1、2021年新高考数学模拟试卷3一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（5分）复数z满足（2i）z|3+4i|（i为虚数单位），则z=（）A2+iB2iC2iD2+i3（5分）在区间（a，b）上，初等函数f（x）存在极大值是其存在最大值的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在812吨的家庭个数X的数学期望是（）
2、A3.6B3C1.6D1.55（5分）某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西50，灯塔B在观察站C北偏东70，则两灯塔A，B间的距离为（）A34-153B19C7D34+1536（5分）函数f（x）=xlnxx2+1，x0xln(-x)x2+1，x0的图象大致为（）ABCD7（5分）设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若F1PF290，c2，SPF2F1=3，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A5B4C6D38（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x-32)，且x(-32，
3、0)时，f（x）log2（3x+1），则f（2020）（）A4Blog27C2D2二多选题（共3小题，满分15分，每小题5分）9（5分）下列说法正确的是（）A直线xy20与两坐标轴围成的三角形的面积是2B过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1C经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y20D若a，b满足a+2b1，则直线ax+3y+b0必过定点（12，-16）10（5分）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A若a2b21，则ab1B若1b-1a=1，则ab1C若|a-b|=1，则|ab|1D若|a3b3|1，则|ab|
4、111（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，已知平面AC1，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（）A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形C截面形状可能为正六边形D截面面积最大值为33三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12（5分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种13（5分）已知数列an满足：a1=12，a2=13，a3=23，a4=14，a5=24，a6=34，a7=15，以此类推a2020 14（5分）若函数f（x）ln
5、xax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 15（5分）点P（2，0）到双曲线x29-y216=1的渐近线的距离为 四解答题（共6小题，满分70分）16（10分）在ABC中，B60，AB8（1）若M是线段BC的中点，AM=3BM，求边AC的长；（2）若AC12，求ABC的面积17（12分）已知等差数列an的前n项和Sn，且关于x的不等式a3x2-s3x-20的解集为(-15，2)（）求数列an的通项公式；（）设bn=2an+12+an，求数列bn的前n项和Tn18（12分）武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅
6、游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列Am的前10项和；（）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn1之间的关系，并求数列Bn的通项公式19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD内
7、接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA平面ABCD，PAAC2，E是PC的中点，DACAOB（1）求证：BE平面PAD；（2）若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，B为其短轴的一个端点，F1，F2分别为其左右两个焦点，已知三角形BF1F2的面积为2，且cosF1BF2=13（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l：y=kx+m(m0，k223)与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2），M为线段PQ的中点，且x12+x22=3，求|OM|PQ|的最大值21（12分）已知函数f（x）=12e2(x-1)-x2
8、+ef（12）x（）求f（x）的单调区间；（）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）+f（x2）1，求证：x1+x222021年新高考数学模拟试卷3参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以AB1，2，3，故选：A2（5分）复数z满足（2i）z|3+4i|（i为虚数单位），则z=（）A2+iB2iC2iD2+i【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得z=5-2-i=5(-2+i)(-2-i)
9、(-2+i)=-2+i，z=-2-i故选：C3（5分）在区间（a，b）上，初等函数f（x）存在极大值是其存在最大值的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解答】解：初等函数f（x）在区间（a，b）存在极大值推不出其在区间（a，b）存在最大值，所以不充分；若初等函数f（x）在区间（a，b）存在最大值，则其在区间（a，b）必存在极大值，所以是必要的在区间（a，b）上，初等函数f（x）存在极大值是其存在最大值的必要不充分条件故选：B4（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭
10、，则月均用水量在812吨的家庭个数X的数学期望是（）A3.6B3C1.6D1.5【解答】解：由频率分布直方图知，月均用水量在812吨的频率为（0.16+0.14）20.6；以样本频率作为概率，从该市居民中任选5家，月均用水量在812吨的家庭个数为随机变量X，则XB（5，0.6），所以X的数学期望为E（X）50.63故选：B5（5分）某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西50，灯塔B在观察站C北偏东70，则两灯塔A，B间的距离为（）A34-153B19C7D34+153【解答】解：由题意，ABC中，AC3km，BC5km，ACB120，利用余弦定理可得：A
11、B232+52235cos12049，AB7km故选：C6（5分）函数f（x）=xlnxx2+1，x0xln(-x)x2+1，x0的图象大致为（）ABCD【解答】解：若x0，则x0，则f（x）=-xlnxx2+1=-f（x），若x0，则x0，则f（x）=-xln(-x)x2+1=-f（x），综上f（x）f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x0，且x0时，f（x）0，排除B，故选：A7（5分）设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若F1PF290，c2，SPF2F1=3，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A5B4C6D
12、3【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得mn2a，又F1PF290，c2，SPF2F1=3，可得m2+n24c2，mn6，即（mn）2+2mn4a2+124c216，即a1，b=c2-a2=3，可得双曲线的渐近线方程为y3x，可得双曲线的两条渐近线的夹角为3故选：D8（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x-32)，且x(-32，0)时，f（x）log2（3x+1），则f（2020）（）A4Blog27C2D2【解答】解：根据题意，f（x）满足f(32+x)=f(x-32)，即f（x+3）f（x），函数f（x）是周期为3的周期函数，则f（202
13、0）f（1+2019）f（1），又由f（x）为奇函数，则f（1）f（1）log2（3+1）2，故选：D二多选题（共3小题，满分15分，每小题5分）9（5分）下列说法正确的是（）A直线xy20与两坐标轴围成的三角形的面积是2B过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1C经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y20D若a，b满足a+2b1，则直线ax+3y+b0必过定点（12，-16）【解答】解：选项A中：直线xy20与两坐标轴交点为（0，2），（2，0），故与两坐标轴围成的三角形的面积是2，选项A对；选项B中，因为分母不为零，不适应
14、x1x2，y1y2，B错；选项C中，经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y20，或者xy0，C错；选项D中，将a+2b1代入直线ax+3y+b0化简得a(x-12)+3y+12=0，直线恒过定点定点（12，-16），D对故选：AD10（5分）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A若a2b21，则ab1B若1b-1a=1，则ab1C若|a-b|=1，则|ab|1D若|a3b3|1，则|ab|1【解答】解：若a2b21，则a21b2，即（a+1）（a1）b2，a+1a1，a1ba+1，即ab1，A正确；若1b-1a=1，可取a7，b=78，则ab1，B错误；若|a-
15、b|=1，则可取a9，b4，而|ab|51，C错误；由|a3b3|1，若ab0，则a3b31，即（a1）（a2+a+1）b3，a2+1+ab2，a1b，即ab1若0ab，则b3a31，即（b1）（b2+1+b）a3，b2+1+ba2，b1a，即ba1|ab|1，D正确故选：AD11（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，已知平面AC1，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（）A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形C截面形状可能为正六边形D截面面积最大值为33【解答】解：如图，显然A，C成立，下面说明D成立，如图截得正六边形，面积最大，MN=22，GH=2，OE=1+(22)
16、2=62，所以S212(2+22)62=33，故D成立，故选：ACD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12（5分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有78种【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3A3318种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3A3318种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中既有甲
17、又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有A33+22A22种，则此时有C32（A33+22A22）42种选派方法；故一共有18+18+4278种选派方法；故答案为：7813（5分）已知数列an满足：a1=12，a2=13，a3=23，a4=14，a5=24，a6=34，a7=15，以此类推a2020465【解答】解：按分母分段，分母为k+1的分数有k个，因为63642=2016，故2020属于第64段，则a2020应该是分母为65的第四数，即465故答案是：46514（5分）若函数f（x）lnxax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1e）【解答】解：函数
18、f（x）lnxax在R上有两个不同的零点可化为ylnx与yax在R上有两个不同的交点，作函数ylnx与yax在R上的图象如下，当直线与ylnx相切时，则 lnxx=1x，解得，xe；故直线与ylnx相切时，切线的斜率a=1e；故实数a的取值范围是（0，1e）；故答案为：（0，1e）；15（5分）点P（2，0）到双曲线x29-y216=1的渐近线的距离为85【解答】解：双曲线x29-y216=1的渐近线方程为y43x，即4x3y0，则点（2，0）到4x3y0的距离d=842+(-3)2=85，故答案为：85四解答题（共6小题，满分70分）16（10分）在ABC中，B60，AB8（1）若M是线段B
19、C的中点，AM=3BM，求边AC的长；（2）若AC12，求ABC的面积【解答】解：（1）设BMx，则AM=3x，ABM中，由正弦定理可得，AMsin60=BMsinBAM，3x32=xsinBAM，sinBAM=12，即BAM=6，AMBC即ABC为等腰三角形，ABAC8，（2）由B60，AB8AC12，由正弦定理可得，bsin60=csinC，sinC=83212=33，bc，BC，即C为锐角，cosC=63，所以sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB=3263+1233=32+36，故面积s=12bcsinA=1212832+36=242+8317（12分）已知等差数列
20、an的前n项和Sn，且关于x的不等式a3x2-s3x-20的解集为(-15，2)（）求数列an的通项公式；（）设bn=2an+12+an，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）不等式a3x2-s3x-20的解集为(-15，2)，可得-15，2为方程a3x2-s3x-2=0的两根，即有125a3+15S3-2=04a3-2S3-2=0.，解得a3=5S3=9.，又S33a29，即a23，可得d2，得等差数列an的通项公式为an2n1；（）由（）可得bn2n+2n1，所以数列bn的前n项和Tn（2+4+2n）+（1+3+2n1）=2(1-2n)1-2+12n（1+2n1）2n+1+n2218（1
21、2分）武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列Am的前10项和；（）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分
22、的概率为Bn，探讨Bn与Bn1之间的关系，并求数列Bn的通项公式【解答】解：（1）X可能取值为3，4，5，6.P(X=3)=(12)3=18，P(X=4)=C31(12)3=38，P(X=5)=C32(12)3=38，P(X=6)=C33(12)3=18X的分布列为X3456P18 38 38 18 EX=318+438+538+618=4.5（2）（i）总分恰为m分的概率为Am=(12)m，数列Am是首项为12，公比为12的等比数列，前10项和S10=12(1-1210)1-12=10231024（）已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得n（1分），再得2分，概率为
23、12Bn-1，B1=12所以1-Bn=12Bn-1，即Bn=-12Bn-1+1Bn-23=-12(Bn-1-23)Bn-23=(B1-23)(-12)n-1，Bn=23-16(-12)n-1=23+13(-12)n19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA平面ABCD，PAAC2，E是PC的中点，DACAOB（1）求证：BE平面PAD；（2）若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】（1）证明：，DACAOBADOB，E是PC的中点，O是AC的中点，OE是PAC的中位线，OEPA，PAADA，平面OBE平面
24、PAD，BE平面BOE，BE平面PAD，BE平面PAD；（2）AC是圆O的一条直径，ACAD，PA平面ABCD，PACD，则CD平面PAD，则CDAD，则PDA是二面角PCDA的平面角，若二面角PCDA的正切值为2，则tanPDA=PAAD=2，即AD1，建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（32，32，0），P（1，0，2），PB=（-12，-32，2）D（0，0，0），C（0，3，0），则DC=（0，3，0），DP=（1，0，2），设平面PCD的法向量为m=（x，y，z），则mDC=0mDP=0，即3y=0x+2z=0，令z1
25、，则x2，y0，即m=（2，0，1），则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sinm，PB=|cosm，PB|mPB|m|PB|=1+255=3520（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，B为其短轴的一个端点，F1，F2分别为其左右两个焦点，已知三角形BF1F2的面积为2，且cosF1BF2=13（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l：y=kx+m(m0，k223)与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2），M为线段PQ的中点，且x12+x22=3，求|OM|PQ|的最大值【解答】解：（1）由cosF1BF2=2a2-4c22a2=13c2a2=13a23c2，b22c2，
26、cosF1BF2=13sinF1BF2=223，结合SF1BF2=12a2223=2a23，b22，故椭圆C的方程为x23+y22=1；另解：依题意：SF1BF2=122cb=bc=2，cosF1BF2=2cos2F1BF22-1=13b2a2=23，解得：a23，b22，故椭圆C的方程为x23+y22=1；（2）联立y=kx+m2x2+3y2=6（3k2+2）x2+6kmx+3m26024（3k2+2m2）03k2+2m2且x1+x2=-6km3k2+2，x1x2=3m2-63k2+2；依题意，x12+x22=3(x1+x2)2-2x1x2=3(-6km)2(3k2+2)2-6(m2-2)3
27、k2+2=3化简得：3k2+22m2（3k22）；设M（x0，y0），由2x12+3y12=62x22+3y22=62(x12-x22)=-3(y12-y22)k=y1-y2x1-x2=2x0-3y0又y0kx0+m解得：M(-3k2m，1m)|OM|2=9k2+44m2=3m2-12m2，|PQ|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)24(3k2+2-m2)(3k2+2)2=2(2m2+1)m2 |OM|2|PQ|2=(3-1m2)(2+1m2)254，|OM|PQ|52当且仅当3-1m2=2+1m2，即m=2时，|OM|PQ|的最大值为5221（12分）已知函数f（x）=12e2(
28、x-1)-x2+ef（12）x（）求f（x）的单调区间；（）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）+f（x2）1，求证：x1+x22【解答】解：（I）f（x）e2（x1）2x+ef（12）令x=12，则f（12）=1e-1+ef（12），解得f（12）=1ef（x）e2（x1）2x+1f（x）2e2（x1）22（ex1+1）（ex11），x1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）0，函数f（x）在R上单调递增（II）由（I）可得：函数f（x）=12e2(x-1)-x2+x在R上单调递增要证明：x1+x22x12x2f（x1）f（2x2），又f（x1）+f（x2）1，因此f（x1）f（2x2）1f（x2）f（2x2），即f（x2）+f（2x2）10，f（1）=12-1+1=12，则x11x2令g（x）f（2x）+f（x）1=12e2(1-x)-（2x）2+2x+12e2(x-1)-x2+x=12e2(1-x)+12e2(x-1)-2x2+4x2，x1，g（1）0g（x）e2（1x）+e2（x1）4x+4，g（x）2e2（1x）+2e2（x1）40，g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）0，函数g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）0，因此结论x1+x22成立
