1、2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1设全集UR，集合Ax|x2，Bx|x1，则集合（UA）B（）A（，2）B2，+）C（1，2）D（，1）2，+）2设复数z1+i，则2（）A2iB2iC22iD2+2i3焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）Ax24yBy24xCx28yDy28x4在锐角ABC中，若a2，b3，A，则cosB（）ABCD5函数f（x）x是（）A奇函数，且值域为（0，+）B奇函数，且值域为RC偶函数，且值域为（0，+）D偶函数，且值域为R6圆x2+y2+4x2y+10截x轴所得弦的长度等于（）A2B2C2D47设a，b
2、，c为非零实数，且abc，则（）AabbcBCa+b2cD以上三个选项都不对8设向量，满足|1，则|x|（xR）的最小值为（）ABC1D9设an为等比数列，则“对于任意的mN*，am+2am”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图1的ABCD由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A平行B相交C异面且
3、垂直D异面且不垂直二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11在（1+5x）6的展开式中，x的系数为 12在等差数列an中，若a1+a216，a51，则a1 ；使得数列an前n项的和Sn取到最大值的n 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 14能说明“若m（n+2）0，则方程1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是 15已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）2f（x），且当x（0，2时，f（x）2x3有以下三个结论：f（1）；当a（，时，方程f（x）a在区间4，4上有三个不同的实根；函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点bZ其中，所有正确结论的序
4、号是 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACBC，D是A1C1的中点，且ACBCAA12（）求证：BC1平面AB1D；（）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值17已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为； 最大值为2； f（0）1； f（）0（）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（）求函数f（x）的单调递增区间18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青睐根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的
5、依次为A，B，C，D，E，F在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t，当t0.9时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率（）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（）将（）中概率值记为x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明
6、理由19设函数f（x）axlnx，其中aR，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线经过点（3，2）（）求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）证明：f（x）20已知椭圆E：1（ab0）经过点C（0，1），离心率为O为坐标原点（）求椭圆E的方程；（）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且4，求证：C，B，Q三点共线21如图，表1是一个由4020个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m1，2，40；n1，2，20）表示位于第m行第n列的数将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的
7、位置），得到表2（即bi，jbi+1，j，其中i1，2，39；j1，2，20）表1a1，1a1，2a1，20a2，1a2，2a2，20a40，1a40，2a40，20表2 b1，1b1，2b1，20b2，1b2，2b2，20b40，1b40，2b40，20（）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等于100ij？等于i+2j呢？（结论不需要证明）（）如果b40，201，且对于任意的i1，2，39；j1，2，20，都有bi，jbi+1，j1成立，对于任意的m1，2，40；n1，2，19，都有bm，nbm，n+12成立，证明：b1，178；（）若ai，1+ai，2
8、+ai，2019（i1，2，40），求最小的正整数k，使得任给ik，都有bi，1+bi，2+bi，2019成立参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设全集UR，集合Ax|x2，Bx|x1，则集合（UA）B（）A（，2）B2，+）C（1，2）D（，1）2，+）【分析】进行补集和并集的运算即可解：UR，Ax|x2，Bx|x1，UAx|x2，（UA）B（，1）2，+）故选：D2设复数z1+i，则2（）A2iB2iC22iD2+2i【分析】由z求得，利用两数和的平方公式展开即可得出解：z1+i，2（1i）22i故选：A3焦点在x
9、轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）Ax24yBy24xCx28yDy28x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y22px，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y22px，又由焦点到准线的距离为4，即p4，故要求抛物线的标准方程为y28x，故选：D4在锐角ABC中，若a2，b3，A，则cosB（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值解：在锐角ABC中，若a2，b3，A，由正弦定理，可得sinB，由B为锐
10、角，可得cosB故选：C5函数f（x）x是（）A奇函数，且值域为（0，+）B奇函数，且值域为RC偶函数，且值域为（0，+）D偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（，0）和（0，+）上都是增函数，且f（1）f（1）0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案解：根据题意，函数f（x）x，其定义域为x|x0，有f（x）（x）（）（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f（x）1，在区间（，0）和（0，+）上都是增函数，且f（1）f（1）0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B6圆x2+
11、y2+4x2y+10截x轴所得弦的长度等于（）A2B2C2D4【分析】首先令y0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长解：令y0，则圆的方程转换为x2+4x+10，所以x1+x24，x1x21，所以故选：B7设a，b，c为非零实数，且abc，则（）AabbcBCa+b2cD以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果解：设a，b，c为非零实数，且abc，所以对于选项A：当a3，b2，c1时，abbc1，故错误对于选项B：当a0，b1，c2时，无意义，故错误对于选项C：由于ac，bc，所以a+b2c，故正确对于选项D：由于C正确，所以选项D错误故选：C8设向量，满足|1，则|x|
12、（xR）的最小值为（）ABC1D【分析】两边平方，得出|x|2关于x的二次函数，从而得出最小值解：|x|22xx2x2+x+1（x）2，当x时，|x|取得最小值故选：B9设an为等比数列，则“对于任意的mN*，am+2am”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】对于任意的mN*，am+2am，即am（q21）0可得：，任意的mN*，解出即可判断出结论解：对于任意的mN*，am+2am，即am（q21）0，任意的mN*，或“an为递增数列”，反之也成立“对于任意的mN*，am+2am”是“an为递增数列”的充要条件故选：C10佩
13、香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图1的ABCD由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A平行B相交C异面且垂直D异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1
14、1在（1+5x）6的展开式中，x的系数为30【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数解：展开式的通项公式为：Tr+116r（5x）r5rxr；令x的指数为1，即r1；x2的系数为：5C6130；故答案为：3012在等差数列an中，若a1+a216，a51，则a19；使得数列an前n项的和Sn取到最大值的n5【分析】设等差数列an的公差为d，由a1+a216，a51，可得2a1+d16，a1+4d1，解得：a1，d可得an令an0，解得n即可得出解：设等差数列an的公差为d，a1+a216，a51，2a1+d16，a1+4d1，
15、解得：a19，d2an92（n1）112n令an112n0，解得n5使得数列an前n项的和Sn取到最大值的n5故答案为：9，513某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体如图所示：所以4+4故答案为：4+414能说明“若m（n+2）0，则方程1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是答案不唯一，m4，n2【分析】由题意可得满足mn+20或者m0，n+20即可，任意取满足m，n的值即可解：则方程1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m
16、，n的值为：满足mn+20即可，可取m4，n2，故答案为：m4，n215已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）2f（x），且当x（0，2时，f（x）2x3有以下三个结论：f（1）；当a（，时，方程f（x）a在区间4，4上有三个不同的实根；函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点bZ其中，所有正确结论的序号是【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假解：因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）2f（x），x（0，2时，f（x）2x3，所以f（1）f（1+2）f（1）（213）；所以正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a（，时，方程f（x）a在区间4，4上有
17、三个不同的实根；所以正确因为x（0，2时，f（x）2x30时，xlog23，又因为f（x+2）2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACBC，D是A1C1的中点，且ACBCAA12（）求证：BC1平面AB1D；（）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值【分析】（）连接A1B，设A1BAB1E，连接DE，可得BC1DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1平面AB1D；（）由CC1底面ABC，ACBC，得CA，CB，
18、CC1 两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值【解答】（）证明：连接A1B，设A1BAB1E，连接DE，由ABCA1B1C1为三棱柱，得A1EBE又D是A1C1 的中点，BC1DEBC1平面AB1D，DE平面AB1D，BC1平面AB1D；（）解：CC1底面ABC，ACBC，CA，CB，CC1 两两互相垂直，故分别以CA，CB，CC1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），
19、D（1，0，2），设平面AB1D的法向量为，由，取y1，得；设直线BC与平面AB1D所成角为则sin|cos|直线BC与平面AB1D所成角的正弦值为17已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为； 最大值为2； f（0）1； f（）0（）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（）求函数f（x）的单调递增区间【分析】（）若函数f（x）满足条件，则由f（0）Asin1，推出与A0，0矛盾，可得函数f（x）不能满足条件，由条件，利用周期公式可求2，由条件，可得A2，由条件，可得f（）0，结合范围0，可求，可得函数解析式（）利用正弦函数的单调性即可求解解
20、：（）若函数f（x）满足条件，则f（0）Asin1，这与A0，0矛盾，故函数f（x）不能满足条件，所以函数f（x）只能满足条件，由条件，可得，又因为0，可得2，由条件，可得A2，由条件，可得f（）2sin（）0，又因为0，所以，所以f（x）2sin（2x）（）由2k2x2k，kZ，可得：kxk，kZ，可得f（x）的单调递增区间为k，k，kZ18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青睐根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这
21、6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t，当t0.9时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率（）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（）将（）中概率值记为x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由【分析】（I）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列
22、和数学期望；（III）根据样本是否具有普遍性进行判断解：（I）tA0.9，tB0.9，tC0.9，tD0.9，tE0.9，tF0.96款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为（II）X的可能取值有2，3，4，且P（X2），P（X3），P（X4），X的分布列为： X 2 3 4 P E（X）234（III）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本19设函数f（x）axl
23、nx，其中a一、选择题，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线经过点（3，2）（）求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）证明：f（x）【分析】（I）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；（II）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III）由于f（x）等价于xlnx0，结合（II）可得f（x）xlnx，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证解：（I）f（x）alnx+a，则f（1）0，f（1）a，故取消yf（x）在（1，f（1）处的切线方程ya（x1），把点（3，2）代入切线方程可得，a1，（II）由（I）可得f（x）ln
24、x+1，x0，易得，当0时，f（x）0，函数单调递减，当x时，f（x）0，函数单调递增，故当x时，函数取得极小值f（），没有极大值，证明：（III）f（x）等价于xlnx0，由（II）可得f（x）xlnx（当且仅当x时等号成立），所以xlnx，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设g（x），x0则，当0x1时，g（x）0，函数单调递减，当x1时，g（x）0，函数单调递增，所以g（x）g（1）0，当且仅当x1时等号成立，因为等号不同时成立，所以当x0时，f（x）20已知椭圆E：1（ab0）经过点C（0，1），离心率为O为坐标原点（）求椭圆E的方程；（）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭
25、圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且4，求证：C，B，Q三点共线【分析】（）由b1，a2b2+c2，解得a，c，进而得出椭圆的方程（）设D（x0，y0） （x0y00），则1，直线CD的方程为y，令y0，得点P的坐标，设Q（xQ，yQ），由4，得xQ（显然xQ2），写出直线AD的方程为y，得Q（，），kBQ所以kBCkBQ，即C，B，Q 三点共线解：（）由题意，得b1，又因为a2b2+c2，所以a2，c，故椭圆E的方程为（）A（2，0），B（2，0），设D（x0，y0） （x0y00），则1，所以直线CD的方程为y，令y0，得点P的坐标为（，0），设Q（xQ
26、，yQ），由4，得xQ（显然xQ2），直线AD的方程为y，将xQ代入，得yQ，即Q（，），故直线BQ的斜率存在，且kBQ又因为直线BC的斜率kBC，所以kBCkBQ，即C，B，Q 三点共线21如图，表1是一个由4020个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m1，2，40；n1，2，20）表示位于第m行第n列的数将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，jbi+1，j，其中i1，2，39；j1，2，20）表1a1，1a1，2a1，20a2，1a2，2a2，20a40，1a40，2a40，20表2 b1，1b1，2b1，20b2
27、，1b2，2b2，20b40，1b40，2b40，20（）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等于100ij？等于i+2j呢？（结论不需要证明）（）如果b40，201，且对于任意的i1，2，39；j1，2，20，都有bi，jbi+1，j1成立，对于任意的m1，2，40；n1，2，19，都有bm，nbm，n+12成立，证明：b1，178；（）若ai，1+ai，2+ai，2019（i1，2，40），求最小的正整数k，使得任给ik，都有bi，1+bi，2+bi，2019成立【分析】（）直接利用表格求出结果（）利用行列式的变换的应用求出结果（）利用假设法的应用和关系
28、式的变换的应用求出结论【解答】解（）存在表1，使得bi，j100ij，不存在表1，使得证明：（）因为对于任意的i1，2，3，39，j1，2，20，都有bi，jbi1，j1所以b1，20b2，201，b2，20b3，201，b39，20b40，201所以（b1，20b2，20）+（b2，20b3，20）+（b39，20b40，20）39，即b1，20b20，40+3940由于m1，2，40，n1，2，3，19，都有bm，nnm，n+12所以b1，1b1，22，b1，2b1，32，b1，19b1，202所以（b1，1b1，2）+（b1，2b1，3）+（b1，19b1，20）38，即b1，178解：
29、（）当表1如下图时，0111101111101111011111011110111111101111011111011110其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1因此每行的和均为19，符合题意重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k39以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含ar，1，ar，2，ar20），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的4019760个数这与表2中前39行中共有3920780个数相矛盾所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数其次，在表2中，根据重拍规则得：当i39时，bi，jb39，jai，j，（j1，2，20）所以bi，1+bi，2+bi，20ar，1+ar，2+ar，2019，所以k39综上所述k39
