1、2021年新高考数学模拟试卷(15)一选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1(5分)已知A1,+),B0,3a1,若AB,则实数a的取值范围是()A1,+)B12,1C23,+)D(1,+)2(5分)复数z满足(2i)z|3+4i|(i为虚数单位),则z=()A2+iB2iC2iD2+i3(5分)0函数f(x)=sinx2sin+x2在-4,3上单调递增,则的范围是()A(0,23B(0,32C(0,2D2,+)4(5分)在等差数列an中,a2+a100,a6+a84,则其公差为()A2B1C1D25(5分)在矩形ABCD中,AB3,BC2,点M为线段AB的中点,点N在线段BD上,若AC
2、=AN+DM,则+的取值范围为()A2,5B(2,5)C(12,5)D12,56(5分)已知函数f(x)sin2x1(x0),g(x)logax(a0且a1 )若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是()A(0,55)B(55,1)C(33,1)D(0,33)7(5分)棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥EBCD的内切球半径为()A32+612aB33-612aC33+612aD32-612a8(5分)设双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率
3、为13的直线与双曲线的两条渐近线相交于A,B两点,若|F2A|F2B|,则该双曲线的离心率为()A6B5C62D52二选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)9(5分)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为ai,j,比如a3,29,a4,215,a5,423,若ai,j2017,则i+j()A64B65C71D7210(5分)对于函数f(x)sin(cosx),下列结论正确的是()Af(x)为偶函数Bf(x)的一个周期为2Cf(x)的值域为sin1,si
4、n1Df(x)在0,单调递增11(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论正确的是()ABD平面CB1D1BAC1BDC平面ACC1A1CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为6012(5分)定义“正对数”:ln+x=00x1lnxx1,若a0,b0,则下列结论中正确的是()Aln+abbln+aBln+(ab)ln+a+ln+bCln+(ab)ln+a-ln+bDln+(a+b)ln+a+ln+b三填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13(5分)设函数f(x)=x2,0x5f(x-5),x5,那么f(18)的值 14(5分)在如图所示的矩形ABCD中,点E、P分别在边
5、AB、BC上,以PE为折痕将PEB翻折为PEB,点B恰好落在边AD上,若sinEPB=13,AB=2,则折痕PE 15(5分)已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上的点P满足|PF1|2|PF2|,则|PF1| 16(5分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2an1,若集合Mn|n(n+1)an,nN*中有3个元素,则的取值范围是 四解答题(共6小题,满分70分)17(10分)如图,在ABC中,已知点D在边BC上,且DAC90,sinBAC=223,AB32,AD3(1)求BD长;(2)求cosC18(12分)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*)
6、,bn是等差数列已知a11,a3a2+2,a4b3+b5,a5b4+2b6(1)求an和bn的通项公式;(2)求k=1n bkSk19(12分)如图,菱形ABCD的边长为4,DAB60,矩形BDFE的面积为8,且平面BDFE平面ABCD(1)证明:ACBE;(2)求二面角EAFD的正弦值20(12分)我国已进入新时代中国特色社会主义时期,人民生活水平不断提高,某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记为P元)的情况,并根据统计数据制成如下频率分布直方图(1)根据频率分布直方图估算P的平均值P;(2)视样本中的频率为概率,现从该市所有住户中随机抽取3次,每次抽取1户
7、,每次抽取相互独立,设为抽出3户中P值不低于65元的户数,求的分布列和期望E()21(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为点F1,F2,其离心率为12,短轴长为23(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线l1与椭圆C交于M,N两点,过点F2的直线l2与椭圆C交于P,Q两点,且l1l2,证明:四边形MNPQ不可能是菱形22(12分)设函数f(x)ax2+(a2)xlnx的极小值点为x0()若x01,求a的值f(x)的单调区间;()若0x01,在曲线yf(x)上是否存在点P,使得点P位于X轴的下方?若存在,求出一个点P坐标,若不存在,说明理由2021年新高考
8、数学模拟试卷(15)参考答案与试题解析一选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1(5分)已知A1,+),B0,3a1,若AB,则实数a的取值范围是()A1,+)B12,1C23,+)D(1,+)【解答】解:A1,+),B0,3a1,若AB,则:3a11;解得:a23,+)则实数a的取值范围是:23,+);故选:C2(5分)复数z满足(2i)z|3+4i|(i为虚数单位),则z=()A2+iB2iC2iD2+i【解答】解:由(2i)z|3+4i|5,得z=5-2-i=5(-2+i)(-2-i)(-2+i)=-2+i,z=-2-i故选:C3(5分)0函数f(x)=sinx2sin+x2在-4,
9、3上单调递增,则的范围是()A(0,23B(0,32C(0,2D2,+)【解答】解:f(x)=sinx2sin+x2=sinx2cosx2=12sin(x),由-4,3上单调递增,32,得032,故选:B4(5分)在等差数列an中,a2+a100,a6+a84,则其公差为()A2B1C1D2【解答】解:等差数列an中,a2+a1002a6,a6+a842a7,解得:a60,a72,则其公差202故选:D5(5分)在矩形ABCD中,AB3,BC2,点M为线段AB的中点,点N在线段BD上,若AC=AN+DM,则+的取值范围为()A2,5B(2,5)C(12,5)D12,5【解答】解:依题意,以AB
10、所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴建立如图坐标系,则A(0,0),D(0,2),C(3,2)因为N点在线段BD上,BD所在直线的方程为x3+y2=1,即2x+3y6,设N点坐标为(x,6-2x3),则AN=(x,6-2x3),DM=(32,2),AC=(3,2),所以(3,2)=(x,6-2x3)+(32,-2),即x+32=36-2x3-=2,解得=186+2x=12-8x6+2x,所以+=186+2x+12-8x6+2x=-8x+302x+6=-4(2x+6)+542x+6=542x+6-4,(x0,3),令f(x)=542x+6-4,(x0,3),则f(x)=-108(2x+6)2,
11、当x0,3,时,f(x)0,所以f(x)在0,3上单调递减,所以f(3)f(x)f(0),所以f(x)12,5,故选:D6(5分)已知函数f(x)sin2x1(x0),g(x)logax(a0且a1 )若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是()A(0,55)B(55,1)C(33,1)D(0,33)【解答】解:若x0,则x0,x0时,f(x)sin(2x)1,f(x)sin(-2x)1sin(2x)1,则若f(x)sin(2x)1(x0)的图象关于y轴对称,则f(x)sin(2x)1f(x),即ysin(2x)1,x0设g(x)sin(2x)1,x0,作出函数g(x
12、)的图象,要使ysin(2x)1,x0与f(x)logax,x0的图象至少有3个交点,则0a1且满足g(5)f(5),即2loga5,即loga5logaa2,则51a2,0a55,故选:A7(5分)棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥EBCD的内切球半径为()A32+612aB33-612aC33+612aD32-612a【解答】解:由题意多面体ABCDE的外接球既是四面体ABCD,由题意可知AE面BCD交于F,连接CF,则CF=2332a=33a,且AE为外接球的直径,可得AF=AC2-CF2=a2-(33
13、a)2=63a,设三角形BCD 的外接圆的半径为r,则2r=BCsin60=a32,解得r=a3,设外接球的半径为R,则R2r2+(AFR)2可得2AFRr2+AF2,即26a3R=a23+6a29,解得R=64a,设正三棱锥EBCD的高为h,因为AE2R=62,所以hEF2RAF(62-63)a=66a,所以BECEDE=EF2+CF2=16+13a=22a,而BDBCCDa,所以可得正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直,所以(SEBCD)表面积SBCD+3SBDE34+312(22)2a2=3+34a2,设内切圆的半径为R,VEBDC=13SBCDEF=13(SEBCD)表面积R,即13
14、34a266a=133+34a2R解得:R=32-612a故选:D8(5分)设双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率为13的直线与双曲线的两条渐近线相交于A,B两点,若|F2A|F2B|,则该双曲线的离心率为()A6B5C62D52【解答】解:双曲线C:双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),过点F1且斜率为13的直线为:y=13(x+c),双曲线的渐近线bxay0,可得A(-ac3b+a,bc3b+a),B(-ac3b-a,bc3b-a),12(-ac3b+a-ac3b-a)=3abc9b2-a2,1
15、2(bc3b+a+bc3b-a)=3b2c9b2-a2,可得AB的中点坐标Q(-3abc9b2-a2,3b2c9b2-a2),|F2A|F2B|,kQF2=-3可得:-3abc9b2-a23b2c9b2-a2=-3,解得2ba,所以4c24a2a2,可得e=52故选:D二选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)9(5分)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为ai,j,比如a3,29,a4,215,a5,423,若ai,j2017,则i+j()A64B65
16、C71D72【解答】解:ai,j2017,奇数数列an2n12017,解得n1009,按照蛇形排列,第1行到第i行共有1+2+i=i(1+i)2个奇数,则第1行列第44行末共有990个奇数,第1行到第45行末共有1035个奇数,则2017位于第45行,而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数,2017位于第45行,从右到左第19列,则i45,j27,i+j45+2772故选:D10(5分)对于函数f(x)sin(cosx),下列结论正确的是()Af(x)为偶函数Bf(x)的一个周期为2Cf(x)的值域为sin1,sin1Df(x)在0,单调递增【解答】解:函数f(x)sin(cosx),
17、由f(x)sin(cos(x)sin(cosx),可得f(x)为偶函数,故A正确;由f(x+2)sin(cos(x+2)sin(cosx)f(x),故f(x)的一个周期为2,故B正确;由1cos1,且1,1-2,2,可得f(x)的值域为sin(1),sin1,即sin1,sin1,故C正确;由ycosx在0,递减,且cosx1,0,而1,0是ysinx的增区间,可得ysin(cosx)在0,递减,故D错误故选:ABC11(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论正确的是()ABD平面CB1D1BAC1BDC平面ACC1A1CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60【解答】解
18、:对于A,ABCDA1B1C1D1为正方体,BDB1D1,由线面平行的判定可得BD面CB1D1,A正确;对于B,连接AC,ABCDA1B1C1D1为正方体,BDAC,且CC1BD,由线面垂直的判定可得BD面ACC1,BDAC1,B正确;对于C,由上可知BD面ACC1,又BDB1D1,B1D1面ACC1,则平面ACC1A1CB1D1,C正确;对于D,异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角,为45,D错误故选:ABC12(5分)定义“正对数”:ln+x=00x1lnxx1,若a0,b0,则下列结论中正确的是()Aln+abbln+aBln+(ab)ln+a+ln+bCln+(ab
19、)ln+a-ln+bDln+(a+b)ln+a+ln+b【解答】解:对于A,由定义,当a1时,ab1,故ln+(ab)ln(ab)blna,又bln+ablna,故有ln+(ab)bln+a;当0a1时,ab1,故ln+(ab)0,又a1时bln+a0,所以此时亦有ln+(ab)bln+a由上判断知A正确;对于B,此命题不成立,可令a2,b=13,则ab=23,由定义ln+(ab)0,ln+a+ln+bln2,所以ln+(ab)ln+a+ln+b;由此知B错误;对于C,当ab0时,ab1,此时ln+(ab)ln (ab)0,当ab1时,ln+aln+blnalnbln(ab),此时命题成立;当
20、a1b时,ln+aln+blna,此时aba,故命题成立;同理可验证当1ab0时,ln+(ab)ln+aln+b成立;当ab1时,同理可验证是正确的,故C正确;对于D,若0a+b1,b0时,左0,右端0,显然成立;若a+b1,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2ln+a+b2ln+a+ln+b,成立,故D错误,故选:AC三填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13(5分)设函数f(x)=x2,0x5f(x-5),x5,那么f(18)的值9【解答】解:函数f(x)=x2,0x5f(x-5),x5,f(18)f(35+3)f(3)329故答案为:914(5分)在如图所示的矩形ABCD中
21、,点E、P分别在边AB、BC上,以PE为折痕将PEB翻折为PEB,点B恰好落在边AD上,若sinEPB=13,AB=2,则折痕PE278【解答】解:设BEx,则BEx,AE2x,sinEPB=BEPE=13,PE3x,且cosBEPsinEPB=13,由PBEPBE可得PEBPEB,cosBEBcos2BEP2cos2BEP1=-79,cosAEB=79,即AEBE=2-xx=79,解得x=98PE3x=278故答案为:27815(5分)已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上的点P满足|PF1|2|PF2|,则|PF1|4【解答】解:椭圆x29+y24=1的左、右焦点
22、分别为F1、F2,椭圆上的点P满足|PF1|2|PF2|,因为|PF1|+|PF2|2a6,所以|PF1|4故答案为:416(5分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2an1,若集合Mn|n(n+1)an,nN*中有3个元素,则的取值范围是(2,52【解答】解:因为Sn2an1,当n2时,Sn12an11,两式相减可得,an2an2an1,即an2an1(n2),故S12a11,即a11,故数列an是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以an2n1,由n(n+1)an,可得n(n+1)2n-1,令f(n)=n(n+1)2n-1,则可得f(n+1)f(n)=(n+1)(n+2)2n-n(n+1
23、)2n-1=(n+1)(2-n)2n,当n3时,f(n+1)f(n),且f(1)2,f(2)3,f(3)3,f(4)=52,f(5)=158,由题意知n(n+1)2n-1解的个数为3个,故252故答案为:(2,52四解答题(共6小题,满分70分)17(10分)如图,在ABC中,已知点D在边BC上,且DAC90,sinBAC=223,AB32,AD3(1)求BD长;(2)求cosC【解答】(本小题满分12分)解:(1)DAC90,sinBACsin(2+BAD)cosBAD,cosBAD=223,(2分)在ABD中,由余弦定理得,BD2AB2+AD22ABADcosBAD,(4分)即BD218+
24、92323223=3,得BD=3(6分)(2)由cosBAD=223,得sinBAD=13,(8分)在ABD中,由正弦定理,得:BDsinBAD=ABsinADBsinADB=ABsinBADBD=32133=63,(10分)ADBDAC+C=2+C,cosC=63(12分)18(12分)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列已知a11,a3a2+2,a4b3+b5,a5b4+2b6(1)求an和bn的通项公式;(2)求k=1n bkSk【解答】解:(1)an是等比数列,公比q大于0,a11,a3a2+2,可得q2q20,解得q2(1舍去),an2n1;bn是
25、公差为d的等差数列,a4b3+b5,a5b4+2b6可得b3+b58,b4+2b616,则b44,b66,可得d1,则bnb4+n4n;(2)Sn=1-2n1-2=2n1,k=1n bkSk(12+24+38+n2n)(1+2+3+n),设Tn12+24+38+n2n,2Tn14+28+316+n2n+1,相减可得Tn2+4+8+2nn2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1,化为Tn2+(n1)2n+1,则k=1n bkSk2+(n1)2n+1-12n(n+1)19(12分)如图,菱形ABCD的边长为4,DAB60,矩形BDFE的面积为8,且平面BDFE平面ABCD(1)证明:ACBE;(
26、2)求二面角EAFD的正弦值【解答】证明:(1)四边形BDEF是矩形,BEBD,平面BDEF平面ABCD,且平面BDEF平面ABCDBD,BE平面BDFE,BE平面ABCD,AC平面ABCD,ACBE解:(2)设AC,BD的交点为O,建立空间直角坐标系,菱形ABCD的边长为4,且DAB60,BD4,矩形BDEF的面积为8,BE2,则A(23,0,0),D(0,2,0),E(0,2,2),F(0,2,2),EF=(0,4,0),AF=(23,2,2),AD=(23,2,0),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则EFn=4y=0AFn=23x+2y+2z=0,取x1,得n=(1,0,-3),
27、设平面ADF的法向量m=(x,y,z),则AFm=23x+2y+2z=0ADm=23x+2y=0,取x1,得m=(1,-3,0),设二面角EAFD的平面角为,则cos=|mn|m|n|=144=14,sin=1-116=154二面角EAFD的正弦值为15420(12分)我国已进入新时代中国特色社会主义时期,人民生活水平不断提高,某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记为P元)的情况,并根据统计数据制成如下频率分布直方图(1)根据频率分布直方图估算P的平均值P;(2)视样本中的频率为概率,现从该市所有住户中随机抽取3次,每次抽取1户,每次抽取相互独立,设为抽出3户
28、中P值不低于65元的户数,求的分布列和期望E()【解答】解:(1)P=(300.014+400.026+500.036+600.014+700.01)1048(2)由已知,三次随机抽取为3次独立重复试验,且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率为0.1,则B(3,0.1),P(=i)=C3i0.1i0.93-i(i=0,1,2,3)P(0)0.729,P(1)0.243,P(2)0.027,P(3)0.001的分布列为0123P0.7290.2430.0270.001E()30.10.321(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为点F1,F2,其离心
29、率为12,短轴长为23(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线l1与椭圆C交于M,N两点,过点F2的直线l2与椭圆C交于P,Q两点,且l1l2,证明:四边形MNPQ不可能是菱形【解答】(1)解:由已知,得ca=12,b=3,又c2a2b2,故解得a24,b23,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1(2)证明:由(1),知F1(1,0),如图,易知直线MN不能平行于x轴,所以令直线MN的方程为xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程3x2+4y2-12=0x=my-1得(3m2+4)y26my90,所以y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4此时|MN|=(1
30、+m2)(y1+y2)2-4y1y2同理,令直线PQ的方程为xmy+1,P(x3,y3),Q(x4,y4),此时y3+y4=-6m3m2+4,y3y4=-93m2+4,此时|PQ|=(1+m2)(y3+y4)2-4y3y4,故|MN|PQ|所以四边形MNPQ是平行四边形若平行四边形MNPQ是菱形,则OMON,即OMON=0,于是有x1x2+y1y20又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1+y2)+1,所以有(m2+1)y1y2m(y1+y2)+10,整理得到-12m2-53m2+4=0,即12m2+50,上述关于m的方程显然没有实数解,故四边形MNPQ不可能是菱形22(12分)
31、设函数f(x)ax2+(a2)xlnx的极小值点为x0()若x01,求a的值f(x)的单调区间;()若0x01,在曲线yf(x)上是否存在点P,使得点P位于X轴的下方?若存在,求出一个点P坐标,若不存在,说明理由【解答】解:()f(x)定义域为(0,+).f(x)=2ax+(a-2)-1x=2ax2+(a-2)x-1x=(2x+1)(ax-1)x由已知,得f(1)0,解得a1当a1时,f(x)=(2x+1)(x-1)x,当0x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0所以f(x)的递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+)所以a1时函数f(x)在x1处取得极小值即f(x)的极小值点为1时a的值
32、为1(6分)( II) 当0x01时,曲线yf(x)上不存在点P位于x轴的下方,理由如下:由( I)知f(x)=(2x+1)(ax-1)x,当a0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)单调递减,f(x)不存在极小值点;当a0时,令f(x)=(2x+1)(ax-1)x=0,得x=1a当x(0,1a)时,f(x)0,f(x)在区间(0,1a)上单调递减;当x(1a,+)时,f(x)0,f(x)在区间(1a,+)上单调递增所以f(1a)=lna+1-1a是f(x)在(0,+)上的最小值由已知,若0x01,则有01a1,即a1当a1时,lna0,且01a1,1-1a0所以f(1a)0当0x01时,曲线yf(x)上所有的点均位于x轴的上方故当0x01时,曲线yf(x)上不存在点P位于x轴的下方(13分)