1、2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（5分）已知集合Ax|1x2，Bx|x1，则AB（）A（1，1）B（1，2）C（1，+）D（1，+）2（5分）已知复数z2+i，则z（）ABC3D53（5分）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）AyxBy2xCylogxDy4（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A1B2C3D45（5分）已知双曲线y21（a0）的离心率是，则a（）AB4C2D6（5分）设函数f（x）cosx+bsinx（b为常数），则“b0”是“f（x）为偶函数”的（）A充分而
2、不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A1010.1B10.1Clg10.1D1010.18（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（）A4+4cosB4+4sinC2+2cosD2+2sin二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9（5分）已知向量（4，3），（6，m），且，则
3、m 10（5分）若x，y满足则yx的最小值为 ，最大值为 11（5分）设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 12（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 13（5分）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 14（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次
4、购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（13分）在ABC中，a3，bc2，cosB（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值16（13分）设an是等差数列，a110，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值17（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大
5、转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合（）的结果，能否认为样本仅使
6、用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由19（14分）已知椭圆C：+1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线l：ykx+t（t1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点20（14分）已知函数f（x）x3x2+x（）求曲线yf（x）的斜率为
7、1的切线方程；（）当x2，4时，求证：x6f（x）x；（）设F（x）|f（x）（x+a）|（aR），记F（x）在区间2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值2019年北京市高考数学试卷（文科）答案与解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1【分析】直接由并集运算得答案【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1，ABx|1x2x|x1（1，+）故选：C2【分析】直接由求解【解答】解：z2+i，z故选：D3【分析】判断每个函数在（0，+）上的单调性即可【解答】解：在（0，+）上单调递增，和在（0，+）上都是减函数故选：A4【分析】由已知
8、中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得k1，s1s2不满足条件k3，执行循环体，k2，s2不满足条件k3，执行循环体，k3，s2此时，满足条件k3，退出循环，输出s的值为2故选：B5【分析】由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2c2联立求得a值【解答】解：由双曲线y21（a0），得b21，又e，得，即，解得，a故选：D6【分析】“b0”“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”“b0”，由此能求出结果【解答】解：设函数f（x）cosx+bsinx（b为常数
9、），则“b0”“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”“b0”，函数f（x）cosx+bsinx（b为常数），则“b0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件故选：C7【分析】把已知熟记代入m2m1lg，化简后利用对数的运算性质求解【解答】解：设太阳的星等是m126.7，天狼星的星等是m21.45，由题意可得：，则故选：A8【分析】由题意可得AOB2APB2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QOAB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值【解答】解：由题意可得AOB2APB2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QOAB，即有QO2，Q到线段AB的距离为2+2cos，AB2
10、2sin4sin，扇形AOB的面积为244，ABQ的面积为（2+2cos）4sin4sin+4sincos4sin+2sin2，SAOQ+SBOQ4sin+2sin222sin24sin，即有阴影区域的面积的最大值为4+4sin故选：B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9【分析】则，代入，解方程即可【解答】解：由向量（4，3），（6，m），且，得，m8故答案为：810【分析】由约束条件作出可行域，令zyx，作出直线yx，平移直线得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，1），B（2，3），令zyx，作出直线yx，由图可知，平移直线yx，当直线zyx过A时，z有最小值为3，过B
11、时，z有最大值1故答案为：3，111【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求【解答】解：如图，抛物线y24x的焦点为F（1，0），所求圆的圆心F，且与准线x1相切，圆的半径为2则所求圆的方程为（x1）2+y24故答案为：（x1）2+y2412【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V故答案为：4013【分析】由l，m是平面外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l，lm，则m【解答】解：由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l
12、，lm，则m故答案为：若l，lm，则m14【分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（mx）80%m70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值【解答】解：当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80140（元），即有顾客需要支付14010130（元）；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（mx）80%m70%，即有x恒成立，由题意可得m120，可得x15，则x的最大值为15元故答案为：130，15三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15【分析】（1）利用余弦定理可得b2a2+c22ac
13、cosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）sin（A）sinA，根据正弦定理可求出sinA【解答】解：（1）a3，bc2，cosB由余弦定理，得b2a2+c22accosB，b7，cb25；（2）在ABC中，cosB，sinB，由正弦定理有：，sinA，sin（B+C）sin（A）sinA16【分析】（）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d2，由此能求出an的通项公式（）由a110，d2，求出Sn的表达式，然后转化求解Sn的最小值【解答】解：（）an是等差数列，a110，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（a3+8）2（a2+10）（
14、a4+6），（2+2d）2d（4+3d），解得d2，ana1+（n1）d10+2n22n12（）由a110，d2，得：Sn10n+n211n（n）2，n5或n6时，Sn取最小值3017【分析】（）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数（）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个
15、数m1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率（）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化【解答】解：（）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，A，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540，估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000400人（）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有
16、1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m1，该学生上个月支付金额大于2000元的概率p（）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化18【分析】（）推导出BDPA，BDAC，由此能证明BD平面PAC（）推导出ABAE，PAAE，从而AE平面PAB，由此能证明平面PAB平面PAE（）棱PB
17、上是存在中点F，取AB中点G，连结GF，CG，推导出CGAE，FGPA，从而平面CFG平面PAE，进而CF平面PAE【解答】证明：（）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，BDPA，BDAC，PAACA，BD平面PAC（）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，ABC60，ABAE，PAAE，PAABA，AE平面PAB，AE平面PAE，平面PAB平面PAE解：（）棱PB上是存在中点F，使得CF平面PAE理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，CGAE，FGPA，C
18、GFGG，AEPAA，平面CFG平面PAE，CF平面CFG，CF平面PAE19【分析】（）由题意可得bc1，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方程；（）ykx+t与椭圆方程x2+2y22联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论【解答】解：（）椭圆C：+1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）可得bc1，a，则椭圆方程为+y21；（）证明：ykx+t与椭圆方程x2+2y22联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t220，设P（x1，y1），Q（x2，y2），16k2t24（1+2k2）（2t22）0，x1+x2，x1x2，AP的方程为yx+1，令y0，
19、可得x，即M（，0）；AQ的方程为yx+1，令y0，可得y即N（，0）（1y1）（1y2）1+y1y2（y1+y2）1+（kx1+t）（kx2+t）（kx1+kx2+2t）（1+t22t）+k2+（ktk）（），|OM|ON|2，即为|2，即有|t21|（t1）2，由t1，解得t0，满足0，即有直线l方程为ykx，恒过原点（0，0）20【分析】（）求导数f（x），由f（x）1求得切点，即可得点斜式方程；（）把所证不等式转化为6f（x）x0，再令g（x）f（x）x，利用导数研究g（x）在2，4的单调性和极值点即可得证；（）先把F（x）化为|g（x）a|，再利用（）的结论，引进函数h（t）|ta|
20、，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴ta与3的关系分析即可【解答】解：（）f（x），由f（x）1得x（x）0，得又f（0）0，f（），yx和，即yx和yx；（）证明：欲证x6f（x）x，只需证6f（x）x0，令g（x）f（x）x，x2，4，则g（x），可知g（x）在2，0为正，在（0，）为负，在为正，g（x）在2，0递增，在0，递减，在递增，又g（2）6，g（0）0，g（）6，g（4）0，6g（x）0，x6f（x）x；（）由（）可得，F（x）|f（x）（x+a）|f（x）xa|g（x）a|在2，4上，6g（x）0，令tg（x），h（t）|ta|，则问题转化为当t6，0时，h（t）的最大值M（a）的问题了，当a3时，M（a）h（0）|a|a，此时a3，当a3时，M（a）取得最小值3；当a3时，M（a）h（6）|6a|6+a|，6+a3，M（a）6+a，也是a3时，M（a）最小为3综上，当M（a）取最小值时a的值为3
