1、第一讲 实数及有关概念考点一:实数的有关概念及分类数轴、相反数、绝对值的概念填空定义性质数轴规定了 , , 的直线.1.数轴上的点与 是一一对应的;2.数轴上右边的数总比左边的数 .相反数只有 不同的两个数1.在数轴上,互为相反数的两个对应点在原点两侧,并且到原点的距离 .2.若a、b互为相反数,则 .绝对值在数轴上|a|表示数a的点到 的距离.1.|a| 0 ; 2. |a|=范例1.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )b-10a1xA.ab0 B. |a|b| C.a-b0 D.a+b0举一反三:1. 已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示,那么化简|a-b|-
2、结果是( )b-10a1x A.2a-b B.b C.-b D.-2a+b2. 若数轴上的两个点A、B表示的数分别为a、b,如图所示,则下列式子正确的是( )a-10b1xABA. B. C. D.3.数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则C点所表示的数是 。4实数m,n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式错误的有（ ）个。n-1m0x-2 nm n2m2 n0m0 |n|m|A 1个 B 2个 C 3个 D 4个范例2. 若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值只能是 ；数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为5，那么和点A距离等于2的点C表示的数
3、为 ，点C离开点B的距离为 。下列各组数中，互为相反数的是（ ）A2与 B（-1）2与1 C-1与（-1）2 D2与|-2|举一反三:的相反数是 ，的倒数是 ，的绝对值是 。已知|x|=4，|y|=,且xy0),则比它大1的正整数的立方根是 （结果用a表示）5、非负数的性质：如果几个非负数相加为0，则这几个非负数 。初中阶段几种常见的非负数是 ， ， 。范例6.已知x、y为实数，且则x-y的值为（ ）A3 B-3 C1 D-1举一反三:若+=,则= .已知直角三角形两边满足，则第三边长为 .+=，则-= .考点二 实数的运算实数运算运算种类：加法， ， ， ， ， ， ， 及运算法则运算顺序：
4、范例1.计算：举一反三:已知，从这四个数中任意选取3个数求和.图2-1-1图2-1-2在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计如图所示的几何图形请你利用这个几何图形求的值为 .请你利用图2-1-2，再设计一个能求的值的几何图形.(不能与2-1-1图形相同).计算：范例2.小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价相比前天的涨跌情况：（单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）+2-0.5+1.5-1.8+0.8根据上表回答问题：星期二收盘时，该股票每股多少元？本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少元？已
5、知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？举一反三:某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）：星期一二三四五六日增减-5+7-3+4+10-9-25根据记录可知，本周星期六生产了 辆摩托车；本周总生产量与计划生产量相比，增减数为 辆；产量最多的一天比产量最少的一天多生产了 辆.在20XX年5月的第二个星期，红旗水文站记录了一周的水位情况：32.3,-0.1,+0.2,-0.5,+0.3(第一个数据为星期一，以
6、后数据分别与前一天比较数值)，单位：米，而20XX年5月同期水位平均值33.4千米，则与去年同期水位情况比较正确的是（ ）A.持平 B.涨1.2米 C.下降1.2米 D.下降1.06米下表是今年雨季某防汛小组测量的某河一周内的水位变化情况.（单位：米）星期一二三四五六日水位变化/米+0.25+0.52-0.18+0.06-0.13+0.49+0.10（注：正号表示水位比前一天上升，负号表示比前一天下降）若本周日达到了警戒水位73.4米，那么本周一的水位是多少？上周末的水位是多少？本周哪一天河流的水位最高？哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降
7、了？考点三 近似数和有效数字近似数与有效数字科学记数法定义:把一个数表示成的形式,其中满足 ,为 .确定方法:当原数的绝对值大于1时, 等于 ; 当原数的绝对值小于1时, 等于 ;近似数:一般地,一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.有效数字: . 范例1.一枚一角的硬币的直径约为0.022m,用科学记数法表示为( )A.2.210-3m B. 2.210-2m C. 2210-2m D. 2.210-1m 从中华人民共和国20XX年国民经济和社会发展统计公报中获悉,20XX年末国家全年各项税收收入25718亿元,用科学记数表示为 元(结果保留三个有效数字)举一反三:据测算,我
8、国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.50亿元;这个近似数精确到 位,有 个有效数字,若一年按365天计算,我国因沙漠化造成的经济损失为 元(保留三位有效数字)生物学家发现了一种病毒的长度约为0.043mm,用科学记数法表示为 m.我国陆地面积约为9596960千米2,若保留二位有效数字,则结果( )A. 9.5106千米2 B. 9.59106千米2 C. 9.597106千米2 D. 9.6106千米2据世界银行统计,20XX年我国国民生产总值达到11.69亿元,人民生活总体上达到了小康水平,其中11.69亿元用科学记数法表示为 元.北京市申办20XX年奥运会得到了全国人民的支持,据统计
9、,某一日北京申奥网站的访问人次为201947,用四舍五入法保留两位有效数字的近似值为 近似数0.33万精确到 位,有 个有效字,用科学记数法表示为 万. 小舒家的水表如图所示,该水表的读数为 m3(精确到0.1)第二讲整式的运算考点一:代数式的有关概念代数式有理式无理式代数式的分类单项式与多项式的概念填空定义次 数单项式 与 的乘积所有字母的 . 多项式几个单项式的 .多项式中次数 的项的 . 定义次 数单项式 与 的乘积所有字母的 多项式几个单项式的 .多项式中次数 的项的 范例1定义次 数单项式 与 的乘积所有字母的 . 多项式几个单项式的 .多项式中次数 的项的 . aab一根绳子弯曲成
10、如图所示的形状，当用剪刀像图那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图那样沿虚线b（ba）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行）这样一共剪n次时绳子的段数是（ ）A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5举一反三:科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 第4个图案中有白色地面砖 块； 第n个
11、图案中有白色地面砖 块观察下列等式:9-1=8;16-4=12;25-9=16;36-16=20;这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 .下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：1=12；1+3=22；1+2+5=32； ； ；在和后面的横线上分别写出相应的等式；通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.范例2 已知多项式.求多项式中各项
12、的系数和次数；若多项式是八次三项式，求的值举一反三:单项式的系数是 ，次数是 . 下列代数式中，是单项式的是 ；是多项式的是 ；若一个含x的二次三项式的二次项的系数为-5，一次项系数为4，常数项为-27，则这个二次三项式为 .代数式m2-n2(mn0)的三个实际意义是： 考点二 整式的运算：同类项的定义： .合并同类项法则： .去括号法则： .添括号法则： .范例1 下列各式中，与x2y是同类项的是（ ）A. xy2 B. 2xy C. -x2y D. 3x2y2举一反三:下列说法中正确的是（ ）A.x2y-3和2x2y-3是同类项 B. - x4y - 2x3y+1是四次三项式C. x2-x
13、y+y-2是多项式 D.是单项式下列各组式子中是同类项的是（ ）A.2a和a2 B.2a2b和3a2b C.-2xy和3ab D.0.2ab2和0.2xb2单项式与是同类项，则= 整式的乘除法幂的运算性质：同底数的幂相乘： ；幂的乘积； ；积的幂 ；同底数的幂相除： ；范例2下列运算正确的是（）A.2223=26 B.（-2）-12=1 C.（-2）0-|-2|=-1 D.2824=22= _， =_.下列各式运算正确的是（ ）A. B. C. D.已知，则（ ）A.50 B.-5 C.2 D.25举一反三:计算x9x2的结果是（ ）A.x9 B.x18 C.x7 D.x5下列运算正确的是（
14、）A.a2a2=a5 B. C. D.下列各式中，与相等的是（ ）A. B. C. D.在等式中，括号内的代数式应当是（ ）A. B. C. D.若，则x=_；若，则x=_.下列运算中，错误的是（ ）A. B.2a+3b=6ab C. D.下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.下列运算正确的是（ ）A B C D单项式乘法，单项式与多项式的乘法，多项式乘法，单项式的除法，多项式除以单项式，乘法公式内容及几者之间的关系图单项式乘法单与多乘法多与多乘法指数运算幂单项式除法法多除单（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）范例3现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长
15、方形阵列，用一个正方形框出16个数，如下图1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 图中框出的这16个数的和是 ；在上图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数.日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 45
16、 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 举一反三:在20XX年3月的日历中，如右图所示，任意圈出一竖列上的三个数，设中间的一个为a,则用a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别 , , .图3-3-1如图3-3-1是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即20）根时，需要的火柴棍总数为 根。图3-3-2如图3-3-2，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪彩成四个小正方形，如此继续下去，根据以上操作方法
17、，请你填写下表：操作次数N12345N正方形的个数4710下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的观察图形，填写下表： 图形 正方形的个数 8 图形的周长 18推测第n个图形中，正方形的个数为_，周长为_(都用含n的代数式表示)图3-8-3如图3-8-3，已知四边形ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用2005个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是_.填表并回答下列问题x0.010.11101001000根据上表结果，描述所求得的一列数的变化规律当x非常大时，的值接近于什么数？学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如
18、图所示）.按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123n人数46范例四abababb2a2a2baaaaaabbabababb2aaaabbb4-1-24-1-1abababb2aaaabbbb2ababa2a2a2a24-1-3阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用下图4-1-1或4-1-2表示请写出图4-1-3所表示的代数恒等式 ；试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2请仿照上述方法另写一个含有a、
19、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.举一反三:已知：如图，现有aa、bb的正方形纸片和ab的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片(每种纸片至少用一次)在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为2a2+5ab+2b2，并标出此矩形的长和宽.aababb nmmnnnm图2nmmn图1 图1是一个长为2 m、宽为2 n的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图2的形状拼成一个正方形,通过计算图2中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是 .如左图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余
20、下的部分拼成一个矩形如右图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.(a+2b)(a+b)=a2+ab-2b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-b2 =(a+b)(a-b)范例五先化简，再求值：，其中举一反三:先化简，再求值先化简，再求值 (x-y)2+(x+y)(x-y)2x,其中x=3,y=-1.5.先化简，再求值y(x+y)+(x-y)(x+y)-x2, 其中x=-2,y=.范例六如果，则代数式的值为 已知a2+b2-2a+4b+5=0，求a+b的值.举一反三:设、都是实数，且满足，又，求代数式
21、的值已知x2+x=1,求2002x3+2001x2-2003x-2004的值.不论a,b为任何数，a2+b2-6a+10b+35的值总是（ ）A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数、0都有可能a已知x,y,z满足x+y=5,z2=xy+y-9，求x+2y+3z的值考点三 因式分解因式分解的意义定义：把一个多项式化成几个整式 的形式.注意问题：因式分解的对象是 ；因式分解的结果是几个 式 的形式；因式分解与整式乘法是 变形；因式分解是 变形.因式分解的方法： ；求根公式与分解因式的关系：若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是x1、x2，则二次三项式ax2+bx+c= ；范例1下列分解
22、因式正确的是（ ）A. x3-x=x(x2-1) B. 1-a2+2ab-b2=(1-a+b)(1+a-b)C. m2+m-6=(m-3)(m+2) D.x2+y2=(x+y)(x-y)分解因式：x3y3-2x2y2+xy= .举一反三:因式分解4-4a+4a2,正确的是（ ）A.4(1-a)+a2 B. (2-a)2 C. (2-a) (2+a) D. (2+a)2下列各式中能用公式法进行因式分解的是（ ）A.(a+2b) (a-2b)=a2 4b2 B. a2+ab-2b2=(a-b) (a+2b) C.a3-a2-a+1=(a-1)(a+1)2 D. a2+2a-1=(a-1)2设a、b
23、、c是三角形三边的长，则代数式a2+b2-c2-2ab的值是（ ）A.大于0 B.小于0 C. 不小于0 D. 不大于0下列多项式中，-x2-y2,2x2-4y2,(-m)2-(-n)2,a2-4b2,-144x2+169y2,-x2+2y2在实数范围内能用平方差公式分解的多项式有 （填序号）分解因式：16a-8axy+ax2y2;(x2+y2)2-4x2y2范例2 若二次三项式x2-6x+m2是完全平方式，则m= .设a-b=2+,b-c=2-,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.举一反三:已知实数满足，则的值为（ ）A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2已知a=x+20,b=x
24、+19,c=x+21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值（ ）A.4 B.3 C.2 D.1等腰梯形的面积为（6a2+5ab-6b2）,它的上底为（2a+b）,下底比上底长4b,则此梯形的高为 .(结果有含a、b的代数式表示)多项式x2+2(m-3)x+49是完全平方式，则m的值为（ ）A.-4 B.-3 C.10 D.10或-4阅读下列材料，并解答相应的问题：对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但是，对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2，使其
25、成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是 ；这种方法的关键是 ；用上述方法把m2-6m+8分解因式.第三讲 分式与二次根式考点一：分式的概念与基本性质分式的概念：定义：用A、B表示两个整式，AB就可以表示成 的形式，如果B仍含有 ，式子 就叫做分式，其中A叫做 ，B叫做 .分式有意义的条件： ；分式无意义的条件是： 分式值为0的条件： 且 ；范例1当 时，分式 的值为0；如果代数式有意义，那么的取值范围是 .构造一个分式，使它符合下
26、列条件：含有字母a、b；无论a、b取何值，分式都有意义；举一反三: 若代数式的值为0，则的取值为 ；代数式有意义的条件是（ ）A B 且 C D或在中，整式的个数为 ，分式的个数为 。如果代数式不论取任何实数时总有意义，则的取值范围是（ ）A B C D当= 时，分式无意义，当= 时，分式的值为0分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用符号表示为 ；范例2 分式、的最简公分母为（ ）A. B.10C. 20D.如果把分式中和都扩大3倍，那么分式的值（ ）A扩大3倍 B不变 C缩小3倍 D缩小6倍举一反三: 分式的最简公分母为（ ）A B 2 C D下
27、列各式中，不正确的是（ ）A B C D 下列各式中，不正确的是（ ）A B C D不改变分式的值，把分式的分子、分母各系数都化为整数为 .考点二：分式的运算约分定义：根据 ，把一个分式中的分子与分母的公因式约去.如果分式的分子、分母是多项式要先 再约分.最简式：一个分式的分子和分母没有 .通分定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式根据： 关键： 最简公分母的确定： ；分式的运算包括： 运算， 运算， 运算.范例1 已知，则的值是（ ）A 5 B 7 C 3 D 已知.试说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，的值不变。实数使得四个数中的三个数有相同的数值，这样的实数对()是否存在；如果存在，求出所有这样的数对，否则，请说明理由.举一反三: 先化简，再求值：，其中化简：
