. 有圆外一点P，PA、PB分别切O于A、B，C为优弧AB上一点，若ACB=a，则APB=（ ）A180- B90- C90+ D180-25. 一个钢管放在V形
19、架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心如果钢管的半径为25cm，MPN60，则OP( )A50cm B25cm Ccm D50cm 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图6. 如图，PA、PB分别切O于A、B，并与O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，则PCD的周长等于_。7. 如图，已知为的直径，是的切线，为切点，.（1）求的大小。（2）若，求的长（结果保留根号）。 第7题图 第8题图8. 如图，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN于C。设。（1）求证： （2）求关于的关系式9.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切A于点
20、Q，则当PQ最小时，求P点的坐标是多少？ 第9题图 第10题图10. 如图，ABC中，C90，AC8cm，AB10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动（不运动至A点），O的圆心在BP上，且O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求O的半径。11. 已知：MAN=30，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作O ，交AN于D、E两点，设AD=. 如图当取何值时，O与AM相切；MANEDO图（1）MANEDBCO图（2） 如图当为何值时，O与AM相交于B、C两点，且BOC=90。知识点5内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
21、交点，叫做三角形的内心。题型1. 已知ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是DEF的（ ） A三条中线交点 B三条高的交点 C三条角平分线交点 D三条边的垂直平分线的交点2. 如图，O为ABC的内切圆，C900，AO的延长 线交BC于点D，AC4，CD1，则O的半径等于（） A. B. C. D.3. 如图，O内切于ABC，切点为D、E、F， 若B500，C600，连结OE、OF、DE、DF， 则EDF等于（） A.450 B.550 C.650 D.7004. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是_。5. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，如图，现准备在其中建一小亭供人
22、们小憩，使小亭中心到三 条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置。6. 如图，RtABC 的两条直角边长分别为5和12，则ABC 的内切圆到半径为多少？7. 等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10 cm，求它的内切圆的半径。FABCDE5O8. 如图，在RtABC中，求ABC的内切圆半径。 第5题图 第6题图 第8题图24.3 正多边形和圆知识点1 正多边形和圆的关系定理1：把圆分成n（n3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。知识点2 正多边形有关概念正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
23、叫做正多边形。正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。知识点3 正多边形的有关角1. 正多边形的中心角都相等，中心角= （n为正多边形的边数）2. 正多边形的每个外角= （n为正多边形的边数）题型1. 以下有四种说法：顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；顶点在圆周上的角是圆周角；边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
24、 A1个 B2个 C3个 D 4个2. 以下说法正确的是 A每个内角都是120的六边形一定是正六边形 B正n边形的对称轴不一定有n条C正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数D正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定4. 若一个正多边形的每一个外角都等于36,那么这个正多边形的中心角为（ ） A36 B、 18 C72 D545. 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ） A.6. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（ ）
25、 A60 B45 C30 D2257. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE 的_，它是正五边形ABCDE的_圆的半径。8. 两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于_。9. 圆内接正方形的半径与边长的比值是_。10. 圆内接正六边形的边长是8 cm，那么该正六边形的半径为_，边心距为_。11. 圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为_。12. 正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_。13. 正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数
26、是_。14. 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和，则和的大小关系为_。15. 四边形ABCD为O的内接梯形，ABCD，且CD为直径，如果O的半径等于r，C=60，那么图中OAB的边长AB是_，ODA的周长是_，BOC的度数是_。16. 如图，正方形ABCD内接于O，点E在上，则BEC= 。 17. 如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_倍。18. 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积。24.4 弧长和扇形面积知识点1 计算公式1. n的圆心角所对的弧长：l= 2. 扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形） 方法一
27、： S扇形 方法二：S扇形题型1. 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5，那么扇形的面积是 ( ) A. B. C. D.2. 如果一条弧长等于，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长增加（） 3. 在半径为3的中，弦，则的长为（） 4. 扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积是（）163264 第5题图5. 如图，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（）无法确定.6. 半径为的圆中，的圆周角所对的弧的弧长为_。7. 半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为_。8. 已知圆的面积为，若其圆周上一段弧长为，则这段弧所
28、对的圆心角的度数为_。9. 如图，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的 切线，为切点，若，则图中阴影部分的面积为_。 第9题图 第10题图 第11题图 10. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为。（单位：，精确到）11. 如图，在Rt中，将绕点旋转至的位置，且使点，三点在同一直线上，则点经过的最短路线长是。12. 已知：扇形的弧长为cm，面积为 cm2 ，求扇形弧所对的圆心角。13. 有一正方形是以金属丝围成的，其边长，把此正方形的金属丝重新围成扇形的， 使，不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果。
29、14. 如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长 为cm，弧CB的长为2cm，AC4cm，求这个图形的面积。15. 已知如图，P是半径为R的O外一点，PA切O于A，PB切O于B，APB=60求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积。16. 已知扇形OAB的面积为S，AOB=60求扇形OAB的内切圆的面积。17若分别以线段CD的两个端点为圆心，CD长为半径的C，D相交于A，B求证：分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与C的面积相等。18求证：圆心角为60的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二。 知识点2 圆锥1. 圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点
30、的线段叫做圆锥的母线。2. 圆锥的高：圆锥的顶点到底面圆的距离，即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。3. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径为圆锥的母线，扇形弧长为底面圆的周长。4. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为n，5. 圆锥的全面积：圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。题型1. 已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ） A B2 C D62. 已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ） A1
31、80 B120 C90 D1353. 如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ） A1 B2 C32 D234. 边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180, 所得几何体的表面积为（ ）A B C D5. 若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216,则这个圆锥的高是（ ）cm。 A8 B C6 D46. 在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这 个圆锥的高为（ ）cm A B C D7. 一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ） A200cm2 B300cm2 C40
32、0 cm2 D360cm28. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ） A80cm B100cm C40cm D5cm9. 圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是_。10. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为_。11. 已知圆锥的母线长6 cm，底面半径为 3 cm，圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是_。12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36的扇形，扇形面积为10 cm2，则这个圆锥的表面积是_。13. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为_。14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，求这个圆锥的高。15. 已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60。求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积。16. 已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm，圆心角为120的扇形，求这圆锥的底半径和高。17. 如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积。ABC 第17题图
