1、2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上）1（4分）集合Ax|x2，xR，Bx|x22x30，则AB（）A（3，+）B（，1）（3，+）C（2，+）D（2，3）2（4分）已知复数za2i2ai是正实数，则实数a的值为（）A0B1C1D13（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）Ayx+2BysinxCyxx3Dy2x4（4分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a32，a1+a45，则S6（）A10B9C8D75（4分）在平面直角坐标系xO
2、y中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则cos等于（）ABCD6（4分）设a，b，c为非零实数，且ac，bc，则（）Aa+bcBabc2CD7（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A2，且SB2，且SC，且D，且8（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y24x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）AB2（1）C4D49（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）绕着x轴上一点旋转180；沿x轴正方向平移；以x轴为轴作轴对称；以x轴的某一条
3、垂线为轴作轴对称ABCD10（4分）设函数f（x），若关于x的方程f（x）a（aR）有四个实数解xi（i1，2，3，4），其中x1x2x3x4，则（x1+x2）（x3x4）的取值范围是（）A（0，101B（0，99C（0，100D（0，+）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为 12（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是 13（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的
4、新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处 14（5分）函数的最小正周期为 ；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为 15（5分）集合A（x，y）|x|+|y|a，a0，B（x，y）|xy|+1|x|+|y|，若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 a的值可以为2；a的值可以为；a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16（13分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）满足下列3个条件中的2个条件：函数f（x
5、）的周期为；x是函数f（x）的对称轴；f（）0且在区间（，）上单调（）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（）若x0，求函数f（x）的值域17（15分）在四棱锥PABCD的底面ABCD中，BCAD，CDAD，PO平面ABCD，O是AD的中点，且POAD2BC2CD2（）求证：AB平面POC；（）求二面角OPCD的余弦值；（）线段PC上是否存在点E，使得ABDE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由18（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20
6、人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值（结论不要求证明）19（14分）设函数f（x）alnx+x2（a+2）x，其中aR（）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处切线的
7、倾斜角为，求a的值；（）已知导函数f（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x（1，e）时，f（x）e220（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点（）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1x轴，求四边形ABCD的面积；（）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n0；（）在（）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由21（14分）对于正整数n，如果k（kN*）个整数a1，a2，ak满足1a1a2akn，且a1+a2+akn，则称数组（a1，a
8、2，ak）为n的一个“正整数分拆”记a1，a2，ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn（）写出整数4的所有“正整数分拆”；（）对于给定的整数n（n4），设（a1，a2，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a12，求k的最大值；（）对所有的正整数n，证明：fngn；并求出使得等号成立的n的值（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，ak）与（b1，b2，bn），当且仅当km且a1b1，a2b2，akbm时，称这两个“正整数分拆”是相同的）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每
9、小题4分，共40分在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上）1【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：Ax|x2，xR，Bx|x22x30x|x3或者x1，则AB（3，+），故选：A2【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可【解答】解：因为za2i2ai是正实数，所以，解可得a1故选：C3【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解【解答】解：A：yx+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：ysinx的值域1，1，不符合题意；C：yxx3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y2x为非奇非偶函数，不符合题意故选：C4【分析】先求出公差，再根据
10、求和公式即可求出【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，若a32，a1+a45，a32d+a3+d5，4d5，解得d1，a12+24，a6a1+5d451，S69，故选：B5【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cos的值【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90到点B，设点B（x，y），则x+yi（1+2i）（cos90+isin90），即 x+yi2+i，x2，y1，即B（2，1）由题意，sin（90）cos，cos，故选：A6【分析】利用不等式的可加性得a+b2c，由此可判断选项C正确【解答】解：ac，bc，a+b
11、2c，故选：C7【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：ABBCCDADDE2，AECE2，BE故选：D8【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可【解答】解：设P（x，y），可得x24当且仅当x2时取得最小值4故选：D9【分析】结合图象直接观察得解【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故正确故选：D10【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数yx在，1）上取值范围，即可得到所求范围【解答】解：函数
12、f（x）的图象如右：关于x的方程f（x）a（aR）有四个实数解，可得yf（x）的图象与直线ya有四个交点，可以判断0a1，x1+x22（5）10，|lgx3|lgx4|1，且x31，1x410，可得lgx3lgx4，即lgx3+lgx40，即有x3x41，x4，故（x1+x2）（x3x4）10（x3），又由函数yx在，1）上递增，可得函数yx在，1）上的值域为9.9，0），可知10（x3）的取值范围为（0，99故选：B二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数【解答】解：二项式（x
13、2+2）6展开式的通项公式为Tr+1x122r2r2rx122r，令122r8，解得r2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：2260，故答案为：6012【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x 的不等式即可【解答】解：因为：向量；x2+2x；x2+2x33x1；故实数x的取值范围是：（3，1）故答案为：（3，1）13【分析】直接由频率折线图得结论【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展故答案为：甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展14【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，
14、得出结论【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x0时，2x+；当xa时，2x+2a+，2a+，0a，故答案为：；15【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可【解答】解：A（x，y）|x|+|y|a，a0，x0，y0时，即x+ya表示在第一象限内的线段将x，y分别换成x，y方程不变，因此|x|+|y|a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A（x，y）|x|+|y|a，a0表示点集为正方形，|xy|+1|x|+|y|xy|x|y|+10即（|x|1）（|y|1）0|x|1或|y|1即x1，y1B（x，y）|x1，或x1
15、，表示2组平行线，AB为8个点，构成正八边形如图1，AOB45又A（1，a1），tanxOAa1，tanAOBtan2xOA1，即2a22aa2，a22a0，a如图2，AOB45又A（a1，1）tanxOA，tanAOBtan2xOA1，即2a22a+a2，a24a+20，解得a2+或a2（舍），综上a或a2+故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16【分析】（）由题意知应选择，由求出的值，由结合题意求出的值，写出函数的解析式；（）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域【解答】解：（）由题意知选择；由函数f（x）的周期为，得
16、2；又x是函数f（x）的对称轴，所以2+k，kZ；解得+k，kZ；又|，所以；所以f（x）sin（2x+）（）x0，时，2x+，所以sin（2x+），1，所以函数f（x）在x0，内的值域是，117【分析】（）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到ABOC，由此得证；（）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（）假设存在，设出点E的坐标，通过ABDE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论【解答】解：（）连接OC，O是AD的中点，AD2BC2，BCAD，OABC，且OABC1，四边形AOBC是平行四边形，ABOC，AB不在平面POC内，OC在平面POC内，
17、AB平面POC；（）由（）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又ODCD1，CDAD，四边形OBCD是正方形，则OBOD，又PO平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角OPCD的平面角为，则；（）假设线段PC上存在点E，且满足，使得ABDE，设E（r，t，s），则（r，t，s2）（1，1，2）（，2），故，即E（，22），又，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得ABD
18、E18【分析】（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X0，1，2，求出分布列和数学期望；（III）根据题意，求出即可【解答】解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为500.15万人；（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X0，1，2，则P（X0），P（X1），P（X2
19、），X的分布列如下： x 0 1 2p故E（X）0，（III）m的最小值为419【分析】（）求出函数在x2处的导数f（2）+2tan1，解得a2；（）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f（x）0在（1，e）上有解，则有1e，即2a2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）xlnx（1+ln2）x，2x2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证【解答】（）解：根据条件f（x）+2x（a+2），则当x2时，f（2）+4（a+2）+2tan1，解得a2；（）证明：因为f（x）+2x（a+2），又因为导函数f（x）在（1，e）上存在零点，所以f（x）0在（1，e）上有解，则有1e，即2
20、a2e，且当1x时，f（x）0，f（x）单调递减，当xe时，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）f（）aln+（a+2）alna（1+ln2）a，设g（x）xlnx（1+ln2）x，2x2e，则g（x）lnx+1（1+ln2）lnxln2，则g（x）0，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）2eln2ee22e（1+ln2）e2g（2），所以g（x）e2，则根据不等式的传递性可得，当x（1，e）时，f（x）e220【分析】（）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同
21、理可得|CD|的长度，由|AB|CD|，可得m2n2，进而得证；（）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1x轴，与题设矛盾，进而得出结论【解答】解：（）由题意可得，且四边形ABCD为矩形，；（）证明：由题可设，l1：xty+m（tR），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m220，且4m2t24（t2+2）（m22）0，即t2m2+20，同理可得，四边形ABCD为平行四边形，|AB|CD|，即m2n2，由mn，故mn，即m+n0，即得证；（）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（）可知，mn，点O到直线l1，直线
22、l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|OB|，那么，则，x1x2，这是直线l1x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形21【分析】（）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”（）欲使k最大，只须ai最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值（）当n为奇数时，fn0，满足fngn；当n为偶数时，设（a1，a2，ak）为满足a1，a2，ak均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而fngn；当n2时，f2g2；当n4时，f4g4；当n6时
23、，fngn由此能证明fngn，并能求出等号成立的n的值为2，4【解答】解：（）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）（）解：欲使k最大，只须ai最小，当n为偶数时，a1a2ak2，k，当n为奇数时，a1a2ak12，ak3，k（）证明：当n为奇数时，不存在a1，a2，ak均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即fn0，满足fngn；当n为偶数时，设（a1，a2，ak）为满足a1，a2，ak均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，1）和（1，1，1，a11，a21，ak1）这两种各数均为奇数的分拆，fngn；当n2时，ai均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），ai均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2g2；当n4时，ai均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），ai均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4g4；当n6时，对于每一种ai均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，1），fngn综上，使得fngn中等号成立的n的值为2，4
