2019年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案（精校版）.doc

1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. i 为虚数单位，则11(ii)2（ ）A. 1 B. 1 C. i D. i2. 若二项式a7(2x ) 的展开式中x13x的系数是 84，则实数 a （ ）2 5 4 C. 1 D.A.2 B.43. 设U 为全集， A, B 是集合，则“存在集合 C 使得 A C, B C C 是“ A B ”的（ ）UA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本

2、数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0得到的回归方程为 y? bx a ，则（ ）A. a 0,b 0 B. a 0,b 0 C. a 0, b 0 D. a 0.b 05. 在如图所示的空间直角坐标系 O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（ 0,0,2 ），（2,2,0 ），（1,2 ，1），（2,2,2 ），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和16. 若函数 f (x), g (x)满足 f (x)g( x) dx 0, f ( x), g( x) 1,1 上的一组正交函数，给出三组函

3、数： 1 则称 为区间1 1 f x x g x x( ) sin , ( ) cos ； f (x) x 1, g (x) x 1；2 2其中为区间 1 ,1 的正交函数的组数是（ ）f (x) x,g(x) x2A.0 B.1 C.2 D.3xyy00x2 0确定的平面区域记为 1 ，不等式xxyy17. 由不等式，确定的平面区域记为 2 ，在 1 中随2机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（ ）A.18B.14C.34D.788. 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也 . 又以高乘之，三十六成

4、一 .该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式12v L h. 它实际上是将圆锥体积公36式中的圆周率 近似取为 3. 那么近似公式22v L h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）75A.227B.258C.15750D.3551139. 已知F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且 F1PF2 , 则椭圆和双曲线的离心率3的倒数之和的最大值为（ ）A.4 33B.2 33C.3 D.210. 已知 函数 f （x ）是 定义 在 R 上 的奇 函 数， 当 x 0 时 ， x R, f (x 1) f (x), 则实数 a

5、 的取值范围为（ ）12 2 2f (x) (| x a |) | x 2a | 3a ). 若2A.1 1 , 6 6B. 6 6 , 6 6C.1 1 , 3 3D. 3 3 , 3 3二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 .（一）必考题（ 1114 题）11. 设向量 a (3,3)， b (1, 1)，若 a b a b ，则实数 _.12. 直线l ：y=x+a 和1l ：y=x+b将单位圆22 2C : x y 1分成长度相等的四段弧，则2 2a b _.13

6、. 设 a是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数 . 将组成 a的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I a ，按从大到小排成的三位数记为 D a （例如 a 815，则 I a 158， D a 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ，输出的结果 b _.14. 设 f x 是定义在 0, 上的函数， 且 f x 0，对任意 a 0,b 0 ，若经过点 a, f a , b, f b 的直线与x轴的交点为 c,0 ，则称 c 为 a,b 关于函数 f x 的平均数，记为 M f ( a,b) ，例如，当 f x 1(x 0) 时，可得a bM f

7、，即 M f (a,b) 为a,b 的算术平均数 .(a, b) c2（1）当 f x _(x 0) 时， M f (a,b) 为a,b 的几何平均数；（2）当当 f x _(x 0) 时， M ( a,b)f 为a,b的调和平均数（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）2aba b；（二）选考题15. （选修 4-1 ：几何证明选讲）如图， P 为 O 的两条切线， 切点分别为 A,B ，过 PA 的中点 Q 作割线交 O 于C, D 两点，若QC 1, CD 3,则 PB _16. （选修 4-4 ：坐标系与参数方程）x t已知曲线 C1 的参数方程是y3t3t ，以坐标原点为极点，

8、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为参数C 的极坐标方程是 2 ，则 C1 与C2 交点的直角坐标为 _217、（本小题满分 11 分）某 实 验 室 一 天 的 温 度 （ 单 位 ： ） 随 时 间 （ 单 位 ;h ） 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分 12 分）已知等差数列 满足： =2，且 ， 成等比数列 .（1） 求数列 的通项公式 .（2） 记 为数列 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由 .19( 本

9、小题满分 12分)如图，在棱长为 2的正方体ABCD A1BC D 中， E, F ,M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1, A1D1 的中点，点 P,Q 分1 1 1别在棱DD , BB1上移动，且 DP BQ 0 2 .1（1）当 1时，证明：直线BC 平面 EFPQ ;1（2）是否存在 ，使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 .20. （本小题满分 12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X ( 年入流量：一年内上游来水与库区降水之和 . 单位：亿立方米）都在 40

10、 以上. 其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立 .(1) 求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？17. （满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M到

11、点 F 1,0 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M的轨迹为C.(1) 求轨迹为 C的方程(2) 设斜率为 k 的直线 l 过定点 p 2,1 ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 k的相应取值范围。数学（理） （湖北卷）参考答案一、 选择题（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）A （10）B二、 填空题（11） 3 （12）2 （13）495 （14） x ；x 或三、 解答题（17）解：k x ； k2x （15）4 （16）( 3,1)1（I ）因为 ( ) 10 2( 3 cos 1 sin ) 10

12、 2sin( ) f t t t t ，2 12 2 12 12 3又 0 t 24 ，所以3 127t ， 1 sin( t ) 1，3 3 12 3当t 2时， ) 1sin( t ；当 t 14时， sin( t ) 1；12 3 12 3于是 f (t) 在 0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12 C ，最低温度为 8 C ，最大温差为 4 C（II ）依题意，当 f (t) 11时实验室需要降温 .由（1）得 f (t) 10 2 sin( t ) ，12 3所以 10 2 sin( t ) 11，即 12 31sin( t ) ，12 3 2

13、又 0 t 24 ，因此761211t ，即 10 t 18， 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温 .（18）解：（I ）设数列 a 的公差为 d ，依题意， 2,2 d,2 4d 成等比数列，n2 d所以 (2 d) 2(2 4 ) ，化简得2 4 0d d ，解得 d 0 或 d 4，当 d 0时， a 2 ；当 d 4 时， an 2 (n 1) 4 4n 2，n从而得数列 a 的通项公式为 an 2 或 an 4n 2 .n（II ）当 a 2 时， Sn 2n ，显然 2n 60n 800 ，不存在正整数 n ，使得 Sn 60n 800. 成立n当 a 4n 2n 时，

14、n2 (4n 2)2Sn 2n ， 2令 2n2 60n 800 ，即 n2 30n 400 0 ，解得 n 40 或n 10 （舍去）此时存在正整数 n ，使得 Sn 60n 800成立， n 的最小值为 41.综上所述，当 2a 时，不存在满足题意的 n ；n当 an 4n 2时，不存在满足题意的 n ； n 的最小值为 41.（19）解：（I ）证明：如图 1，连结AD ，由 ABCD A1B1C1D1 是正方体，知 BC1 / AD1 ，1当 1时， P是 DD1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以FP / AD ，1所以 BC / FP1 ，而 FP 平面 EFPQ ，且BC 平

15、面 EFPQ ，1故直线 /BC 平面 EFPQ .1（II ）如图 2，连结 BD ，因为 E、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，1所以 EF / BD ，且 EF BD2，又 DP BQ ， DP / BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ / BD ，且 PQ BD ，1从而 EF / PQ ，且 EF PQ，2在 Rt EBQ 和 Rt FDP 中，因为 BQ DP ， BE DF 1，于是，2EQ FP 1 ，所以四边形 EFPQ 是等腰梯形，同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形，分别取 EF 、 PQ 、 MN 的中点为 H 、O、 G ，连结 OH 、OG ，则

16、GO PQ ， HO PQ ，而 GO HO O ，故 GOH 是平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角的平面角，若存在 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 GOH 90 ，连结 EM 、 FN ，则由 EF / MN ，且 EF MN ，知四边形 EFNM 是平行四边形，连结 GH ，因为 H 、G 是 EF 、 MN 的中点，所以 GH ME 2 ，2在 GOH 中， 4GH ，2 12 2 2 2OH 1 ( ) ，2 22 2 2 22 1OG 1 (2 ) ( ) (2 ) ，2 2由1 12 OH 2 GH 22 2OG 得(2 ) 42 2，

17、解得21 ，2故存在21 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角 .2向量法：以 D 为原点，射线DA, DC , DD 分别为 x, y, z轴的正半轴建立如图 3 的空间直角坐标系 D xyz，1由已知得 B( 2,2,0), C1( 0,2,2), F (1,0,0), P (0,0, ) ，所以 BC ( 2,0,2) ， FP ( 1,0, )， FE (1,1, 0) ，1（I ）证明：当 1时， FP ( 1,0 ,1) ，因为 BC ( 2,0,2) ，1所以 BC 2FP1 ，即 BC1 / FP ，而 FP 平面 EFPQ ，且BC 平面 EFPQ ，

18、1故直线 /BC 平面 EFPQ .1（II ）设平面 EFPQ 的一个法向量 n ( x, y, z)，由FEFPnn00可得x y0x 0z，于是取 n ( , ,1) ，同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ( 2,2 ,1)，若存在 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则m n ( 2,2 ,1) ( , ,1) 0 ，即 ( 2) (2 ) 1 0 ，解得 21 ， 2故存在21 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角 .2（20）解：10（I ）依题意， 0.2 P1 P( 40 X 80) ，50 35 5P2 P(80 X

19、120) 0.7 ， P3 P( X 120) 0.1， 50 50由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年入流量找过 120 的概率为：9 9 1 0 4 1 3 4 3P C4 (1 P ) C (1 P ) P ( ) 4 ( ) 0. 9477 .3 4 3 310 10 10（II ）记水电站年总利润为 Y （单位：万元）安装 1 台发电机的情形 .由于水库年入流量总大于 40，所以一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y 5000 ， EY 5000 1 5000 .安装 2 台发电机 .当 40 X 80 时，一台发电机运行，此时 Y 5000 800 4200 ，因此 P

20、(y 4200) P( 40 X 80) P 0.2，1当 X 80时，两台发电机运行，此时 Y 5000 2 10000 ，因此 P( 10000) ( 80) P1 P 0.8. 由此得 Y 的分布列如下：Y P X2Y 4200 10000P 0.2 0.8所以 EY 4200 1 10000 2 8840 .安装 3 台发电机 .依题意，当 40 X 80 时，一台发电机运行，此时 Y 5000 1600 3400 ，因此 P(Y 3400) P( 40 X 80) P 0.2；1当80 X 120 时，两台发电机运行，此时 Y 5000 2 800 9200 ，此时 P(Y 9200

21、) P(80 X 120) P2 0.7，当 X 120 时，三台发电机运行，此时 y 5000 3 15000 ，因此 P(Y 15000) P(X 120) P 0.1，3由此得 Y 的分布列如下：Y 34 9200 15000P 0.2 0.8 0.1所以 EY 3400 0.2 9200 0.7 15000 0.1 8620 .综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.（21）解：（I ）设点 M (x, y) ，依题意， | MF | | x | 1，即 (x 1)2 y2 | x | 1，2 x x 整理的 y 2(| | ) ，所以点 M 的轨迹 C 的方程为

22、4x(x 0)2y .o,( x 0)2（II ）在点 M 的轨迹 C 中，记 C1 : y 4x( x 0) ，C2 : y 0(x 0) ，依题意，设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，由方程组y2y1k(x4x2)2 y k得 ky 4 4(2 1) 0 当 k 0时，此时 y 1，把 y 1代入轨迹 C 的方程得 1x ， 41所以此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 ( ,1) .42 k当 k 0时，方程的判别式为 16( 2k 1) 设直线 l 与 x 轴的交点为 (x ,0)，则由 y 1 k(x 2) ，令 y 0，得0 2k 10 kx（i ）若x000，由解得

23、 k 1或1k .21即当 k ( , 1) ( , ) 时，直线 l 与 C1没有公共点，与 C2 有一个公共点，2故此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 .（ii ）若x000或x0001 1，由解得 k 1, 或 k 0，2 21即当 k 1, 时，直线 l 与C1有一个共点，与 C2 有一个公共点 .21当 k ,0) 时 ，直线 l 与 C1 有两个共点，与 C2 没有公共点 .21 1故当 k 1, ,0) 时，故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点 .2 2（iii ）若x00，由解得0 11 k 或 2 10 k ， 21 1即当 k ) 时，直线 l 与 C1有两个共

24、点，与 C2 有一个公共点 .( 1 ) (0,2 2故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点 .1综上所述，当 k ( , 1) ( , ) 时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点；21 1当 k 1, ,0) 时，故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点； 2 21 1当 k ( 1 ) (0, ) 时，故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点 . 2 2（22）解：（I ）函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ，因为fln x(x) ，所以x1 ln xf (x) ，2x当 f (x) 0，即 0 x e 时，函数 f ( x) 单调递增；当 f (x) 0，即 x e时，函数

25、 f ( x) 单调递减；故函数 f (x) 的单调增区间为 (0, e)，单调减区间为 (e, ) .（II ）因为 e 3 ，所以 eln 3 eln ， ln e ln 3，即e lneln 3 ， ln e ln 3 ，于是根据函数 y ln x、xy e 、xy 在定义域上单调递增，所以e3e33 e， e 3 ，故这 6 个数的最大数在3与 3 之中，最小数在e3 与3e 之中，由 e 3 及（ I ）的结论得 f ( ) f (3) f (e) ，即lnln3 3lnee，由lnln3 33得 ln ln 3，所以33 ，由ln33lneee 3 e 3得 ，所以 ，ln 3 l

26、n e 3 e综上， 6 个数中的最大数为 3 ，最小数为e3 .（III ）由（ II ）知，e3e 3，e 33 e，又由（ II ）知，lnlnee，故只需比较3e 与e和e 与3的大小，由（I ）知，当 0 x e 时，f1(x) f (e) ，即elnx，在上式中，令 2 2e ex ，又 e，则2e eln ，即得eln 2 e 2. 71由得， ) 2.7 (2 0. 88) 3. 024 3 eln e(2 ) 2.7 (2 ，3.1即 eln 3，亦即e 3ln ln e，所以3ee，3e又由得， 3ln 6 6 e ，即 3ln ，所以3e ，e e 33 e综上所述， 3 e 3，即 6 个数从小到大的顺序为e3 ，3e ，e，e ，3， 3 .