1、2022年新高考数学模拟试卷（2）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合，1，2，3，则集合中元素的个数为A2B3C4D52（5分）已知为虚数单位，复数，则其共轭复数ABCD3（5分）已知函数，若实数，满足，则的最小值为AB4C6D84（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到，三个社区参加疫情联防联控工作，根据工作实际需要，社区要分配三名志愿者，两个社区各2名志愿者，则不同的分配方法共有A210种B240种C420种D480种5（5分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得
2、在其著作几何原本的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为ABCD6（5分）已知正的边长为2，是边边上一点，且，则A1B2C4D67（5分）下列说法正确的是A命题“，使”的否定为“，都有”B命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题C命题“在锐角中，”为真命题D命题“若，则”的逆否命题为真命题8（5分）已知，则，的大小关系为ABCD二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是A若是等差数列，且公
3、差，则是“和有界数列”B若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差C若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”D若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比10（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是A乙类水果的平均质量B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数11（5分）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是A直线与平面所成的角等于B点到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D二面角的平面角的余弦值为12（5分）已知函数则下面结论正确的是A是奇函
4、数B在，上为增函数C若，则D若，则三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知复数，则14（5分）若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个，的“准奇函数”（填写解析式）15（5分）如图，圆柱的底面圆半径为1，是一条母线，是的直径，是上底面圆周上一点，若，两点间的距离为，则圆柱的高为，异面直线与所成角的余弦值为16（5分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线，直线为曲线在点处的切线如图
5、所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为过，作的水平截面，所得截面面积（用表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）若数列的首项为1，且，（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求证：数列的前项和18（12分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元件）与每天销售量（种之间满足如图所示的关系（1）求出与之间的函数关系式；（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？19（12分）已知直三
6、棱柱中，为正三角形，为的中点点在棱上，且（）求证：直线平面；（）求二面角的余弦值20（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量万辆）1099.510.51188.5空气质量指数78767779807375（1）根据表中周一到周五的数据，求关于的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所
7、得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，21（12分）已知椭圆过点，且以，为焦点，椭圆的离心率为（1）求实数的值；（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由22（12分）已知函数有两个不同零点，（1）求的取值范围；（2）证明：当时，2022年新高考数学模拟试卷（2）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合，1，2，3，则集合中元素的个数为A2B3C4D5【解答】解：，1，2，3，1，2，中元素的个数为：4故选：2（5分）已知为虚数
8、单位，复数，则其共轭复数ABCD【解答】解：，故选：3（5分）已知函数，若实数，满足，则的最小值为AB4C6D8【解答】解：由于故，则，由于，故，故选：4（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到，三个社区参加疫情联防联控工作，根据工作实际需要，社区要分配三名志愿者，两个社区各2名志愿者，则不同的分配方法共有A210种B240种C420种D480种【解答】解：根据题意，分3步进行分析：先在7名大学生志愿者中任选3人，安排到社区，有种安排方法，在剩下的4名大学生中任选2人，安排到社区，有种安排方法，剩下的2名大学生安排到社区，有1种安排方法，则有种安排方法，故选：5（5分）如果一个凸多
9、面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为ABCD【解答】解：设正四面体的棱长为，所以利用勾股定理的应用：，解得正方体的棱长为，则：，解得：设正八面体的棱长为，所以：，解得，所以：故选：6（5分）已知正的边长为2，是边边上一点，且，则A1B2C4D6【解答】解：，且，故选：7（5分）下列说法正确的是A命题“，使”的否定为“，都有”B命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为
10、真命题C命题“在锐角中，”为真命题D命题“若，则”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“，使”的否定为“，都有”，则项错误；命题“若向量与的夹角为锐角，则”的逆命题为“若，则向量与的夹角为锐角”，当时，向量与的夹角为锐角或0，假命题，则项错误；在锐角中，则项情误；命题“若，则”为真命题，则其逆否命题为真命题，则项正确故选：8（5分）已知，则，的大小关系为ABCD【解答】解：由，得：，故选：二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是A若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”B若是等差数列，且是“和
11、有界数列”，则公差C若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”D若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比【解答】解：若是等差数列，且公差，当，可得，数列为“和有界数列”；当，可得，数列不为“和有界数列”，故错误；若是等差数列，且数列为“和有界数列”，可得存在实数，使得对任意的，都有，即恒成立，可得，故正确；若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”，故正确；若是等比数列，且是“和有界数列”，若，即当为奇数时，当为偶数时，可得存在实数，使得对任意的，都有，故错误故选：10（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是A乙类水果的平均质量B甲类
12、水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数【解答】解：由图象可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，故正确，正确，甲图象比乙图象更“高瘦”，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故正确；乙图象的最大值为1.99，即，故错误故选：11（5分）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是A直线与平面所成的角等于B点到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D二面角的平面角的余弦值为【解答】解：如图，取的中点，连接，易证平面，所以是直线与平面所成的角，为，故正确；点到平面的距离为的长度，为，故正确；易证，所
13、以异面直线和所成的角为或其补角，因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误；连接，由，所以，又，所以为二面角的平面角，易求得，又，由余弦定理可得，故错误故选：12（5分）已知函数则下面结论正确的是A是奇函数B在，上为增函数C若，则D若，则【解答】解：已知函数则，故函数为偶函数，故选项错误；当时，所以函数为增函数，故选项正确；当时，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，又由在上为增函数，所以（2），又由函数为奇函数，当时，综上，当时，选项正确；由与函数为偶函数，由，得，则，解得，故选项正确故选：三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知复数，则【解答】解：，则故答案为
14、：14（5分）若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个，的“准奇函数”（填写解析式）【解答】解：由，可得“准奇函数” 的图像关于点对称，若，即函数的图像关于点对数，如的图像关于点对数故答案为：15（5分）如图，圆柱的底面圆半径为1，是一条母线，是的直径，是上底面圆周上一点，若，两点间的距离为，则圆柱的高为2，异面直线与所成角的余弦值为【解答】解：连接，由题意可得，又，所以，因为底面，所以，在中，所以，即圆柱的高为2连接并延长交圆于点，连接，则且，所以异面直线与所成的角为或其补角，由，可得，在中，所以，即异面直线与所成角的余弦值为故答案为：2，16（5分）我
15、国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线，直线为曲线在点处的切线如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为过，作的水平截面，所得截面面积（用表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为【解答】解：过点的直线与抛物线的交点为，直线为曲线在点处的切线，则切线的斜率为，切线方程为过点的直线与切线的交点为，用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，截面面积为；取底面直径与高均为1的圆锥，用一个平
16、行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为，截面面积为，符合题意则体积等于圆锥的体积等于故答案为：，四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）若数列的首项为1，且，（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求证：数列的前项和【解答】解：（1）证明：，而，是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，；（3）证明：，18（12分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元件）与每天销售量（种之间满足如图所示的关系（1）求出与之间的函数关系式；（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多
17、少？【解答】解：（1）依题意可设与之间的函数关系式为：，由题意可知，点和点在函数图象上，代入得，解得，所以与之间的函数关系式为：；（2）由题意可知，每天的利润，即，所以当售价定为130时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元19（12分）已知直三棱柱中，为正三角形，为的中点点在棱上，且（）求证：直线平面；（）求二面角的余弦值【解答】解：（）取中点，连接，设，以为坐标原点，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，直线平面（），设平面的法向量为，不妨取，则，平面的法向量为，设二面角的平面角为，20（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保
18、部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量万辆）1099.510.51188.5空气质量指数78767779807375（1）根据表中周一到周五的数据，求关于的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，【解答】解：（1）， （2分），（4分），（7分） （8分）关于的线性回归方程为（9分）（
19、2）当时，满足，（10分）当时，满足，（11分）所得的线性回归方程是可靠的 （12分）21（12分）已知椭圆过点，且以，为焦点，椭圆的离心率为（1）求实数的值；（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆方程为已知椭圆过点，为椭圆的焦点，椭圆的离心率为，解得，（2）由（1）有椭圆的方程为，假设存在点满足题意，且和相交于点，则，当直线与轴重合时，不满足题意设直线的方程为，联立得，则，将，代入有解得，故存在使线段和相互平分，其坐标为22（12分）已知函数有两个不同零点，（1）求的取值范围；（2）证明：当时，【解答】解：（1）由题，则当时，单调递增；当时，单调递减故在处取得最大值（1），由题可知，需满足（1），即当时，故函数在，上存在一个根，存在，使得，从而函数在上存在一个根，故的取值范围为（2）证明：由（1）可知，因此，令，则，而，即，从而在上单调递减所以，因此，又因为在上单调递减，且，所以，从而
