1、2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（57） 一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 若，则，x，这四个数中A. 最大，最小B. x最大，最小C. 最大，最小D. x最大，最小2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是A. B. C. D. 3. 方程的所有整数解的个数是A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 顶点为，的正方形在第一象限的面积是A. 25B. 36C. 49D. 305. 使方程的一根为整数的整数m的值共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 函
2、数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. B. C. 或D. 或7. 在中，P在中，则的度数为A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且为锐角，则AD的取值范围是A. B. C. D. 9. 一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖
3、，也使留下的块数增加一倍这时三人的糖块一样多开始时，丙有32块糖，则乙原来有_块糖11. 设，则_12. 已知为钝角三角形，其最大边AC上有一点点P与点A，C不重合，过点P作直线l，使直线l截所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是_13. 如图，中，的平分线交BC于D，若，则AD的长为_cm14. 已知a是整数，一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于_15. 如图，是等腰直角三角形，点，在函数的图象上，斜边，都在x轴上，则点的坐标是_ 16. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18
4、路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_分钟17. 如图，以半圆中的一条弦非直径为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且，则CB的长为_三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）18. 解关于x的不等式：19. 如图，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半如图，在中，于D，由公式得到即你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程并利用结论求出的值20. 如图，过内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点求证
5、：21. 已知二次函数的图象是M求M关于点中心对称的图象N的解析式；当时，的最大值为，求a的值22. 证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍- 答案与解析 -1.答案：A解析：【分析】本题主要考查利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法可根据条件，在范围内运用取特殊值的方法比较大小【解答】解：，取，即，最大，最小，最大，最小故选A2.答案：A解析：解：共有25种情况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为列举出所有情况，让摸出的福娃都是贝贝的情况数除以总情况数即为所求的概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比3.答案：B
6、解析：解：当，时，解得；当时，解得或1当，为偶数时，解得 因而原方程所有整数解是，1，共4个故选：B方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为，指数为偶数本题考查了：是不为0的任意数以及1的任何次方都等于本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意4.答案：B解析：解：连接OA，过A、D两点的直线方程是，即，解得它与x轴的交点E的横坐标是，同理求得过A、B两点的直线方程是，解得它与y轴的交点E的纵坐标是，即顶点为，的正方形在第一象限的面积是36根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐
7、标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果5.答案：D解析：解：方程有一个整数根，设为正整数，且同奇偶，4，20，2，经检验，均有一根为整数，符合条件的整数m的值有4个，故选：D设，则，由且同奇偶，则可求，本题考查二元一次方程根的判别式；由入手，利用建立等式求m的值是解题的关键6.答案：D解析：解：根据题意，的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分
8、两种情况讨论，时，过第一、二象限，斜率为1，时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有；时，过第三、四象限；而过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有；故选：D画图象用数形结合解题，的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；时，斜率为1，与交于第一、二象限，时，斜率为1，与交于第三、四象限，分析图象可得答案本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论7.答案：C解析：解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，又，又，是等边三角形，或由，又故选：C在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的
9、性质得到，求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出，即，再证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度8.答案：A解析：解：设，；则有：，；故BC；设抛物线顶点为P，则；，即；故选：A首先设出B、C的坐标，用韦达定理求出BC的长，若以BC为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点A在x轴上方时，为锐角，那么AD的长就应该在和DP之间设P为抛物线顶点坐标，且AD不等于此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根与系数
10、的关系、圆周角定理等知识，能够正确的根据圆周角定理判断出是锐角时A点的位置是解答此题的关键9.答案：C解析：解：如图所示，当时，那么它的最大内角是当时，有以下4种情况，所以共5种情况，故选：C当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题10.答案：40解析：解：设甲、乙二人原来分别有糖块x、y块糖，乙从丙处取来z块糖则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、乙处糖的转换过程得知，由三处糖块一样多可得，
11、把代入，得，由得，故乙原来有40块糖块该题是三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，解答即可解方程组时，用代入消元法和加减消元法，通过“消元”使其转化为二元一次方程组来解11.答案：15解析：【分析】此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性将和相加，得到，再将转化成关于，的完全平方的形式，再将，和整体代入即可【解答】解：，两式相加得，原式12.答案：3或2解析：解：如图1：过点P作的平行线，或者作的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得，可得，有3条；如图2：只有2条这样的直线l可作的条数是3条或2条故答案为：3或2根据已知及相似三角
12、形的判定方法进行分析，从而可得到该直线的条数此题考查了相似三角形的判定，有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似13.答案：解析：解：过B作，交AD的延长线于点N，作交AN于点E，而，在直角中， 设，则而，解得：过B作，交AD的延长线于点N，作交AN于点易证是等腰三角形，根据三角函数即可求得底边AN，再根据，证得，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解本题求线段的长的问题可以转化为三角形相似的问题解决，正确作出辅助线是解题关键14.答案：5解析：解：一次函数的解析式为；图象与两坐标轴的交点为；图象与两坐标轴所围成的
13、三角形的面积可表示为：；一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数；一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为5故填5先根据一次函数的解析式求出与两坐标轴的交点坐标，然后根据质数的特点确定所围成的三角形的面积一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于此题中，不管还是一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积都一样15.答案：解析：解：作轴，轴，是等腰直角三角形，则，设，则有，解得，或舍去，则，坐标为故答案为：作轴，轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可本题考查等腰三角形的性质与反比例函数的性质的综合，一定经过某点的函数应符合这个点的横纵坐标16.答案：4解析：解
14、：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车二辆车之间的距离是：at 车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at 那么： 车从前面来是相遇问题，那么： ，得： 所以： 即车是每隔4分钟发一班根据路程速度时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题考查了对方程的应用，解方程组的时候注意技巧17.答案：解析：解：如图，且，作AB关于直线BC的对称线段，交半圆于，连接AC、，可得A、C、三点共线，线段与线段A
15、B关于直线BC对称，而，即则，又，故答案是：作AB关于直线CB的对称线段，交半圆于，连接AC、，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答本题主要考查了翻折变换折叠问题，此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答18.答案：解：法一：原不等式化为或，分，解得，解得，分所以，原不等式的解为：或；分法二：原不等式化为：，即，原不等式的解为或解析：法一：根据绝对值的性质，分和两种情况去掉绝对值号，然后分别对和分解因式，根据同号得正、异号得负求解法二：或者先分解因式求出的解集，然后再解不等式组的解集本题分解因式后利用两数相乘，同号得正、异
16、号得负求解；也可以先求出的范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，从而得到不等式的解集，这对初中生要求比较高，但只要平时学习的扎实，相信也是不难解决的19.答案：解：能消去中的AC、BC、CD将，两边同除以得：，又、，代入可得：由得：解析：将等式的两边同时除以AC和BC，然后将、代入，整理即可消去中的AC、BC、CD，分别令，代入消去后的式子可得出的值本题考查了解直角三角形的知识，题目比较长，突破口在于熟练掌握直角三角形中三角函数的表示形式，例如题中的、，另外在解答这样阅读型题目时，一定要有耐心，仔细分析题意，切忌看见比较长的题目就无从下手20.答案：证明：根据题意，；分是平行四边形，；同理，；
17、则，解析：若将所求的等式左边进行通分，解起来会非常麻烦，所以要通过相似三角形得出的对应成比例相等来求证；根据、得出的对应成比例线段，用分母为AB的式子替换掉、，然后再通过这些线段和AB的关系来证明所求的结论此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质21.答案：解：依题得，且，故图象M的顶点为，由对称性可知，图象N的顶点为，且其开口方向与M的相反，即当时，抛物线N的开口向上，对称轴为，若，则当时，取得最大值，由得，解析：先求出的顶点坐标，由中心对称得出的顶点坐标，又由于和的开口方向相反，且开口大小相同，故a值相同，因此可确定解析式由于的开口向下，且对称轴位于内，故顶点纵坐标为，则a的值便可求出本题考查了二次函数图象关于定点中心对称时抛物线的解析式的求法22.答案：证明：如图，在中，设，且三边长分别为a，b，c延长CA到点D，使，则，由，知从而，故，即于是，当时，设，代入式，解得，此时，；当时，设，解得，此时，不能构成三角形；同理，当时，可得，n不是整数，舍去综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6解析：首先保证该三角形的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍，构造相似三角形，得到a，b，c之间的一个关系式，再根据边长为三个连续的正整数，进行分析求解此题综合运用了相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系
