1、2022届新高考数学模拟试题（15）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，那么集合ABC，D，2，2.若是虚数单位），则复数的模为ABCD3.已知，则A0B1CD4.已知平面向量，满足，且，则ABC1D5.已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，（1），则ABC0D16.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为AB3CD7.在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为ABCD8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围
2、是A，BCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标同比一般情况下是今年第月与去年第月比；环比，表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比如图是根据国家统计局发布的2019年4月年4月我国涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是A2020年1月同比涨幅最大B2019年4月与同年12月相比较，4月环比更大C2019年7月至12月，一直增长D2020年1月至4月只跌不
3、涨10.记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是A若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”B若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差C若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”D若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比11.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”如图在堑堵中，且下列说法正确的是A四棱锥为“阳马”B四面体为“鳖膈”C四棱锥体积最大为D过点分别作于点，于点，则12.已知，下面结论正确的是A若，且的最小值为，则B存
4、在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C若在，上恰有7个零点，则的取值范围是D若在上单调递增，则的取值范围是，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山；乙：4是衡山，2是嵩山；丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山；戊：2是华山，5是泰山老师提示这五个学生都只说对了
5、一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是15.已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是16.已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆如图椭圆中心为，球与地面的接触点为，若光线与地面所成角为，则，椭圆的离心率四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知的内角，的对边分别为，设为线段上一点，有下列条件：；请从以上三个条件中任选两个，求的大小和的面积18（12分）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由19（12
6、分）四棱锥中，面，直角梯形中，点在上且与平面所成角为（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值20（12分）某公司为研究某种图书每册的成本费（单位：元）与印刷数量（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了如图的散点图及一些统计量的值15.253.630.2692085.50.7877.049表中，（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费与印刷数量的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（结果精确到；（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？（假设能够
7、全部售出，结果精确到附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为4过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，（1）求椭圆的方程；（2）过点作与轴不重合的直线，与椭圆交于，两点，点在直线上的投影与点的连线交轴于点，点的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由22（12分）已知函数（1）求的最大值；（2）设函数，若对任意实数，当，时，函数的最大值为（b），求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，求证：2022届新高考数学模拟试题（15）答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每
8、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，那么集合ABC，D，2，.【解析】集合，1，2，集合，故选：2.若是虚数单位），则复数的模为ABCD.【解析】由，得，故选：3.已知，则A0B1CD.【解析】，可得，可得，故选：4.已知平面向量，满足，且，则ABC1D.【解析】，得，故选：5.已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，（1），则ABC0D1.【解析】因为是定义域为的奇函数，且为偶函数，所以关于原点对称，且关于对称，即，所以，即即函数的周期，因为（1），所以（1）故选：6.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为A
9、B3CD.【解析】设的内切圆与，的切点分别为，由切线长定理可知，又，由双曲线的定义可知，故而，又，双曲线的离心率为故选：7.在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为ABCD.【解析】二项式的展开式中，令，可得各项系数的和为，展开式的通项公式为，可知，当，2，4，6时，为有理项，即展开式中有4项有理项，有4项为无理项，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的方法有中，而所有的排法有种，故有理项都互不相邻的概率为，故选：8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是A，BCD.【解析】由，得当时，在上恒成立，可得在上单调递减，不合题意；则，由，得
10、，令，则令，则，则在上单调递减而（1），当时，单调递增，当时，单调递减的极大值也是最大值为（1）又当时，当时，要使与的图象有两个交点，则综上，实数的取值范围是故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标同比一般情况下是今年第月与去年第月比；环比，表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比如图是根据国家统计局发布的2019年4月年4月我国涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下
11、列说法正确的是A2020年1月同比涨幅最大B2019年4月与同年12月相比较，4月环比更大C2019年7月至12月，一直增长D2020年1月至4月只跌不涨.【解析】对于，2020年1月同比涨幅为5.4，涨幅最大，故正确；对于，2019年4月环比为0.1，同年12月环比为0，故4月环比更大，故正确；对于，很明显9月到12月在下降，故错误；对于，很明显3月到4月在增涨，故错误；故选：10.记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是A若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”B若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差C若是等比数列，且公比，则是“和有界数
12、列”D若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比.【解析】若是等差数列，且公差，当，可得，数列为“和有界数列”；当，可得，数列不为“和有界数列”，故错误；若是等差数列，且数列为“和有界数列”，可得存在实数，使得对任意的，都有，即恒成立，可得，故正确；若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”，故正确；若是等比数列，且是“和有界数列”，若，即当为奇数时，当为偶数时，可得存在实数，使得对任意的，都有，故错误故选：11.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”如图在堑堵中，且下列说法
13、正确的是A四棱锥为“阳马”B四面体为“鳖膈”C四棱锥体积最大为D过点分别作于点，于点，则.【解析】四边形为矩形，平面四棱锥为“阳马”，故正确；四面体中，、都是直角三角形，四面体为“鳖膈”，故正确；当时，四棱锥体积为：，故错误；过点分别作于点，于点，平面，又平面，平面，平面，平面，故正确故选：12.已知，下面结论正确的是A若，且的最小值为，则B存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C若在，上恰有7个零点，则的取值范围是D若在上单调递增，则的取值范围是，.【解析】，周期由条件知，周期为，故错误；函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，故对，存在，故正确；由条件
14、，得，故正确；由条件，得，又，故正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.【解析】抛物线的焦点为圆心坐标为： ，准线方程为：，圆的半径为：1圆的方程为：故答案为：14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山；乙：4是衡山，2是嵩山；丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山；戊：2是华山，5是泰山老师提示这五个学生都只
15、说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是5.【解析】假设甲前半句正确，则2是泰山，4是衡山，5是恒山，3是嵩山，5是泰山，矛盾；则甲前半句错误，后半句正确，则3是华山，4是恒山，2是嵩山，5是泰山，1是衡山，即正确的对应关系应该是1是衡山，2是嵩山，3是华山，4是恒山，5是泰山，故答案为：515.已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是.【解析】因为，且（a）（b），所以即，所以，由对勾函数的单调性可知，故答案为：16.已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆如图椭圆中心为，球与地面的接触点为，若光线与地面所成角为，则，椭圆的离心率.【解析】在
16、照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即，由图，可得，由是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，连接，在构成的直角三角形中，即，故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知的内角，的对边分别为，设为线段上一点，有下列条件：；请从以上三个条件中任选两个，求的大小和的面积.【解析】选，则，由余弦定理可得又，在中，由正弦定理可得，又，选，由余弦定理可得，又，在中，由正弦定理可得，又，选，由余弦定理可得，又，在中，由正弦定理可得，又，18（12分）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得
17、？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由，成等差数列，且得，即，解得，故数列的通项公式为；（2）由（1）有，假设存在正整数，使得，则，即，当为偶数时，上式不成立；当为奇数时，即，解得，综上，存在符合条件的正整数，最小值为1119（12分）四棱锥中，面，直角梯形中，点在上且与平面所成角为（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：在线段上取一点，使，为平行四边形，得，平面，平面，平面；在三角形中，由，得，平面，平面，平面又，平面平面，又平面，平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系面，又，面，在面的射
18、影为，则为与平面所成角，平面的一个法向量，1，设平面法向量，由，取，得，由图可知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为20（12分）某公司为研究某种图书每册的成本费（单位：元）与印刷数量（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了如图的散点图及一些统计量的值15.253.630.2692085.50.7877.049表中，（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费与印刷数量的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（结果精确到；（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低
19、于80000元？（假设能够全部售出，结果精确到附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【解析】（1）由散点图判断，更适合（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为（3）假设印刷千册，依题意得，解得，所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为4过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，（1）求椭圆的方程；（2）过点作与轴不重合的直线，与椭圆交于，两点，点在直线上的投影与点的连线交轴于点，点的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明
20、理由.【解析】（1）由题意：的最大面积，又，联立方程可解得，所以椭圆的方程为；（2）的横坐标为定值，理由如下：已知直线斜率不为零，得整理，设，可知，均不为零，两式相除得，设的方程，令，将代入点的横坐标为定值22（12分）已知函数（1）求的最大值；（2）设函数，若对任意实数，当，时，函数的最大值为（b），求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，求证：.【解析】（1）的定义域为，当时，单调递增；当时，单调递减，所以（1），（2）由题意，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当，时，函数的最大值为（b）当时，令，当时，函数在上单调递增，显然符合题意当时，函数上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且（1），要使对任意实数，当，时，函数的最大值为（b），只需（2），解得，所以此时实数的取值范围是当时，函数在上单调递增，在上单调递减，要对任意实数，当，时，函数的最大值为（b），故（2），代入化简和，令，因为恒成立，故恒有，所以时，式恒成立，综上，实数的取值范围是，（3）证明：由题意，正项数列满足：，由（1）知：（1），即有不等式，由已知条件知，故，从而当所以有也成立，所以有
