1、2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷1一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i3（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A25B12C35D454（5分）已知a=312，b=log23，clog92，则a，b，c的
2、大小关系为（）AabcBacbCbacDcba5（5分）3+33+35+32n+1（）A32（9n1）B32（9n+11）C38（9n1）D38（9n+11）6（5分）在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=AB+AC，则+等于（）A12B23C16D137（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移6个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）Ag(2)=12Bg（x）的最小正周期是4Cg（x）在区间0，3上单调递增Dg（x）在区间3，56上单调递减8（5分）若x，y满足约束条件2x+y2y-x2x-20，则yx+2的取值范围为（）A-12，1B，-
3、121，+）C0，1D12，19（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A3B6C10D1510（5分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A330+33B330+9C123D9210+9211（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右顶点分别是A1，A2，M是双曲线上任意一点，若直线MA1和MA2的斜率之积等于5，则该双曲线的离心率为（）A3B3C6D612（5分）已知函数h(x)=x2-2x+1，x01+x1-x，x0，函数g(x)=h(1-x)-mx+m-12恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A0，2-2)-12B0，2+2)92C(-2
4、-2，092D(-2+2，0-12二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在80，130（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为 14（5分）若函数f(x)=lnx+12x2，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 15（5分）已知数列an的前n项和Sn=13an+23，则an的通项公式an 16（5分）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|3|BF|，且三角形CDF的面积为3，则p的
5、值为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA+sinB）（ab）+bsinCcsinC点D为边BC的中点，且AD=7（1）求A；（2）若b2c，求ABC的面积18（12分）某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入x（万元）与该产品年销售利润y（万元）的近5年具体数据，如表：年宣传费用投入x（万元）13579年销售利润y（万元）2481115（1）求线性回归方程y=bx+a；（2）如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为多少？参考公式：回归直线方程y=bx+a 中斜率和截距的最
6、小二乘估计公式分别为：b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx，x、y为样本平均值19（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是棱AB，BC，AD的中点（1）证明：D1M平面A1EF；（2）求点D1到平面A1EF的距离20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），过点P（2，4）作圆O：x2+y220的切线l，直线l恰好过椭圆C的右顶点与上顶点（）求椭圆C的标准方程；（）若圆O上的一点Q的切线l1交椭圆C于A，B两点，试确定AOB的大小，并加以证明21（12
7、分）已知函数f（x）=1x2+alnx(aR)（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1x2）是f（x）的两个零点，求证：2aln(x2-x1+ea)+10四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3ty=-3t（t为参数），曲线C1的参数方程为x=2+2cosy=2sin（为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=23cos-2sin（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长五解
8、答题（共1小题）23设函数f（x）|2x1|+|2xa|，xR（1）当a4时，求不等式f（x）9的解集；（2）对任意xR，恒有f（x）5a，求实数a的取值范围2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷1参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以AB1，2，3，故选：A2（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【解答】解：z=2+3ii=(2
9、+3i)(-i)-i2=3-2i，z=3+2i故选：B3（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A25B12C35D45【解答】解：由题意可得x甲=16（88+87+85+92+93+95）90，设被污损的数字为x，则x乙=16（85+86+88+90+99+x）89+x6，满足题意时，x甲x乙即：9089+x6，解得x6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p=610=35
10、故选：C4（5分）已知a=312，b=log23，clog92，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDcba【解答】解；a=312（1，2），b=log23log22=12，log23log22=1，12b1，clog92log93=12，则abc，故选：A5（5分）3+33+35+32n+1（）A32（9n1）B32（9n+11）C38（9n1）D38（9n+11）【解答】解：数列3，33，35，32n+1是首项为3，公比为32的等比数列；且32n+1是第n+1项；3+33+35+32n+1=3(1-32n+2)1-32=38(9n+1-1)故选：D6（5分）在ABC中，H为
11、BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=AB+AC，则+等于（）A12B23C16D13【解答】解：M为AH的中点，且AM=AB+AC，AM=12AH=AB+ACAH=2AB+2AC，且B，H，C三点共线，2+21，+=12故选：A7（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移6个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）Ag(2)=12Bg（x）的最小正周期是4Cg（x）在区间0，3上单调递增Dg（x）在区间3，56上单调递减【解答】解：将f（x）sin2x的图象向右平移6个单位，g（x）sin2（x-6）sin（2x-3），对于A，由g（2）sin（22-3）si
12、n23=32，故错误；对于B，g（x）的最小正周期是T=22=，故错误；对于C，令2k-22x-32k+2，kZ，解得k-12xk+512，kZ，可得g（x）在区间0，3上单调递增，故正确；对于C，令2k+22x-32k+32，kZ，解得k+512xk+1112，kZ，当k0时，单调递减区间为512，1112，故错误故选：C8（5分）若x，y满足约束条件2x+y2y-x2x-20，则yx+2的取值范围为（）A-12，1B，-121，+）C0，1D12，1【解答】解：作出x，y满足约束条件2x+y2y-x2x-20的可行域如图：ABC，yx+2表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组x=
13、22x+y=2可解得B（2，2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：-22+2=-12，当直线经过点A时，M取最大值42+2=1则yx+2的取值范围：-12，1故选：A9（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A3B6C10D15【解答】解：由程序框图知，程序的运行功能是求S12+2232+42可得：当i5时，不满足条件i5，程序运行终止，输出S12+2232+4210故选：C10（5分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A330+33B330+9C123D9210+92【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边
14、长为：a；所以32a=3，解得a23斜高为：32+12=10，该三棱锥的表面积为：3122310+34(23)2=330+33故选：A11（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右顶点分别是A1，A2，M是双曲线上任意一点，若直线MA1和MA2的斜率之积等于5，则该双曲线的离心率为（）A3B3C6D6【解答】解；设M（x0，y0）（x0a）是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）上一点，则x02a2-y02b2=1，得到y02b2=x02-a2a2，故y02x02-a2=b2a2，又A1（a，0），A2（a，0），则kMA1kMA2=y0x0+ay0x0-a=y02x02
15、-a2=b2a2=5，c2-a2a2=e2-1=5，解得e=6故选：D12（5分）已知函数h(x)=x2-2x+1，x01+x1-x，x0，函数g(x)=h(1-x)-mx+m-12恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A0，2-2)-12B0，2+2)92C(-2-2，092D(-2+2，0-12【解答】解：函数h(x)=x2-2x+1，x01+x1-x，x0，h（1x）=x2，(x1)2x-1，(x1)数g(x)=h(1-x)-mx+m-12恰有三个不同的零点，即为h（1x）mxm+12有三个不同的实根，作出yh（1x）和ymxm+12的图象，直线ymxm+12与曲线yx2（x1）相切时
16、，设切点为（m，n），x2-mx+m-12=0，由0，可得m2-2当ymxm+12过（0，1）时，两图象恰有三个交点，此时m=-12；结合图象可得0m2-2或m=-12故选：A二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在80，130（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为220【解答】解：由频率分布直方图得：（2a+0.040+0.030+0.020）101，解得a0.005，这次测试数学成绩不低于100分的频率为：1（0.005+0.040）100.55这次测试数学成绩不低于100分的人数
17、为：4000.55220故答案为：22014（5分）若函数f(x)=lnx+12x2，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2x-32【解答】解：由函数f(x)=lnx+12x2，得：f（x）=1x+x，f（1）=12，f（1）2，求得切线方程为y-12=2（x1），即y2x-32故答案为：y2x-3215（5分）已知数列an的前n项和Sn=13an+23，则an的通项公式an(-12)n-1【解答】解：已知数列an的前n项和Sn=13an+23，根据递推关系式：Sn-1=13an-1+23（n2）所以：得：an=13(an-an-1)整理得：anan-1=-12数列an是以a1为
18、首项，公比为-12的等比数列当n1时，S1=13a1+23解得：a11所以：an=a1(-12)n-1=(-12)n-1故答案为：an=(-12)n-116（5分）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|3|BF|，且三角形CDF的面积为3，则p的值为62【解答】解：如图所示，过点B作BMl，交直线AC于点M，由抛物线的定义知|AF|AC|，|BF|BD|，且|AF|3|BF|，所以|AM|2|BF|，|AB|4|BF|，所以|AM|=12|AB|，所以BAM60，所以直线AB的斜率为ktan60=3
19、；设直线AB的方程为y=3（x-p2），点A（x1，y1），B（x2，y2），由y=3(x-p2)y2=2px，消去y整理得3x25px+3p24=0；所以x1+x2=5p3；所以|AB|x1+x2+p=8p3，所以|CD|AB|sin60=8p332=433；所以CDF的面积为1243p3p=3，解得p=62故答案为：62三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA+sinB）（ab）+bsinCcsinC点D为边BC的中点，且AD=7（1）求A；（2）若b2c，求ABC的面积【解答】解：（1）ABC中，（sinA+
20、sinB）（ab）+bsinCcsinC；（sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c，由正弦定理可得，（a+b）（ab）（cb）c，化简可得，b2+c2a2bc，由余弦定理可得，cosA=b2+c2-a22bc=12，0A，A=3，（2）b2+c2a2bc，b2c，a23c2b2c2，B=2，C=6；在直角BAD中，AD2c2+(a2)27c2+34c2c2，a23；SABC=12ac2318（12分）某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入x（万元）与该产品年销售利润y（万元）的近5年具体数据，如表：年宣传费用投入x（万元）13579年销售利润y（万元）24811
21、15（1）求线性回归方程y=bx+a；（2）如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为多少？参考公式：回归直线方程y=bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx，x、y为样本平均值【解答】解：（1）x=1+3+5+7+95=5，y=2+4+8+11+155=8，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=266-558165-552=1.65，a=y-bx=81.6550.25，线性回归方程为y=1.65x-0.25；（2）在y=1
22、.65x-0.25中，取x11，得y=1.6511-0.25=17.9故如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为17.9万元19（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是棱AB，BC，AD的中点（1）证明：D1M平面A1EF；（2）求点D1到平面A1EF的距离【解答】（1）证明：取CD的中点N，连结MN，D1N，EN因为E，F，M，N分别是棱AB，BC，AD，CD的中点，所以MNEF，又因为MN平面A1EF，EF平面A1EF，所以MN平面A1EF又因为A1D1EN，A1D1EN，所以四边形A1D1NE是平行四边形，所以D1NA1E，所以D
23、1N平面A1EF又D1NMNN，所以平面D1MN平面A1EF，又D1M平面D1MN，所以D1M平面A1EF；（2）解：因为D1M平面A1EF，所以点D1到平面A1EF的距离可以转化为点M到平面A1EF的距离由已知可得SMEF=1221=1，所以VA1-MEF=13SMEFAA1=1312=23，又A1E=5，EF=2，A1F=AA12+AF2=4+5=3，所以cosA1EF=5+2-9252=-1010，可知sinA1EF=31010，所以SA1EF=12A1EEFsinA1EF=125231010=32又因为VA1-MEF=VM-A1EF，所以点M到平面A1EF的距离为43所以点D1到平面A
24、1EF的距离为4320（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），过点P（2，4）作圆O：x2+y220的切线l，直线l恰好过椭圆C的右顶点与上顶点（）求椭圆C的标准方程；（）若圆O上的一点Q的切线l1交椭圆C于A，B两点，试确定AOB的大小，并加以证明【解答】解：（）因为点P（2，4）在圆O：x2+y220上，所以直线lOP，又因为直线OP的斜率为kOP=42=2，所以直线l的方程为：y-4=-12(x-2)令y0，可得x10，所以椭圆C的右顶点坐标为（10，0）；再令x0，可得y5，所以椭圆C的上顶点坐标为（0，5）所以a10，b5，因此，椭圆C的方程为：x2100+y225=
25、1（）（法一）若直线l1的方程为：x=25，则A(25，25)，B(25，-25)此时OAOB=0，故AOB90；若直线l1的方程为：x=-25，则A(-25，25)，B(-25，-25)，此时OAOB=0，故AOB90猜想AOB90为定值证明如下：若直线l1的斜率存在，设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l1的方程为：y-y0=-x0y0(x-x0)，整理可得：x0x+y0y20，将x=20-y0yx0代入椭圆方程可得，(20-y0yx0)2+4y2=100，整理得，(y02+4x02)y2-40y0y+400-100x02=0，所以y1y2=400-100x02y
26、02+4x02将y=20-x0xy0代入椭圆方程可得：x2+4(20-x0xy0)2=100，整理得(y02+4x02)x2-160x0x+1600-100y02=0，所以x1x2=1600-100y02y02+4x02故OAOB=x1x2+y1y2=400-100x02y02+4x02+1600-100y02y02+4x02=400-100x02+1600-100y02y02+4x02 =2000-100(x02+y02)y02+4x02=2000-10020y02+4x02=0所以AOB90为定值（法二）若直线l1的方程为：x=25，则A(25，25)，B(25，-25)此时OAOB=0，
27、故AOB90；若直线l1的方程为：x=-25，则A(-25，25)，B(-25，-25)，此时OAOB=0，故AOB90猜想AOB90为定值证明如下：若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为：ykx+b联立方程组y=kx+bx2100+y225=1，可得（1+4k2）x2+8kbx+4b21000设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=4b2-1001+4k2，x1+x2=-8kb1+4k2，又因为y1kx1+b，y2kx2+b，则y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=k24b2-1001+4k2+kb-8kb1+4k2+b2 =4k2b2-100k2-8k2b2+b2+
28、4k2b21+4k2=b2-100k21+4k2所以OAOB=x1x2+y1y2=4b2-1001+4k2+b2-100k21+4k2=5b2-100(1+k2)1+4k2因为直线l1与圆O相切，所以|b|1+k2=20，即b220（1+k2）所以OAOB=520(1+k2)-100(1+k2)1+4k2=0，故AOB90为定值21（12分）已知函数f（x）=1x2+alnx(aR)（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1x2）是f（x）的两个零点，求证：2aln(x2-x1+ea)+10【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），且f(x)=-2x-3+ax=ax2-2x3，
29、当a0时，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+）；当a0时，由f（x）0得x2a，故f（x）的单调递增区间为(2a，+)，单调递减区间为(0，2a)（2）证明：f（x）有两个零点，由（1）知a0且f(2a)=a2+a2ln2a0，a2e，要证原不等式成立，只需证明ln(x2-x1+ea)-12a，只需证明x2-x1e-12a-ea，只需证明eax12ax2e-12a一方面a2e，2a1e=e-1e-1a1，f(e-12a)=e1a+alne-12a=e1a-12e0-12=120，f(2a)f(e-12a)0，且f（x）在(2a，+)单调递增，故2ax2e-12a；另一方面，令g(x)
30、=lnx+1ex，（x0），则g(x)=1x-1ex2=ex-1ex2，当0x1e时，g（x）0；当x1e时，g（x）0；故g(x)min=g(1e)=-1+1=0，故g（x）0即lnx-1ex时x（0，+）恒成立，令x=ea，则lnea-ae2，于是f(ea)=a2e2+alneaa2e2-a2e2=0，而e2a2-(2a)2=e2-2aa2e2-4ea20，故f(ea)(2a)0，且f（x）在(0，2a)单调递减，故eax12a；综合上述，eax12ax2e-12a，即原不等式成立四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3ty
31、=-3t（t为参数），曲线C1的参数方程为x=2+2cosy=2sin（为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=23cos-2sin（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长【解答】解：（）直线l的参数方程为x=3ty=-3t（t为参数），转换为直角坐标方程为：yx=-33，所以直线的倾斜角为56所以：=56，曲线C1的参数方程为x=2+2cosy=2sin（为参数），转换为直角坐标方程为：（x2）2+y24转换为极坐标方程为：4cos，曲线C2的极
32、坐标方程为=23cos-2sin，转换为直角坐标的方程为：x2+y2=23x-2y，整理得：x2+y2-23x+2y=0，线l交曲线C1于O，A两点，则：=56=4cos，解得：A（23，56），直线=56和曲线C2于O，B两点则：=56=23cos-2sin，解得：B（4，56），所以：|AB|12|423五解答题（共1小题）23设函数f（x）|2x1|+|2xa|，xR（1）当a4时，求不等式f（x）9的解集；（2）对任意xR，恒有f（x）5a，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a4时，f（x）|2x1|+|2x4|=-4x+5，x123，12x24x-5x2f（x）9，-4x+59x12或4x-59x2，x1或x72，不等式的解集为x|x-1或x72；（2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1|对任意xR，恒有f（x）5a，f（x）min5a，即|a1|5a，a3，a的取值范围为3，+）
