1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若z=3+4i，则|z|=（）A. B. 5C. 7D. 252. 下列四个函数：y=x3；y=x2+1；y=|x|；y=2x其中在x=0处取得极值的是（）A. B. C. D. 3. 在极坐标系中，直线sin-cos=1被曲线=截得的线段长为（）A. B. C. D. 24. f（x）=x（2018+lnx），若f（x0）=2019，则x0等于（）A. e2B. 1C. ln2D. e5. 已知函数y=f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6
2、. 已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数a的值为( )A. B. C. D. 7. 已知函数，若，b=f（），c=f（5），则（）A. cbaB. cabC. bcaD. acb8. 已知实数a，b满足a2-3lna-b=0，cR，则（a-c）2+（b+c）2的最小值为（）A. 1B. C. 2D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 函数f（x）=x2-2lnx的单调减区间是_10. 复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是_11. 曲线y=ln（x+2）-3x在点（-1，3）处的切线方程为_ 12. 若复数（a+i）（3+4i）的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数a=_1
3、3. 已知圆C的参数方程为（为参数），则圆C的面积为_；圆心C到直线l：3x-4y=0的距离为_14. 若函数f（x）=2x3-ax2+ex+1（aR）是实数集上的单调函数，则函数f（x）在区间-1，1上的最大值与最小值的和的最小值为_三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15. 设函数f（x）=-+6lnx（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的单调区间与极值16. 已知函数f（x）=axex-x2-2x（1）当a=l时，求函数f（x）的极值；（2）当x（-2，0）时，f（x）l恒成立，求a的取值范围17. 已知函数f（x）=x3-x-（）判断的
4、单调性；（）求函数y=f（x）的零点的个数；（）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围18. 已知常数a0，函数f(x)ln(1ax). (1)讨论f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)f(x2)0，求a的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：故选：B利用复数的模长公式直接求解即可本题考查复数的模，属于基础题2.【答案】B【解析】解：y=x3；y=2x在R上都单调递增，因此无极值y=x2+1；y=2x=0，解得x=0，x0时，y0；x0时，y0可得函数y=x2+1在x=0处取得极小值因此正确同理可得
5、：y=|x|在x=0处取得极小值（虽然导数不存在，有点超出高中课本范围），因此正确故选：B根据函数极值点的定义、取得极值的判断方法即可判断出结论本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】C【解析】解：直线sin-cos=1转换为直角坐标方程为：x-y+1=0曲线=转换为直角坐标方程为x2+y2=2，所以圆心（0，0）到直线x-y+1=0的距离d=，所以l=2故选：C首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离
6、公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4.【答案】B【解析】解：f（x）=x（2018+lnx），则f（x）=2019+lnx，f（x0）=2019+lnx0=2019，x0=1，故选：B可求出导函数f（x）=lnx+2019，从而根据f（x0）=2019即可得出x0的值本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：f（x）取得极大值，则满足：f（x）=0，在x的左边f（x）0，在x的右边f（x）0由图可得：f（x）的极大值点共有2个：为-2，2故选：Bf（x）取得极大值，则满足：f（
7、x）=0，在x的左边f（x）0，在x的右边f（x）0由图即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力求出函数的导数f（x），利用f（1）=1，解a即可【解答】解：f(x)=，f(x)=，曲线f(x)在x=1处切线斜率为1，即f(1)=1，=1，解得a=-1故选B7.【答案】A【解析】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=-1-=-0，故f（x）在（0，+）递减，而5，f（5）f（）f（），即cba，故选：A求出函数f（x）的导数，判断函数的
8、单调性，从而比较函数值的大小即可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题8.【答案】C【解析】解：分别设y=f（x）=x2-3lnx，（x0），y=-x，则（a-c）2+（b+c）2表示曲线y=f（x）上的点到直线y=-x的距离的平方，因为f（x）=x2-3lnx，所以f（x）=2x-，所以2x-=-1，x0，解得：x=1，所以切点为P（1，1），所以P到直线y+x=0距离为：d=，所以（a-c）2+（b+c）2的最小值为2，故选：C构造函数，y=f（x）=x2-3lnx，（x0），y=-x，则（a-c）2+（b+c）2表示曲线y=f（x）上的点到直线y=-x的距离的平方，求导
9、，求出与y=-x平行的切线方程，进而求出切点的坐标，求出两条平行线的距离，进而求出（a-c）2+（b+c）2的最小值本题考查导数的几何意义和平行线间的距离公式，关键是构造函数和直线，属于中难题9.【答案】（0，1）【解析】解：f（x）=x2-2lnx（x0），f（x）=2x-=，令f（x）0由图得：0x1函数f（x）=x2-2lnx的单调减区间是（0，1）故答案为（0，1）依题意，可求得f（x）=，由f（x）0即可求得函数f（x）=x2-2lnx的单调减区间本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题10.【答案】【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的求
10、解，是基础题直接利用复数代数形式的乘除运算化简结合共轭复数得答案【解答】解：z=，=故答案为：11.【答案】2x+y-1=0【解析】【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于基础题【解答】解：y=ln（x+2）-3x的导数为y=-3，可得在点（-1，3）处的切线斜率为k=1-3=-2，即有在点（-1，3）处的切线方程为y-3=-2（x+1），即为2x+y-1=0故答案为：2x+y-1=012.【答案】-7【解析】解：（a+i）（3+4i）
11、=（3a-4）+（3+4a）i的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，3a-4=3+4a，解得a=-7故答案为：-7利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求解a值本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题13.【答案】 【解析】解：由圆C，可得（x-2）2+y2=1，圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，则圆C的面积为12=；圆心C（2，0）到直线l：3x-4y=0的距离为d=故答案为：；化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C到直线l：3x-4y=0的距离本题考查圆的参数方程，考查点到直线
12、距离公式的应用，是基础题14.【答案】2-2【解析】解：函数f（x）=2x3-ax2+ex+1（aR）是实数集上的单调函数，显然f（x）=6x2-2ax+e0不恒成立，若f（x）=6x2-2ax+e0，=4a2-24e0，a，由f（x）在-1，1单调递增，故f（x）max=f（1）=3+e-a，f（x）min=f（-1）=-1-e-a，故答案为：根据题意，函数f（x）单调递增，根据导数判断出f（x）的最大值和最小值，求和，再求出结果即可本题考查利用导数法研究函数的单调性，最值，考查了导数的综合利用能力，中档题15.【答案】解：（1），x0，f（1）=-8，切点为（1，-8），切线斜率k=f（1
13、）=10，切线方程为y+8=10（x-1），即10x-y-18=0（2）=，x0，令f（x）0，0x6；令f（x）0，x6 ，f（x）单调递增区间为（0，6），单调递减区间为（6，+）；f（x）极大值为f（6）=-+6ln6，无极小值【解析】（1）求出函数的导数，求出f（1），f（1）的值，代入直线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、极值问题，是一道中档题16.【答案】（1）当a=1时，f（x）=xex-x2-2x，f（x）=xex+ex-2x-2=（x+1）（ex-2）
14、，令f（x）=0，得x1=-1，x2=ln2x（-，-1）-1（-1，ln2）ln2（ln2，+）f（x）+0-0+f（x）极大值极小值所以，f（x）极大值=f（-1）=1-；f（x）极小值=f（ln2）=-（ln2）2（2）当x（-2，0）时，f（x）1恒成立等价于当x（-2，0）时，axex-x2-2x1，即axexx2+2x+1，因为x（-2，0），所以a，令h（x）=，x（-2，0），h（x）=-x（-2，-1）-1（-1，0）h（x）+0-h（x）极大值则h（x）max=h（-1）=0，因此a0，即a0，+）【解析】（1）把a=1代入，对函数求导，判断单调性和极值即可；（2）当x（-
15、2，0）时，f（x）1恒成立，等价于当x（-2，0）时，axex-x2-2x1，即axexx2+2x+1，因为x（-2，0），所以a，构造函数求导，根据最值判断即可本题考查导数法判断函数的单调性和极值，最值的应用，考查了导数的综合应用能力，中档题17.【答案】解：（）设（x）=x2-1-（x0），则（x）=2x+0，（x）在（0，+）上单调递增；（）（1）=-10，（2）=3-0，且（x）在（0，+）上单调递增，（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3-x-=x（x），显然x=0为f（x）的一个零点，f（x）在（0，+）上有且只有两个零点；（）g（x）=+lnx=lnx+，则g（x）=，设
16、h（x）=x2-（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0x1，由于x1x2=1，即x2e，由于h（0）=1，故只需h（）0即可，即-（2+a）+10，解得ae+-2，实数a的取值范围是（e+-2，+）【解析】（）化简，并求导数，注意定义域：（0，+），求出单调区间；（）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+）上有且只有两个零点；（）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2-（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）0解出a即可本题主要考查
17、导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题18.【答案】解：（1）f（x）=ln（1+ax）-，x（0，+），f（x）=-=，（1+ax）（x+2）20，当1-a0时，即a1时，f（x）0恒成立，则函数f（x）在（0，+）单调递增，当0a1时，由f（x）=0得x=，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增（2）由（1）知，当a1时，f（x）0，此时f（x）不存在极值点因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0a1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=-，且由f（x）的定义域可知x-且x-2，-且-2，解得a，则x1
18、，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，f（x1）+f（x2）=ln1+ax1-+ln（1+ax2）-=ln1+a（x1+x2）+a2x1x2-=ln（2a-1）2-=ln（2a-1）2+-2令2a-1=x，由0a1且a得，当0a时，-1x0；当a1时，0x1令g（x）=lnx2+-2（i）当-1x0时，g（x）=2ln（-x）+-2，g（x）=-=0，故g（x）在（-1，0）上单调递减，g（x）g（-1）=-40，当0a时，f（x1）+f（x2）0；（ii）当0x1g（x）=2lnx+-2，g（x）=-=0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）g（1）=0，当a1时，f（x1）+f（x2）0；综上所述，a的取值范围是（，1）【解析】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（2）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决
