1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1已知集合 M 1,0,1 ， N 0,1,2 ，则 M NA. 0,1 B. 1,0, 2 C. 1,0,1,2 D. 1,0,12已知复数 Z 满足 (3 4i)z 25，则 Z=A. 3 4i B. 3 4i C. 3 4i D. 3 4iy x3若变量 x, y满足约束条件 1 2且 的最大值 x y z x yy 1A.5 B.6 C.7 D.84若实数 k 满足 0 k 9，则曲线2 2x y25 9 k1与曲线2 2x y25 k 91的A. 焦距相等 B.
2、 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5已知向量 a 1,0, 1 ，则下列向量中与 a成 60 夹角的是A. （-1,1,0 ） B. （1,-1,0 ） C.（0,-1,1 ） D. （-1,0,1 ）6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，近视率 /%小学生3500 名高中生2000 名5030初中生4500 名10O小学 初中 高中 年级A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100 ，107若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3, l4 ，满足 l1 l2,l2 l3 ,l3 l4 ，则A.l l B. l1 / /l4 C
3、. l1,l4 既不垂直也不平行 D. l1 ,l4 的位置关系不确定1 48设集合A= x , x , x ,x , x xi 1,0,1, i 1,2,3,4,5 ，那么集合 A 中满足条件1 2 3 4 5“1 x1 x2 x3 x4 x5 3”的元素个数为A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（ 913 题）9不等式 x 1 x 2 5的解集为 。10曲线 y e 5x 2在点 ( 0,3) 处的切线方程为 。11从 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，9 中任取七个不同的数，则这七个数
4、的中位数是 6 的概率为 。12在 ABC中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c ，已知 b cosC c cosB 2b，则ab。13若等比数列 an 的各项均为正数，（二）选做题（ 1415 题，考生从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C1 和C2 的方程分别为2sin cos 和 sin 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线_.C 和C2 交点的直角坐标为115（几何证明选讲选做题）如图 3, 在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB 2AE ， AC 与 DE 交于点 F ，则DCCD
5、F的面积 FAEF的面积A B E三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分 12 分）已知函数 f x A x ),x R ( ) sin( ，且4（1）求 A的值； 5 3f ( ) ， 12 2（2）若3 3f ( ) f ( ) ， (0, )，求 f ( ) 。2 2 417（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件） ，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36
6、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率25,30 3 0.12(30,35 5 0.20(35,40 8 0.32(40,45 n 1 f 1(45,50 n 2 f 2（1）确定样本频率分布表中n1,n2, f1 和 f2 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35 的概率。18（本小题满分 13 分）如图 4，四边形 ABCD为正方形， PD 平面 ABCD ，点 F ， FE / /CD ，交 PD 于点 E .（1）证明： CF 平面ADF0DPC 30
7、 ， AF PC 于（2）求二面角 D AF E的余弦值。A BD CEFP19（本小题满分 14 分）设数列a 的前 n 和为 Sn , 满足n2 *S 2na 3n 4n, n N ，且 S3 15，n n 1(1) 求a1,a2 ,a3 的值 ;(2) 求数列 an 的通项公式。20（本小题满分 14 分）已知椭圆（1）求椭圆 C的标准方程；2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为53，（2）若动点P(x , y ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。0 021（本小题满分 14 分） 设函数f (x
8、)12 2 2(x 2x k) 2(x 2x k) 3，其中 k 2，（1）求函数 f (x) 的定义域 D（用区间表示） ；（2）讨论函数 f (x) 在 D上的单调性；（3）若 k 6，求 D上满足条件 f (x) f (1)的 x 的集合（用区间表示） 。2019 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案 成本文 6/8/2018： CDBA BADD;. 解：A 中元素为有序数组x1,x2, x3,x4, x5 ，题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为 1、仅 2 个数为 1或仅 3 个数为 1，所以共有1 2 3C5 2 C5 2 2 C5 2 2 2 13
9、0个不同数组；9. ( , 3) (2, ) ; 10. y 5x 3 ; 11. 1; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;63 3C C16 3P 11. 解：6 之前 6 个数中取 3 个， 6 之后 3 个数中取 3 个，；36 C1016. 解：（1） (5 ) sin( 5 ) 3 f A ，12 12 4 23 3A ， A 3 ； f ( ) f ( )2 2（2） ( ) ( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 f f ，4 4 2 2 2 33 (sin cos ) ( sin cos )2 2 2，6 cos32，cos64，又 (0, ) ，
10、22 10sin 1 cos4，3f 3 sin( ) 3 sin 30( )4417. 解：（1）n1 7, n2 2 ， f1 0.28, f2 0.08 ；（2）样本频率分布直方图为频率组距0.640.560.40.24 0.016日加工零件数 25 30 35 40 45 500（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（ 30,35 的概率 0.2 ，设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（ 30,35 的人数为 ，则 B (4, 0.2) ，4P( 1) 1 P( 0) 1 (1 0.2) 1 0.4096 0.5904 ，所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件
11、数落在区间（ 30,50 的概率约为 0.5904 18. （） PD 平面 ABCD ，PD AD ，又 CD AD ， PD CD D ，AD 平面 PCD，AD PC，又 AF PC ，PC 平面 ADF ，即 CF 平面ADF ；（）设 AB 1，则 Rt PDC 中， CD 1，又0DPC 30 ，zPC 2， PD 3 ，由（）知 CF DFA B3DF ，22 2 7AF AD DF ，2D C2 2 1CF AC AF ，又 FE / /CD ，2DE CF 1 DE 3 ，同理 3 3，EF CD ，PD PC 4 4 4 4 如图所示，以 D为原点，建立空间直角坐标系，则
12、A(0,0,1) ，E ， ( 3 , 3 ,0)( ,0,0) F ， P( 3,0,0) ， C (0,1,0) ，34 4 4设 m (x, y, z) 是平面 AEF 的法向量，则 m AEm EF，又AEEF3( ,0,0)4 3(0, ,0) 4，所以3 0m AE x z43 0m EF y4，令 x 4 ，得 z 3 ， m (4,0, 3) ，由（）知平面 ADF 的一个法向量 PC ( 3,1,0) ，设二面角 D AF E 的平面角为 ，可知 为锐角，cos | cos m, PC | m PC | m| | PC |4 3 2 571919 2，即所求10. 解： S2
13、 4a3 20 ， S3 S2 a3 5a3 20 ，又 S3 15 ，a3 7 ， S2 4a3 20 8，又 S2 S1 a2 (2 a2 7) a2 3a2 7 ，a2 5 ， a1 S1 2a2 7 3，综上知 a1 3，a2 5， a3 7 ；（）由（）猜想 2 1a n ，n当 n 1时，结论显然成立；假设当 n k （ k 1）时， ak 2k 1，则 3 5 7 (2 1) 3 (2 1) ( 2)kS k k k k ，又k22S 2ka 3k 4k ，k k 12k(k 2) 2ka 3k 4k ，解得k 12a 4k 6 ，k 1a 1 2(k 1) 1，即当 n k 1
14、时，结论成立；k由知， *, 2 1n N a n n11. 解：（）可知 c 5 ，又 5ca 3， a 3 ，2 2 2 4b a c ，椭圆 C的标准方程为2 2x y9 41；（）设两切线为l1, l2 ，当l x 轴或 l1 / /x 轴时，对应 l2 / /x 轴或 l2 x 轴，可知 P( 3, 2)1l 与 x 轴不垂直且不平行时， x0 3，设 l1 的斜率为 k ，则 k 0，l2 的斜率为 1当1k2 2x yl 的方程为 y y0 k(x x0) ，联立 1，19 42 2 2(9 k 4)x 18( y kx )kx 9( y kx ) 36 0 ，得0 0 0 0，
15、因为直线与椭圆相切，2 236k 4( y kx ) 4 0 ，0 02 2 2(x 9) k 2x y k y 4 00 0 0 0所以 k 是方程2 2 2(x 9)x 2x y x y 4 0 的一个根，0 0 0 0同理 1k是方程2 2 2(x 9) x 2x y x y 4 0 的另一个根，0 0 0 0k1( )k22yx0049，得2 2x0 y0 13，其中x0 3 ，所以点 P的轨迹方程为2 2 13x y （ x 3），因为 P( 3, 2) 满足上式，综上知：点 P的轨迹方程为2 2 13x y 12. 解：（）可知2 2 2( x 2x k) 2(x 2x k) 3
16、0 ，2 2( x 2x k) 3 ( x 2x k) 1 0，2 2 3x x k 或2 2 1x x k ，2(x 1) 2 k ( 2 k 0) 或2(x 1) 2 k (2 k 0) ，| x 1| 2 k 或| x 1| 2 k ， 1 2 k x 1 2 k 或 x 1 2 k 或 x 1 2 k ，所以函数 f (x) 的定义域 D为( , 1 2 k ) ( 1 2 k, 1 2 k ) ( 1 2 k , ) ；（）f ( x)22(x 2x k )(2 x 2) 2(2 x 2)32 2 22 ( x 2x k) 2(x 2x k) 32(x 2x k 1)(2 x 2)3
17、2 2 2(x 2x k) 2(x 2x k) 3，由 f ( x) 0得2(x 2x k 1)(2 x 2) 0 ，即 (x 1 k )( x 1 k )( x 1) 0 ， x 1 k 或 1 x 1 k ，结合定义域知 x 1 2 k 或 1 x 1 2 k ，所以函数 f (x) 的同理递减区间为 ( 1 2 k, 1)，( 1 2 k, ) ；（）由 f (x) f (1)得2 2 2 2( x 2x k) 2(x 2x k) 3 (3 k) 2(3 k) 3 ，2 2 2 2( x 2x k) (3 k) 2( x 2x k) (3 k) 0 ，2 2(x 2x 2k 5) (x 2x 3) 0，(x 1 2k 4)( x 1 2k 4) ( x 3)( x 1) 0，x 1 2k 4 或 x 1 2k 4 或 x 3 或 x 1，k 6 ， 1 ( 1, 1 2 k ) ， 3 ( 1 2 k, 1)， 1 2k 4 1 2 k ， 1 2k 4 1 2 k ，结合函数 f (x) 的单调性知 f (x) f (1)的解集为( 1 2k 4, 1 2 k ) ( 1 2 k, 3) (1, 1 2 k) ( 1 2 k, 1 2k 4)
