1、 厦门市厦门市 2020 届高中毕业班届高中毕业班 5 月质量检查月质量检查 数学数学（文科文科）试题试题 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回 一、选择题一、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 1若复数 1 z， 2
2、z在复平面内对应点的坐标分别为2,1，0, 1，则 12 zz A2i B1 2i C1 2i Di 2已知集合 2 |0Ax x，|1By y，则AB AR B(0,) C0,) D,00),()(- 3某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是 A8 月份的利润最 B7 至 9 月份的平均收入为 50 万元 C2 至 5 月份的利润连续下降 D1 至 2 月份支出的变化率与 10 至 11 月份支出的变化率相同 4某程序框图如图所示，则该程序的功能是 A输出1 3 52019 的值 B输出1 3 52021 的值 C输出1 232019 的值 D输出1 232020 的
3、值 5射线测厚技术原理公式为 0 e d II ，其中 0 I，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数 的底数，t 是被测物厚度，是被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数工业上通常用铅 241 241()Am低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价层厚度为 08cm，钢的密度为 3 7.6g/cm，则这种射线的吸收系数为 （注： 半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931， 结果精确到 0 001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 6在ABC中，点 D 满足 1 2 BDCD，则AD A2ABAC B2ABAC C 11 2
4、2 ABAC D 21 33 ABAC 7已知函数sin0yaxb a的图象如图所示，则函数 x b ya 的图象可能是 A B C D 8双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点为 F，点 P 在第一象限的渐近线上，O 为坐标原点，且OPOF，则 OPF外接圆的面积是 A B 4 3 C2 D 16 3 9已知0a ，0b，则“4ab”是“4ab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10函数 2 ( )2sinsin21f xxx的图象向左平移 4 个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则 正实数的最小值是 A1 B2 C4 D6 11如图，在边
5、长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作EDAC于 D把ADE沿 DE 翻折至 1 ADE的位置，连结 1 AC翻折过程中，有下列三个结论： 1 DEA C； 存在某个位置，使 1 AEBE； 若 1 2CFFA，则 BF 的长是定值 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12若函数 ln(1)2,0 ( ) 1 ,0 xaxx f x xa x x 的最大值为1f ，则实数a的取值范围为 A ,e B 1 (0, e C1,) e D, e 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13函数3xy 的图象在0x
6、 处的切线方程为_ 14过点(1, 3)的直线l被圆 22 8xy截得的弦长为 4则l的方程为_ 15某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为_ 16ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos2 cos0aBbA，则 tan tan A B _， tanC的最大值是_ （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生 都必须作答都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考
7、生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题：共：共 60 分分 17 （12 分） 已知等差数列 n a的公差为1，数列 n b满足 1 2b ， 2 4b ， 1 2 nnn bba （I）证明：数列 n bn是等比数列： （2）记数列 n b的前 n 项和为 n S，求使得2020 n S 的最小正整数 n 的值 18 （12 分） 为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取 100 个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频 率分布直方图若零件尺寸落在区间(2 ,2 )xs xs内，则认为该零件合格，否则认为不合格其中x，s 分别表示样本的平均值和标准差，计算得15s （同一组
8、中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）已知一个零件的尺寸是 100cm，试判断该零件是否合格； （2） 利用分层抽样的方法从尺寸在30,60的样本中抽取 6 个零件， 再从这 6 个零件中随机抽取 2 个， 求这 2 个零件中恰有 1 个尺寸小于 50cm 的概率 19 （12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，AB 平面 ADE，EF 平面 ADE，2ABCD （1）求证：/ /ABCD； （2）若2ADAE，且二面角EDCA的大小为60，求四棱锥 F-ABCD 的体积 20 （12 分） 设O为坐标原点， 动点M在圆 22 :4C xy上， 过M作x轴的垂线， 垂足为D， 点E满
9、足 3 2 EDMD （I）求点 E 的轨迹的方程； （2）直线4x 上的点 P 满足OMMP过点 M 作直线 l 垂直于线段 OP 交 C 于点 N （i）证明：l 恒过定点； （）设线段 OP 交于点 Q，求四边形 OMQN 的面积 21 （12 分） 已知函数( )1()ln a fRxa x x （1）讨论 f x的单调性 （2）当 * nN时，证明： 222 11 ln (1 1)ln (1)ln (1) 224 n nn （二）考题：共 10 分请考生在第 223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44，坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中
10、，直线 1 l的方程为(3)yk x，直线 2 l的参数方程为 3, 1 xt yt k （t 为参数） 设 1 l与 2 l的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的普通方程； （2）过0,2Q的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，求 11 |QAQB 的取值范围 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 3 ( ) |3| 2 f xxx （1）解不等式 1 ( ) 2 f x ； （2）若( 14 2,0)m n mn ，求证 f xmn 厦门市厦门市 2020 届高中毕业班届高中毕业班 5 月质量检查月质量检查 数学数学（文科文科）参考答案参考答案
11、 一、选择题一、选择题 BDCAC ADBBB BC 二、填空题二、填空题 13(ln3)1yx 4340xy 15206 62； 2 4 三、解答题三、解答题 17本题考在数列递推关系、通项公式求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考真函数与 方程、化归与转化等思想满分 12 分 （1）证明： 1 2 nnn bba ， 当1n 时， 211 2bba，即 1 44a， 1 0a ， 0 0(1) ( 1)1ann ， 1 21 nn bbn 1 2(1)21(1) 2 nn n n nn bnbnbnn bnbnbn 又 1 1211b ， n bn是以 1 为首项，2 为公比的等
12、比数列 （2）由（1）知 1 2 22 nn n bn ，2nbn 2 (12)(222 ) n n nS 2 1 (1)222 22 2122 n n nnnn 10672020 u S ，21012020 n S ， n S为递增数列， 使得2020 n S 的最小正整数 n 的值为 10 18本题考什输数分布直方图，分层抽样等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率 思想满分 12 分 解： （1）记各组的频率为 1 1.2,(),7p i 依题意得 1 0.05p ， 2 0.1p ， 3 0.15p ， 4 0.3p ， 5 0.2p ， 6 0.15p ， 7 0.0
13、5P 35 0.0545 0.1 55 0.1565 0.3 75 0.285 0.1595 0.0566.5x 266.53036.5xs，266.53096.5xs， 而10096.5，故该零件不合格 （2）记前三组抽取的零件个数分别为x，y，z 6 0.050.10.150.3 xyz ，1x ，2y ，3z 抽取出的 6 个零件中尺寸小于 50cm 的有 3 个 记这 6 个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中 a，b，c 为尺寸小于 50cm 的） 记事件 D 为： “选出的 2 个宝件中恰有 1 个尺寸小于 50cm 从这 6 个零件中随机抽取 2 个的基本事件有： , a b
14、，, a c，, a A，, a B，, a C，, b c，, b A，, b B，, b C，, c A，, c B， , c C，,A B，,A C，,B C共 15 个 则事件 D 包含的基本事件有： , a A，, a B，, a C，, b A，, b B，, b C，, c A，, c B，, c C共 9 个， 93 () 155 P D 这 2 个零件中恰有 1 个尺寸小于 50cm 的概率为 3 5 19本题考古直线与平面的位置关系；考查空间想象，排理论证、运算求解等能力，考查数形结合，化归 与转化等思想满分 12 分 证明： （1）AB 而 ADE，EF 而 ADE，/
15、/ABEF 又EF 而 CDEF AB 而 CDEF，/ /AB而 CDEF 又AB 面 ABCD，而ABCD而CDEFCD， / /ABCD （2）取 AD 中点 O，连接 OE AB 面 ADE，,DA DE 而 ADE， ABDA，ABDE / /ABCD，CDDA，CDDE 又DA而 ABCD，DE 面 CDEF， 且面ABCD面CDEFCD 二面角ADCE的平面角60ADE， 又ADE中，2ADAE， ADE是边长为 2 的正三角形 3 3 2 EOAE，EOAD， AB 而 ADE，ABEO 又ADABA，EO 面 ABCD 即 E 到而 ABCD 的距离3EO / /EFAB，E
16、F 面 ABCD，AB 面 ABCD， / /EF面 ABCD F 到面 ABCD 的距离即为 E 到面 ABCD 的距离 在四边形 ABCD 中，/ /ABCD，ABCD，ABDA， 矩形 ABCD 的面积2 24S 14 3 33 FABCD VSEO 20本也考直向线与方程，直线与圆锥曲线的关系等的基础知识：考直数形结合，化归与转化思想；考查 学生逻辑推理，数学运算等核心素养满分 12 分 解： （1）设,E x y，,M a b，则,0D a 3 2 EDMD，又(,)EDaxy，(0,)MDb , 3 2 xa yb 又 22 4ab， 2 2 4 4 3 y x ， 化简得点 E
17、的轨迹方程为 22 1 43 xx （2） （i）设4,Pp，,M a b OMMP， 22 40OM MPaapbb 又 22 4ab，44apb 又直线l过点 M 且垂直于线段 OP， 故设直线 l 方程 4 ()ybxa p 化简得440xpybpa， 又由式可得44xpy 所以l恒过定点1,0 （ii）法一：直线l为44xpy，交圆 C 于 M，N 两点， 则圆心到直线的距离为 2 4 16 d p ， 弦长 22 2 16 | 22 4 16 MNrd p 22 22 48412 24 1616 pp pp 又直线 OP 为 4 p yx 由 22 4 3412 p yx xy 得
18、2 2 48 12 Q x p 故 222 0 22 16164 3 |13 164 1212 ppp OQx pp 1 | | 2 3 2 OMQN OQMNS 即四边形 OMQN 的面积2 3 法二：由（i）可知直线 l 恒过定点1,0， 故设直线:1l xty交同 C 于 M，N 两点 圆心到直线的别离为 2 1 1 d t 弦长 2 22 22 134 22 42 11 t MNrd tt 又直线 1 :OP xy t 由 22 1 34,12 xy t xy 得 2 2 0 2 12 34 t y t 故 22 0 2 22 112 3| |1 |1|2 3 | | 3434 ttt
19、 OQy tt tt 1 | | 2 3 2 cupV SOQMN， 即四边形 OMQN 的面积2 3 21本题考直函数与导数等基础知识：考直排理论证运算求解等能力：考查两数与方程、化归与转化， 分类与整合等思想，满分 12 分 解： （1）)(f x的定义域为(0,) 22 1 ( ) axa fx xxx 当0a 时， 2 ( )0 xa fx x ，则 f x在0,上单调递增； 当0a 时，由 2 ( )0 xa fx x 得xa， 故)(f x在(), a 上单调递增； 由 2 ( )0 xa fx x 得xa，故 f x在0,a上单调递 减； （2）令1a ，由（1）得： f x在0
20、,1上单调递减，在1,上单调递增， 则 1 ln10x x ，即 1 ln1x x 令 1 1x n ，则 111 ln 11 1 1 1 nn n ， 2 2 11 ln1 (1)nn 2 1111 (1)(1)(2)12nnnnn 222 222 11111 ln (1 1)ln1ln1 223(1)nn 111 233 4(1)(2)nn 111111 2334(1)224 n nnn 命题得证 22本题考查曲线的普通方程， ，参数方程，极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合，函数 与方程思想满分 10 分 解析： （1）直线 3 : 1 xt l yt k 消去参数t得 1
21、(3)yx k 因为直线l的方程13)(yk， 所以由得，C 的普通方程 22 3(3)xyx （2）直线l的参数方程为 2 cos sin xt y a ta （t 为参数） 将 2 cos sin xt y a ta 代入 22 3xy得 2 4 sin10tt ， 所以 1212 4sin ,1ttat t， 由 2 16sin40 得 1 |sin| 2 且 2 7 sin 7 所以 12 12 118 78 7 | 4sin| (2,)(,4) |77 tt QQBt t 23本题考查绝对值不等式的性质，解法基本不等式等知识；考查推理认证能力，运算求解能力，考查 化归转化，分类与整合
22、思想满分 10 分 解：原不等式可化为： 31 |3| 22 xx， 当 3 2 x 时，不等式 31 3 22 xx ，无解； 当 3 3 2 x时，不等式 31 3 22 xx， 解得1x ，故13x， 当3x 时，不等式 31 3 22 xx， 解得xR，故3x 综上，不等式的解集为|1x x （2）证明：因为 3 ( ) |3| 2 f xxx， 所以 339 |3| |3| 222 xxxx 当且仅当 3 30 2 xx ，且 3 | |3| 2 xx时，取得等号 又 14 2( ,0)m n mn 所以 1 1414149 ()()14(124) 2222 nmnm mnmn mnmnmn ， 当且仅当 9 2 2 mn，取得等号， 故 9 2 mn，所以)(f xmn成立
