1、2020年浙江省高考数学模拟试卷（10）一选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1（4分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x10，则R（AB）（）A（，1）3，+）B（，13，+）C（，1）（3，+）D（1，3）2（4分）若复数a-i1+i为纯虚数，则实数a的值为（）AiB0C1D13（4分）若实数x，y满足约束条件2x+y-40，x-y+40，3x+2y-30，则z2xy的最小值是（）A16B7C4D54（4分）已知离散型随机变量X的分布列为X0123p827 49 29 127 则X的数学期望E（X）为（）A23B1C32D25（4分）“a3”是“x1为函数f（x）x3+12（
2、a+3）x2ax1的极小值点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（4分）已知（1+x）5a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则a3（）A40B40C10D107（4分）已知双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D28（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（）A0，22B32，22C0，33D0，559（4分）函数f(x)=(x-1x
3、+1)ex的部分图象大致是（）ABCD10（4分）已知数列an满足：an=2，n5a1a2an-1-1，n6（nN*）若正整数k（k5）使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则k（）A16B17C18D19二填空题（共7小题，满分36分）11（6分）某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为 （精确到0.01）12（6分）已知向量a，b满足|a|2，|b|1，ab=1，则|a+b| ，b在a上的投影等于 13（6分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3；表面积是 cm214（6分）在ABC中，
4、角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=23，a=3，b1，则sinB ，c 15（4分）已知实数x，y满足（2xy）2+4y21，则2x+y的最大值为 16（4分）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有 种不同的放法17（4分）已知点P是直线yx+1上的动点，点Q是抛物线yx2上的动点设点M为线段PQ的中点，O为原点，则|OM|的最小值为 三解答题（共5小题，满分74分）18（14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边
5、与单位圆O的交点分别为P，Q已知点P的横坐标为35，点Q的纵坐标为255（）求cos2值；（）求tan（2）的值19（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB=2，ABB1=3，且ABB1C（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值20（15分）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a29，S339（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=2n-1an，求数列bn的前n项和Tn21（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为35，F1，F2为椭圆的左、右焦
6、点，点P（5，42）为椭圆外的点，点F2在线段PF1的中垂线上（1）求椭圆C的方程；（2）点Q（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点Q且斜率为45的宜线l交椭圆C于A、B两点，证明：|QA|2+|QB|2为定值22（15分）已知函数f（x）lnxax（1）当a1时，判断函数f（x）的单调性；（2）若f（x）0恒成立，求a的取值范围；（3）已知0abe，证明abba2020年浙江省高考数学模拟试卷（10）参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1（4分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x10，则R（AB）（）A（，1）3，+）B（，13，+）C（，1）（3，+）
7、D（1，3）【解答】解：A（1，3），B1，+），AB1，3），R（AB）（，1）3，+），故选：A2（4分）若复数a-i1+i为纯虚数，则实数a的值为（）AiB0C1D1【解答】解：复数a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-12-(a+1)2i为纯虚数，a-12=0，-a+120，解得a1故选：C3（4分）若实数x，y满足约束条件2x+y-40，x-y+40，3x+2y-30，则z2xy的最小值是（）A16B7C4D5【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z2xy，得y2xz，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的截距最大，此
8、时z最小由x-y+4=03x+2y-3=0 得 x=-1y=3，即A（1，3），此时z的最小值为z1235，故选：D4（4分）已知离散型随机变量X的分布列为X0123p827 49 29 127 则X的数学期望E（X）为（）A23B1C32D2【解答】解：由离散型随机变量X的分布列得：E（X）=0827+149+229+3127=1故选：B5（4分）“a3”是“x1为函数f（x）x3+12（a+3）x2ax1的极小值点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）3x2+（a+3）xa（3x+a）（x1），令f（x）0，则x=a3或x1当a3=1时
9、，即a3时，f（x）3（x1）20，f（x）单调递减，函数f（x）无极小值点；当a31时，即a3时，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当1xa3时，f（x）0，f（x）单调递增；当xa3时，f（x）0，f（x）单调递减；故x1为极小值点当a31时，即a3时，当xa3时，f（x）0，f（x）单调递减；当a3x1时，f（x）0，f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，f（x）单调递减；故x1为极大值点故“x1为函数f（x）x3+12（a+3）x2ax1的极小值点”a3故“a3”是“x1为函数f（x）x3+12（a+3）x2ax1的极小值点”的必要不充分条件故选：B6（4分）已知（1+x）5a
10、0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则a3（）A40B40C10D10【解答】解：已知(1+x)5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a5(1-x)5=2（1x）5，则a3=C53（1）32240，故选：A7（4分）已知双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D2【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x22-y26=t，（t0），又由双曲线C经过点P（2，3），则有2-12=t，则t=32，则双曲线的C的方程为x22-y26=32，即：x23-y29
11、=1，其焦距c23，a=3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2故选：D8（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（）A0，22B32，22C0，33D0，55【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1，此时 平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90，余弦值为0，当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面A
12、BCD所成的锐二面角的平面角为45，余弦值为22平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是0，22故选：A9（4分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：当x时，ex0+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）0+，排除C，D；因为x+时，ex+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）+，因此排除B，故选：A10（4分）已知数列an满足：an=2，n5a1a2an-1-1，n6（nN*）若正整数k（k5）使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则k（）A16B17C18D19【解答】解：an=2，n5a1a2an-1-1
13、，n6（nN*），即a1a2a3a4a52，a6a1a2a3a5125131，n6时，a1a2an11+an，a1a2an1+an+1，两式相除可得1+an+11+an=an，则an2an+1an+1，n6，由a62a7a6+1，a72a8a7+1，ak2ak+1ak+1，k5，可得a62+a72+ak2ak+1a6+k5a12+a22+ak220+ak+1a6+k5ak+1+k16，且a1a2ak1+ak+1，正整数k（k5）时，要使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则ak+1+k16ak+1+1，则k17，故选：B二填空题（共7小题，满分36分）11（6分）某校高二理科学生期末数学
14、考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为115.83（精确到0.01）【解答】解：由频率分布直方图得：频率在50，110）的频率为：（0.0016+0.008+0.0084）200.36，频率在110，130）的频率为：0.024200.48，本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为：110+0.5-0.360.4820115.83故答案为：115.8312（6分）已知向量a，b满足|a|2，|b|1，ab=1，则|a+b|7，b在a上的投影等于12【解答】解：因为|a|2，|b|1，ab=1，所以：|a+b|2=a2+2ab+b2=22
15、+12+217；|a+b|=7；b的a上的投影等于：|b|cos=ab|a|=12；故答案为：7，1213（6分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+423cm3；表面积是20+43cm2【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故V=222+13222=8+423S=41223+522=20+43故答案为：8+423；20+4314（6分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=23，a=3，b1，则sinB12，c1【解答】解：在ABC中：A=23，a=3，b1，由正弦定理得：asinA=bsinB
16、=3sin23=2，sinB=12，又ab，0B，0B23，B=6，又A+B+C，C=-23-6=6，cb1，故答案为：12；115（4分）已知实数x，y满足（2xy）2+4y21，则2x+y的最大值为2【解答】解：由题意可令2x-y=sin2y=cos，则2x+ysin+cos=2sin(+4)，结合正弦函数的性质可知，2x+y的最大值2故答案为：216（4分）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有20种不同的放法【解答】解：（丙，丁）（0，0）：A22=2，（
17、丙，丁）（1，0）：C21C21=4，（丙，丁）（0，1）：C21C21=4，（丙，丁）（1，1）：A22A22（不同色）+C21.3（同色）10，故共有：2+4+4+1020种17（4分）已知点P是直线yx+1上的动点，点Q是抛物线yx2上的动点设点M为线段PQ的中点，O为原点，则|OM|的最小值为3216【解答】解：如图：直线l2：yx+1，与直线l2：yx-14，（相切时最远），则M点的轨迹在yx+1-142上，所以|OM|的最小值为原点到直线yx+38的距离：|OM|min=3216三解答题（共5小题，满分74分）18（14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始边为
18、x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q已知点P的横坐标为35，点Q的纵坐标为255（）求cos2值；（）求tan（2）的值【解答】解：（）锐角，的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q已知点P的横坐标为35，点Q的纵坐标为255，cos=35，sin=255，cos22cos21=-725（）由题意可得sin=1-cos2=45，cos=1-sin2=55，tan=sincos=43，tan=sincos=2，tan2=2tan1-tan2=-247，tan（2）=tan2-tan1+tan2tan=384119（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1
19、C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB=2，ABB1=3，且ABB1C（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：D为AB中点，ACBC，CDAB，连结B1D，如图，设AB2a，四边形ABB1A1是菱形，D为AB 中点，ABB1=3，B1D=3a，ABC是等腰直角三角形，ACB=2，CDa，B1D2+CD2=B1C2，CDB1D，ABB1DD，CD平面ABB1A1（2）解：设CD与平面BCC1B1所成角为，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB2a，由（1）知B1D平面BCD，则SBCD=12a2
20、，VB1-BCD=1312a23a=36a3，BC=2a，B1BB1C2a，SB1BC=122a72a=72a2，VD-B1BC=1372a2d，VB1-BCD=VD-B1BC，36a3=76a2d，解得d=37a，sin=dCD=217CD与平面BCC1B1所成角的正弦值为21720（15分）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a29，S339（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=2n-1an，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列an是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得q1，由a29，S339，可得9q+9+9q39，解得q3或13（舍去），则数列an的通项公式
21、为ana2qn293n23n；（2）bn=2n-1an=（2n1）（13）n，Tn113+3（13）2+5（13）3+（2n1）（13）n，13Tn1（13）2+3（13）3+5（13）4+（2n1）（13）n+1，两式相减可得23Tn=13+2（13）2+（13）3+（13）n（2n1）（13）n+1=13+219(1-13n-1)1-13-（2n1）（13）n+1，化简可得Tn1（n+1）（13）n21（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为35，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P（5，42）为椭圆外的点，点F2在线段PF1的中垂线上（1）求椭圆C的方程；（2）点Q
22、（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点Q且斜率为45的宜线l交椭圆C于A、B两点，证明：|QA|2+|QB|2为定值【解答】解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为35，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P（5，42）为椭圆外的点，点F2在线段PF1的中垂线上ca=352c=(5-c)2+(42-0)2a2=b2+c2，解得a5，b4，c3，椭圆C的方程为x225+y216=1证明：（2）点Q（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点Q且斜率为45的直线l交椭圆C于A、B两点，则直线l的方程为x=54y+m，代入x225+y216=1，并整理得：25y2+20my+8（m
23、225）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-45m，y1y2=8(m2-25)25，又|QA|2（x1m）2+y12=4116y12，同理，|QB|2=8(m2-25)25，则|QA|2+|QB|2=4116（y12+y22）=4116（y1+y2）22y1y2=4116（-4m5）2-16(m2-25)2541，|QA|2+|QB|2为定值4122（15分）已知函数f（x）lnxax（1）当a1时，判断函数f（x）的单调性；（2）若f（x）0恒成立，求a的取值范围；（3）已知0abe，证明abba【解答】解：（1）当a1时，f（x）lnxx（x0），则f(x)=1x-1=1-xx，令f（x）0解得0x1，令f（x）0解得x1，故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；（2）f（x）0恒成立即为alnxx，设g(x)=lnxx(x0)，则g(x)=1-lnxx2，令g（x）0解得0xe，令g（x）0解得xe，即函数g（x）在（0，e）上单增，在（e，+）上单减，故g(x)max=g(e)=1e，实数a的取值范围为a1e；（3）证明：要证abba，即证blnaalnb，即证lnaalnbb，由（2）知函数g(x)=lnxx在（0，e）上单增，又0abe，故lnaalnbb，即得证
