1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（九）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合，则AB，C，D，1，2（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为A0BC1D3（5分）设，（其中是自然对数的底数），则ABCD4（5分）已知向量，满足，且，则与的夹角为ABCD5（5分）已知等比数列中，若，则的值为AB1C2D36（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷gu影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出
2、的如表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分）节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）晷影长（寸135节气惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）晷影长（寸75.5节气小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸16.0已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么易经中所记录的夏至的晷影长应为A14.8寸B15.8寸C16.0寸D18.4寸7（5分）若函数在，上的值域为，则的最小值为ABCD8（5分）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是A，B，C，
3、D，二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）下面四个说法中，正确的是A“直线直线”的充要条件是“直线平行于直线所在的平面”B“直线平面内所有直线”的充要条件是“直线平面”C“直线、为异面直线”的充分不必要条件是“直线、不相交”D“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线的三点到的距离相等”10（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是A目标恰好被命中一次的概率为B目标恰好被命中两次的概率为C目标被命中的概率为D目标被命中的概率为1
4、1（5分）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是AB平面C平面平面D平面平面12（5分）已知函数，则、满足A，B（3），（3）CD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知随机变量，且，则14（5分）记数列的前项和为，数列的前项和为，若，则，若不等式对任意数恒成立，则实数的范围是15（5分）已知变量，且，若恒成立，则的最大值16（5分）如图所示，是椭圆的短轴端点，点在椭圆上运动，且点不与，重合，点满足，则四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在，这三个条件中任选两个，补充在下面的
5、问题中若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，且，是否存在大于2的正整数，使得，成等比数列？18（12分）如图在中，是边上一点，（1）求的长；（2）若，求的面积19（12分）已知为坐标原点，点，动点满足，点为线段的中点抛物线上点的纵坐标为，（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由20（12分）如图，等腰梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置平面（）证明：；（）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值21（12分）某客户准备在家中安装一套
6、净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图1所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元，若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图2是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个
7、二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表二级滤芯更换的频数分布表 二级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值22（12分）已知函数（）求在点，（2
8、）处的切线方程；（）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；（）令，如果图象与轴交于，中点为，求证：2020年山东省新高考数学模拟试卷（九）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合，则AB，C，D，1，【解答】解：，；，故选：2（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为A0BC1D【解答】解：，在复平面内对应的点的坐标为，由题意，解得故选：3（5分）设，（其中是自然对数的底数），则ABCD【解答】解：，；故选：4（5分）已知向量，满足，且，则与的夹角为ABCD【解答
9、】解：，且；又；故选：5（5分）已知等比数列中，若，则的值为AB1C2D3【解答】解：等比数列中，解得，则故选：6（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷gu影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的如表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分）节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）晷影长（寸135节气惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）晷影长（寸75.5节气小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸16.0已知易经中记录的冬至晷影长为130
10、.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么易经中所记录的夏至的晷影长应为A14.8寸B15.8寸C16.0寸D18.4寸【解答】解：设晷影长为等差数列，公差为，则，解得易经中所记录的惊蛰的晷影长是14.8寸故选：7（5分）若函数在，上的值域为，则的最小值为ABCD【解答】解：函数在，上，根据正弦函数的性质：当时可得，解得：；则则的最小值为；故选：8（5分）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：令，则，可设，可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，时，不等式的解集中恰有两个整数，故的取值范围是故选：二
11、、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）下面四个说法中，正确的是A“直线直线”的充要条件是“直线平行于直线所在的平面”B“直线平面内所有直线”的充要条件是“直线平面”C“直线、为异面直线”的充分不必要条件是“直线、不相交”D“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线的三点到的距离相等”【解答】解：“直线直线”与“直线平行于直线所在的平面”相互推不出，因此不正确；“直线平面内所有直线”的充要条件是“直线平面”，正确；“直线、为异面直线” “直线、不相交”，反之不成立，“直线、为异面
12、直线”的必要不充分条件是“直线、不相交”，因此不正确；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线的三点到的距离相等”，正确故选：10（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是A目标恰好被命中一次的概率为B目标恰好被命中两次的概率为C目标被命中的概率为D目标被命中的概率为【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，在中，目标恰好被命中一次的概率为，故错误；在中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故正确；在中，目标被命中的概率为，故错误；在中，目标被命中的概率为，故正确故选：11（5分）如图
13、，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是AB平面C平面平面D平面平面【解答】解：由垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，知；在中，平面，故正确；在中，与不垂直，与平面不垂直，故错误；在中，平面，是平面与平面所成二面角，是锐角，平面和平面不垂直，故错误；在中，平面，平面，平面平面，故正确故选：12（5分）已知函数，则、满足A，B（3），（3）CD【解答】解：，故正确，为增函数，则（3），成立，（3），故正确，故正确，故错误，故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知随机变量，且，则0.4【解答】解：故答案为：0.41
14、4（5分）记数列的前项和为，数列的前项和为，若，则，若不等式对任意数恒成立，则实数的范围是【解答】解：由题意，当时，当时，当时，也满足上式，前项和构成的数列是单调递增数列又；，不等式对任意数恒成立，整理，得，解得，或，实数的取值范围为，故答案为：；，15（5分）已知变量，且，若恒成立，则的最大值【解答】解：，由恒成立可得恒成立，即恒成立，令，则在上单调递增，对求导可得，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为故答案为：16（5分）如图所示，是椭圆的短轴端点，点在椭圆上运动，且点不与，重合，点满足，则2【解答】解：设，则直线的斜率为，由，所以直线的斜率为于是直线的方程为：同理，的方程为
15、：联立两直线方程，消去，得因为在椭圆上，所以，从而所以 所以四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，且，是否存在大于2的正整数，使得，成等比数列？【解答】解：可选，设等差数列的公差为，是各项均为正数的等比数列，设公比为，由题设可得，解得，假设存在大于2的正整数，使得，成等比数列，可得，即，解得舍去），故存在大于2的正整数，且，使得，成等比数列18（12分）如图在中，是边上一点，（1）求的长；（2）若，求的面积【
16、解答】（本题满分为12分）解：（1）在中，由正弦定理，可得：，分在中，由正弦定理可得：，分因为，所以分（2）在中，由余弦定理，可得：，在中，由余弦定理，可得：，因为，所以，解得，所以，分所以分19（12分）已知为坐标原点，点，动点满足，点为线段的中点抛物线上点的纵坐标为，（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）由题知，；，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，曲线的标准方程为：；又由题知：点的纵坐标为，；，；又点，在抛物线上，解得；所以抛物线的标准方程为（2）设，则，；由题知，即
17、；由，；为定值，且定值为120（12分）如图，等腰梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置平面（）证明：；（）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【解答】证明：连接，设的中点为，四边形为平行四边形，为等边三角形，又，平面，又平面，解：在平面内作平面，垂足为，则在直线上，直线与平面夹角为，又，、两点重合，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设平面的一个法向量为，则，即，令得，又平面，1，为平面的一个法向量，设二面角为，则，易知二面角为钝角，所以21（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图1所示，两个一级过滤器
18、采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元，若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图2是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表二级滤芯更换的频数分布表 二
19、级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值【解答】解：（1）由题意知，若一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中
20、的两个一级过滤器均需要更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯，设“一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件，一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，（A）（2）由柱状图知：一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为20，21，22，23，24，的分布列为： 20 21 22 23 24 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16（3），若，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为：，若，则该用户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为：，故，的值分别为23，522（12分）已知函数（）求在点，（2）处的切线方程；（）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；（）令，如果图象与轴交于，中点为，求证：【解答】解：（），则（2），且切点坐标为，所以所求切线方程为：；（）舍去），所以在为增函数，在为减函数，（1），（e）；所以；（）证明：，假设，则有，得：，由得，；即；即； 令，则在上增函数（1）式不成立，故与假设矛盾
