1、【最值问题复习】一、 将军饮马1. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足，则的最大值为_.2. 如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为类型二：点到直线距离垂线段最短3.在平面直角坐标系中，原点O到直线的最大距离为_.4. 如图，在RtABC中，A90，AB3，AC4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为（）A2B2.2C2.4D2.55. 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF
2、沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）AB1CD6. 如图，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为 7. 如图，菱形ABCD中，ABC60，AB4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若AEF120，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A1个B2个C3个D4个8. 如图，在RtABC中，ACB90，AC10，BC5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是 9.
3、 如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边APM和等边BPN，则MNP外接圆半径的最小值为 类型三、平行线间的距离为最值10.如图，菱形ABCD中，AB4，A120，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为 11. 如图，在等边ABC中，AB4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是 类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B点P在运动时，
4、线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值为_.13. 在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 14. 如图，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，BC，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）15. 如图，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段CP长的最小值为 16. 在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，
5、m）、D（n，0），且m2+n24，若E为CD中点则AB+BE的最小值为 17. 如图，半径为2的O分别与x轴，y轴交于A，D两点，O上两个动点B，C，使BAC60恒成立，设ABC的重心为G，则DG的最小值是 18.如图，在ABC中，A=60（BC），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，DEF的中心为点O，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值为_.类型六、面积、周长最值问题19. 如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB45，则四边形MANB面积的最大值是（）A2B4C4D820. 如图，在菱形ABCD中
6、，BAD135，AB4，点P是菱形ABCD内或边上的一点，且DAP+CBP90，连接DP，CP，则DCP面积的最小值为 21. 如图，sinC，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC5，则BDE周长的最小值为 类型七、函数最值问题22.已知，则的最大值为_.23.已知24.如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，AB=8，若P为AB反向延长线上的一个动点（不与点A重合），过点P作半圆的切线，切点为C，过点B作BDPC交PC的延长线于点D，则AC+BD的最大值为_.25. 如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连接P
7、A设PAx，PBy，则（xy）的最大值是 26. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MNCD于N，连接CM，则CMMN的最大值为 27. 如图，已知AB8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，DAP60M，N分别是对角线AC，BE的中点当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为 （结果留根号）类型八、胡不归与阿氏圆问题28. 如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动
8、时，则OP的最小值_.29. 如图，在ABC中，ACB90，BC12，AC9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是 30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为，点B在圆C上运动，则的最小值为_.31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0，），点C是线段OB上的动点，则的最小值为_,此时点C的坐标为_.【参考答案】1.【解答】=2. 【解答】解：设ABP中AB边上的高是hSPABS矩形ABCD，ABhABAD，hAD2，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接A
9、E，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB5，AE2+24，BE，即PA+PB的最小值为故答案为：3.【解答】直线=过定点（2,4）,OHOA，当OA垂直于该直线时，距离最大，为.4. 【解答】解：连接AP，A90，PEAB，PFAC，AAEPAFP90，四边形AFPE是矩形，EFAP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作APBC于P，此时AP最小，在RtBAC中，A90，AC4，AB3，由勾股定理得：BC5，由三角形面积公式得：435AP，AP2.4，即EF2.4，故选：C5. 【解答】解：如图所示：当PEAB由翻折的性质可知：PFFC2，FPEC90PEAB，PDB9
10、0由垂线段最短可知此时FD有最小值又FP为定值，PD有最小值又AA，ACBADF，AFDABC，即，解得：DF3.2PDDFFP3.221.2故选：D6. 【解答】解：作点D关于x轴对称点D，过点D作DCAB于点C，与OA交于点P，则此时PC+PD值最小当x0时，yx+44，OB4；当y0时，x+40，解得：x4，OA4OAOB，AOB90，AOB为等腰直角三角形，OBA45DCAB，BCD为等腰直角三角形，BDC45在OPD中，POD90，ODP45，OPD45，OPODOD又点D为线段OB的中点，OD2，OP2，点P的坐标为（2，0）故答案为：（2，0）7. 【解答】解：如图，连结CE，在
11、菱形ABCD中，ABBC，ABECBE30，BEBE，ABECBE，AECE，设OCEa，OAEa，AEO90a，DEF120（90a）30+a，EFCCDE+DEF30+30+a60+a，ECFDCO+OCE60+a，ECFEFC，CEEF，AEEF，AB4，ABE30，在RtABO中，AO2，OAAEAB，2AE4，AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4故选：C8. 【解答】解：取MN的中点D连接PD，MPN90，MN2PD，当PDMN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，AA，ADPACB90，APDABC，即，PD，MN2PD2故答案为：29. 【解
12、答】解：分别作A与B角平分线，交点为O，连接OP，AMP和NPB都是等边三角形，AO与BO为PM、PN垂直平分线圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，若半径OP最短，则OPAB又OAPOBP30，AB6，OAOB，APBP3，在直角AOP中，OPAPtanOAP3tan30，故答案为：10. 【解答】解：连接AC，过点A作AEBC于点E，四边形ABCD是菱形，ABAD，当PMAB，PNAD时，PM+PN的值最小，最小值AD边上的高，设这个高为AE，ABPM+ADPNADAE，PM+PNAE，菱形ABCD中，AB4，A120，ABC60，ABBC4，ABC是等边三角形，BEEC2，
13、AE2故答案为：211. 【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N，作NPBC于P，交AC于M，则线段NP的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，NP是菱形的高42，PM+MN的最小值为2，故答案为212. 【解答】线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，AB切O于P，OPAB，取AB的中点C，则AB2OC；当OCOP时，OC最短，即AB最短，此时AB4；13. 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE在直角ABC中，AB10，E是直角ABC斜边AB上的中点，CEAB5M是BD的中点，E是AB
14、的中点，MEAD252CM5+2，即3CM7最大值为7，故答案为：714. 【解答】解：连结AE，如图1，BAC90，ABAC，BC，ABAC4，AD为直径，AED90，AEB90，点E在以AB为直径的O上，O的半径为2，当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在RtAOC中，OA2，AC4，OC2，CEOCOE22，即线段CE长度的最小值为22故答案为2215. 【解答】解：ABC90，ABP+PBC90，PABPBCBAP+ABP90，APB90，点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在RTBCO中，OBC90，BC4，OB3，OC5，PCOCOP532 PC最小值为
15、2 故答案为216. 【解答】解：由题意CD2，E为CD中点，OECD1，点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y2的对称点A，连接OA交直线y2于B，交O于E此时BA+BEBA+BE的值最小在RtOAA中，OA5，EA514，BA+BE的最小值为4，故答案为：417. 【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，ABC的重心为G，F为BC的中点，OFBC，BAC60，BOF60，OBF30，OFOB1，ABC的重心为G，AGAF，在AO上取点E，使AEAO，连接GE，FAOGAE，AGEAFO，GEG在以E为圆心，为半径的圆上运动，E（，0），DE，DG的最小值是，故答案为：18. 【
16、解答】连接OE、OD、OA，DAE+DOE=180，所以A、E、O、D四点共圆，所以EAO=ODE=30，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,所以CO的最小值为CH，最小值为2.19. 【解答】【解答】解：过点O作OCAB于C，交O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，AMB45，AOB2AMB90，OAB为等腰直角三角形，ABOA2，S四边形MANBSMAB+SNAB，当M点到AB的距离最大，MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值S四边形DAEBSDAB+SEABA
17、BCD+ABCEAB（CD+CE）ABDE244故选：C20. 【解答】解：在菱形ABCD中，ADBC，DAB+ABC180，DAP+CBP90，PAB+PBA90，APPB，当DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大，当RtABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大，CBA45，点P在BC边上，且APBC，过C作CFAB于F，PEAB于E，CFBC4，PEAB2，P到CD的距离42，DCP面积的最小值为：4（42）88，故答案为：8821. 【解答】解：如图作BKCF，使得BKDE2，作K关于直线CF的对称点G，连接BG交CF于D，此时BDE的周长最小在RtBGK中，
18、易知BK2，GK6，BG2，BDE周长的最小值为BE+DE+BDKD+DE+BDDE+BD+GDDE+BG2+2故答案为：2+222. 【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2） 表示AC-BC的值，且AC-BCAB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即.23. 【解答】，解得，所以的 取值范围是.24. 【解答】连接BC，易证ABCCBD，可得，设AC=x，在ABC中，所以，所以，所以当时，取最大值4.25【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，CPA90，AB是切线，CAAB，PBl，ACPB，CAPAPB，APCPBA，PAx，PBy，半径为4，yx2，xyxx2x
19、2+x（x4）2+2，当x4时，xy有最大值是2，故答案为：226. 【解答】过点H作BHMC，易证BHCCNM，设CM=x，MN=y，由BHCCNM可得, 代入可得yx2，所以CM-MN= xyxx2x2+x（x4）2+2，当x4时，xy有最大值是2.27. 【解答】解：连接PM、PN四边形APCD，四边形PBFE是菱形，DAP60，APC120，EPB60，M，N分别是对角线AC，BE的中点，CPMAPC60，EPNEPB30，MPN60+3090，设PA2a，则PB82a，PMa，PN（4a），MN，a3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为228. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边
20、ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F可证得，AEPADB，AEPADB120，OEF60，OFOA3，点P在直线EF上运动，当OPEF时，OP最小，OPOF则OP的最小值为29. 【解答】考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，则AD+BD=DM+BDBM=.30. 【解答】连接AC，在AC取一点M使得CM=()，易证得CBMCAB，得，所以，当O、B、M三点共线时取最小值，由于点M坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.31. 【解答】,构造，故，取点D（1,0），连接BD，作CHBD，故，所以AH，当AH垂直于BD时，取最小值，由等积法可求得垂直时，AH的最小值为，所以的最小值为，由相似可得此时点C的坐标为.
