1、九年级（上）期末数学复习试卷（图形的相似）（解析版）一、选择题1如图，RtABC中，C=90，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若ABCBDC，则CD=（）A2BCD2（易错题）已知：如图，ADE=ACD=ABC，图中相似三角形共有（）A1对B2对C3对D4对3如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A（3，2）B（4，1）C（3，1）D（4，2）4已知ABC中，DEBC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A4.5B5.5C6.5D7.55若两个相似三角形的相似比是1
2、：4，则它们的周长比是（）A1：2B1：4C1：16D1：56如图，P是RtABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与RtABC相似，这样的直线可以作（）A1条B2条C3条D4条7若ABCABC，A=40，B=60，则C等于（）A20B40C60D808如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）ABCD9如图，小明作出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积然后分别取A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积用同样的方法，作出了第3个正
3、A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第10个正A10B10C10的面积是（）ABCD10关于相似的下列说法正确的是（）A所有直角三角形相似B所有等腰三角形相似C有一角是80的等腰三角形相似D所有等腰直角三角形相似11在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A3倍BCD2倍12如图，P是ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定ABPACB的是（）ABCABP=CDAPB=ABC二填空题13如图，要得到ABCADE，只需要再添加一个条件是_14若x：y=2：3，那么x：（x+y）=_15如图，AD为
4、ABC的中线，G为ABC的重心，若SBGC=2，则SABD=_16已知，则=_17如图，DEBC，AD：DB=3：5，则ADE与ABC的面积之比为_18为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为_米19如图，在梯形ABCD中，ADBC，BE平分ABC交CD于E，且BECD，CE：ED=2：1如果BEC的面积为2，那
5、么四边形ABED的面积是_20阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=_m三解答题21（2015秋滕州市校级期末）如图，RtABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动问：（1）运动几秒时，CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，CPQ与ABC相似？22（2016颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及A1B1C1及A2B2C
6、2；（1）若点A、C的坐标分别为（3，0）、（2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到A2B2C223（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值24（2011武汉）（1）如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证： =；（2）如图，ABC中，BAC=9
7、0，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证：MN2=DMEN25（2006山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度（结果保留根号）2015-2016学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期末数学复习试卷（图形的相似）参考答案与试题解析一、选择题1如图，RtABC中，C=90，D是AC边
8、上一点，AB=5，AC=4，若ABCBDC，则CD=（）A2BCD【考点】相似三角形的性质【分析】根据ABCBDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可【解答】解：C=90，AB=5，AC=4BC=3ABCBDCCD=故选D【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理2（易错题）已知：如图，ADE=ACD=ABC，图中相似三角形共有（）A1对B2对C3对D4对【考点】相似三角形的判定；平行线的判定【分析】根据已知先判定线段DEBC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案【解答】解：ADE=ACD=ABCDEBCADEABC，DEBCEDC
9、=DCB，ACD=ABC，EDCDCB，同理：ACD=ABC，A=A，ABCACD，ADEABC，ABCACD，ADEACD共4对故选D【点评】考查了平行线的判定；相似三角形的判定：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似3如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A（3，2）B（4，1）C（
10、3，1）D（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标【解答】解：线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，端点C的坐标为：（3，2）故选：A【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键4已知ABC中，DEBC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A4.5B5.5C6.5D7.5【考点】平行线分线段成比例【分析】利用平行线分线段成比例的性质得出=，进而求出EC即
11、可得出答案【解答】解：DEBC，=，=，解得：EC=4.5，故AC=AE+EC=4.5+3=7.5故选：D【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题关键5若两个相似三角形的相似比是1：4，则它们的周长比是（）A1：2B1：4C1：16D1：5【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可【解答】解：两个相似三角形的相似比为1：4，它们对应周长的比为1：4故选B【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比6如图，P是RtABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与RtABC相似，这样的直线可以作
12、（）A1条B2条C3条D4条【考点】相似三角形的判定【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解【解答】解：过点P可作PEBC或PEAC，可得相似三角形；过点P还可作PEAB，可得：EPA=C=90，A=A，APEACB；所以共有3条故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似7若ABCABC，A=40，B=60，则C等于（）A20B40C60D80【考点】相似三角形的性质【分析】根据三角形的内角和定理求出C，再根据相似三角形对应角相等可得C=C【解答】解：A=40，B=6
13、0，C=180AB=1804060=80，ABCABC，C=C=80故选D【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键8如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；梯形【分析】根据梯形的性质容易证明AODCOB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值【解答】解：四边形ABCD是梯形，ADCB，AODCOB，AD=1，BC=3=故选B【点评】此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题9如图，小明作
14、出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积然后分别取A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积用同样的方法，作出了第3个正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第10个正A10B10C10的面积是（）ABCD【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理【分析】根据相似三角形的性质，先求出正A2B2C2，正A3B3C3的面积，依此类推AnBnCn的面积是（）n1，从而求出第10个正A10B10C10的面积【解答】解：正A1B1C1的面积是，而A2B2C2与A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则
15、面积的比是，则正A2B2C2的面积是；因而正A3B3C3与正A2B2C2的面积的比也是，面积是（）2；依此类推AnBnCn与An1Bn1Cn1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n1所以第10个正A10B10C10的面积是，故选A【点评】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键10关于相似的下列说法正确的是（）A所有直角三角形相似B所有等腰三角形相似C有一角是80的等腰三角形相似D所有等腰直角三角形相似【考点】相似三角形的判定【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可知所有直角三角形不一定相似；所有等腰三角形不一定相似；有一角是80的等腰三角
16、形也比一定相似；只有所有等腰直角三角形相似【解答】解：A、所有直角三角形不一定相似；故本选项错误；B、所有等腰三角形不一定相似；故本选项错误；C、有一角是80的等腰三角形可能是：80、80、20或80、50、50，不一定相似；故本选项错误；D、所有等腰直角三角形相似；故本选项正确故选D【点评】此题考查了相似三角形的判定注意有两组角对应相等的两个三角形相似11在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A3倍BCD2倍【考点】相似三角形的应用【分析】作OEAB于E，OFCD于F，根据题意得到AOBCOD，根据相似三角形的对应高
17、的比等于相似比计算即可【解答】解：作OEAB于E，OFCD于F，由题意得，ABCD，AOBCOD，=，像CD的长是物体AB长的，故选：C【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键12如图，P是ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定ABPACB的是（）ABCABP=CDAPB=ABC【考点】相似三角形的判定【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案【解答】解：A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；B不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；C正确，符合有两组角
18、对应相等的两个三角形相似；D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似故选B【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似二填空题13如图，要得到ABCADE，只需要再添加一个条件是DEBC（答案不唯一）【考点】相似三角形的判定【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可【解答】解：由图可得，BAC=DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相
19、似可添加条件：DEBC，则ABC=ADE，则ADEABC，故答案为：DEBC（答案不唯一）【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题为开放性试题，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键14若x：y=2：3，那么x：（x+y）=2：5【考点】比例的性质【分析】利用合比性质计算【解答】解： =，=故答案为2：5【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质15如图，AD为ABC的中线，G为ABC的重心，若SBGC=2，则SABD=3【考点】三角形的重心【分析】根据重心到顶点的距离是它
20、到对边中点的距离的2倍和已知求出ABC的面积，根据三角形的中心把三角形分成面积相等的两部分解答即可【解答】解：G为ABC的重心，AD=2GD，SBGC=2，SABC=6，AD为ABC的中线，SABD=3，故答案为：3【点评】本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键16已知，则=【考点】比例的性质【分析】先由已知条件可得a=b，e=f，再把它们代入，计算即可【解答】解：，a=b，e=f，=故答案为【点评】本题考查了比例的计算及性质，比较简单本题还可以根据等比性质直接求解17如图，DEBC，AD：DB=3：5，则ADE与ABC的面积之比为9：64【
21、考点】相似三角形的判定与性质【分析】先证明ADE与ABC相似并求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出【解答】解：DEBC，ADEABC，AD：BD=3：5，AD：AB=3：8，ADE与ABC面积之比=9：64，故答案为9：64【点评】本题主要考查相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键18为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，
22、再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为5.6米【考点】相似三角形的应用【分析】根据镜面反射的性质求出ABECDE，再根据其相似比解答【解答】解：根据题意，易得CDE=ABE=90，CED=AEB，则ABECDE，则，即，解得：AB=5.6米故答案为：5.6【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答19如图，在梯形ABCD中，ADBC，BE平分ABC交CD于E，且BECD，CE：ED=2：1如果BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形【分析】首先延长BA，CD交于点F，易证得B
23、EFBEC，则可得DF：FC=1：4，又由ADFBCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得ADF的面积，根据S四边形ABED=SBEFSADF继而求得答案【解答】解：延长BA，CD交于点F，BE平分ABC，EBF=EBC，BECD，BEF=BEC=90，在BEF和BEC中，BEFBEC（ASA），EC=EF，SBEF=SBEC=2，SBCF=SBEF+SBEC=4，CE：ED=2：1DF：FC=1：4，ADBC，ADFBCF，=（）2=，SADF=SBCF=，S四边形ABED=SBEFSADF=2=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的
24、性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用20阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=4m【考点】相似三角形的应用【分析】根据题意易证BCDACE，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可【解答】解：光线是平行的，即BDAE则有BCDACEBC=4【点评】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题三解答题21（2015秋滕州市校级期末）如图，RtABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿
25、边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动问：（1）运动几秒时，CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，CPQ与ABC相似？【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6x）cm，CQ=2xcm，此时PCQ的面积为：2x（6x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）设运动y秒时，CPQ与ABC相似，分两种情况讨论：若CPQCAB和CPQCBA，根据相似三角形的性质即可得出答案【解答】解：（1）设x秒后，可使CPQ的面积为8cm2由题意得，AP=xcm，PC
26、=（6x）cm，CQ=2xcm，则（6x）2x=8，整理，得x26x+8=0，解得x1=2，x2=4则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，CPQ与ABC相似若CPQCAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若CPQCBA，则=，即=，解得y=秒综上所述，运动2.4秒或秒时，CPQ与ABC相似【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解22（2016颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及A1B1C1及A2
27、B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（3，0）、（2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到A2B2C2【考点】作图-位似变换；作图-平移变换【分析】（1）根据A，C点坐标作出直角坐标系，进而求出B点坐标；（2）根据轴对称的性质结合平移的性质得出答案；（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案【解答】解：（1）如图所示，B（4，2）；（2）如图所示：A1B1C1即为所求；（3）如图所示：A2B2C2即为所求【点评】此题主要考查了
28、位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键23（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【分析】（1）由AC平分DAB，ADC=ACB=90，可证得ADCACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=ABAD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得DAC=ECA，得到CEAD；（3）易证得AFDCFE，然后
29、由相似三角形的对应边成比例，求得的值【解答】（1）证明：AC平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ABAD；（2）证明：E为AB的中点，CE=AB=AE，EAC=ECA，DAC=CAB，DAC=ECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CE=AF：CF，CE=AB，CE=6=3，AD=4，【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用24（2011武汉）（1）如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证
30、： =；（2）如图，ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证：MN2=DMEN【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】（1）可证明ADPABQ，ACQADP，从而得出=；（2）根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据ADEABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；可得出BGDEFC，则DGEF=CFBG；又由DG=GF=EF，得GF2=CFBG，再根据（1）=，从而得出答案【解答】（1）证明：在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，=，同理在
31、ACQ和APE中，=，=（2）作AQBC于点QBC边上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBC，AD：AB=1：3，AD=，DE=，DE边上的高为，MN：GF=：，MN： =：，MN=故答案为：证明：B+C=90CEF+C=90，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，=，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得=，=，（）2=，GF2=CFBG，MN2=DMEN【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大25（2006山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖
32、面上测量建在地面上某塔AB的高度如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形ACE、ADE，应利用其公共边AE构造等量关系，借助AB=AEBE构造方程关系式，进而可求出答案【解答】解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则AEC=90，ACE=45，ADE=60，CD=18，设线段AE的长为x米，在RtACE中，ACE=45，CE=x，在RtADE中，tanADE=tan60=，DE=x，CD=18，且CEDE=CD，xx=18，解得：x=27+9，BE=1米，AB=AEBE=（26+9）（米）答：塔AB的高度是（26+9）米【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形
