1、2021年广东省惠州市高考数学一模试卷1. 设复数其中i为虚数单位，则z的虚部是A. 1B. 0C. D. 2. 如图，阴影部分表示的集合为A. B. C. D. 3. “”是“直线与圆有公共点”成立的条件A. 充分不必要B. 充要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要4. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 9057 16 03 11 63 14 90 84 45
2、 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是A. 10B. 09C. 71D. 205. 在平面直角坐标系中，角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则A. B. C. D. 06. 函数其中的图象不可能是A. B. C. D. 7. 切割是焊接生产备料工序的重要加工方法，各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三
3、棱柱工业用零配件，则该零配件最大体积为A. 6B. C. 18D. 8. 古希腊数学家欧几里得在几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为A. B. C. D. 9. 已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，成等差数列，则q的值可能为A.
4、B. 1C. 2D. 310. 下列有关回归分析的结论中，正确的有A. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心B. 若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强C. 若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高11. 已知函数，则下列结论正确的有A. 函数的最小正周期为B. 函数在上有2个零点C. 函数的图象关于点中心对称D. 函数的最小值为12. 在棱长为1的正方体中，M是线段上一个动点，则下列结论正确的有A. 存在M点使得异面直线BM与AC所成角为B. 存在M点使得异面直线BM与AC所成角为C. 存在
5、M点使得二面角的平面角为D. 当时，平面BDM截正方体所得的截面面积为13. 已知向量，若存在实数，使得，则_ .14. 已知a，若，则的最小值为_ .15. 设t为常数，若的展开式中所有项的系数和为1024，则_ .16. 已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是_.17. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，求角B的大小；若为锐角三角形，求的取值范围.18. 已知等差数列和等比数列满足，求和的通项公式；数列和中的所有项分别构成集合A，B，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和19. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频
6、率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差20. 如图，在以P为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD、求证：平面平面PBC；当二面角的大小为时，求四棱锥的体积.21. 已知椭圆：的左、右焦点分别是双曲线：的左、右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为求椭圆的方程；设椭圆的左、右焦点分别为，经
7、过左焦点的直线l与椭圆交于M，N两点，且满足的点P也在椭圆上，求四边形的面积.22. 已知函数，其中是自然对数的底数.求函数的单调区间；设在上存在极大值M，证明：答案和解析【答案】1. B2. B3. C4. B5. C6. C7. C8. C9. AC10. ABD11. CD12. AD13. 14. 415. 3或16. 17. 解：由已知，结合正弦定理，得再由余弦定理，得，又，可得由，则由正弦定理，有，因为为锐角三角形，可得，则所以的取值范围为18. 解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，当的前60项中含有的前6项时，令，可得，此时至多有项不符；当的前60项中含有的前7项时
8、，令，可得，且，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项19. 解：设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此，；可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量X的分布列为X0123P因为，所以期望，方差20. 证明：是圆O的切线，由圆锥的性质知，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB，又，AC、平面PAC，平面PAC，平面PBC，平面平面解：，且O为AB的中点，平面平面ABC，平面平面，平面PAB，平面ABC，为二面
9、角的平面角，即，在中，四棱锥的体积21. 解：椭圆的左右焦点分别为，而双曲线：的顶点分别为，所以又椭圆的上顶点为，而双曲线：的一条渐近线为，则有，解得，所以椭圆E的方程为设直线l的方程为，一定存在，代入，并整理得，恒成立，设，则，设，由，得，即，又点P在椭圆上，故，即，解得舍负，因为满足的点P也在椭圆上，所以四边形是平行四边形，设四边形的面积为S，则有，代入，得四边形的面积22. 解：由题意，函数，则，当时，令，单调递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，综上：当时，在递增，在递减，在递增，当时，在R上单调递增，
10、时，在递增，在递减，在递增；证明：由函数，则，令，可得，令，解得：，当时，在递增，此时，故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，在上存在极大值，故，解得：，易证，存在，存在，使得，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值M，即，由，故【解析】1. 解：因为，所以z的虚部为0，故选：化简复数z，由此即可求解本题考查了复数的除法的运算性质，涉及到求解复数的虚部问题，属于基础题2. 解：从图中可以看出阴影部分在内，同时也在集合B内，故选：直接结合图像即可求解结论本题考查集合的求法，考查补集、交集定义等基础知识，是基础题3. 解：
11、根据题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，若直线与圆有公共点，则必有，即，变形可得：，解可得：，即a的取值范围为，故“”是“直线与圆有公共点”成立的必要不充分条件，故选：根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，结合直线与圆的位置关系可得必有，即，解可得a的取值范围，即可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题4. 解：从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，找出4个在内的编号，14，05，11，09，则得到的第4个样本编号故选：根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键5. 解：角的终
12、边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则，故选：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得，再利用二倍角的正切公式，计算求得结果本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于中档题6. 解：当时，且，故A符合，当时，且时，当时，且时，在上为减函数，故B符合，当时，且时，当时，且时，在上为增函数，故D符合，故选：分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于中档题7. 解：用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，球形铁质原材料的半径，设正三棱柱的高与底面的边长为x，则底面外接圆半径，则，
13、即，即该零配件的最大体积为故选：由题意画出图形，求出球的半径，再求出球内接正三棱柱的底面边长与高，代入棱柱体积公式求解本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题8. 解：方程，即为，可得，则，可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，由双曲线的定义，可得，解得，故选：将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得m的不等式，可得所求范围本题考查圆锥曲线的统一定义的理解和运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题9. 解：因为，成等差数列，所以，因此，故又是公比为q的等比数列，所以由，得，即，解得或故选：运用等差数列的
14、中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题10. 解：对于A，回归方程必定经过样本中心，故选项A正确；对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；对于C，若相关指数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确故选：利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义等，属于基础题11. 解：因为
15、，所以函数的周期不是，所以A不正确；，0，时，所以函数在上有2个零点有3个零点，所以B不正确；因为，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确；函数，可得，令，解得，当时，函数是增函数，时，函数是减函数，所以时，函数取得最小值，此时，所以函数的最小值为：，所以D正确故选：利用周期的定义判断A；求解函数的零点判断B；利用函数的奇偶性以及函数值判断C；转化求解函数的最小值判断D，即可本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的周期性，函数的对称性以及函数的最值的求法，是中档题12. 解：对于A，连接、，交于，连接BD，取点M为时，连接，因为、，所以平面，又因为平面，所以，所以A对；对
16、于B，因为，所以异面直线BM与AC所成角就是，因为，所以B错；对于C，因为二面角的平面角为，因为，所以C错；对于D，取OA中点N，连接MN，过M作，交于E，交于F，连接ED、FB，所以D对故选：A只须证明；B用平移直线求异面直线成角判断；C求二面角的平面角判断；D求截面EFBD的面积判断本题以命题真假判断为载体，考查了正方体结构特征，考查了异面直线成角问题，考查了二面角问题，属于中档题13. 解：，若，则，则，解得：，故答案为：根据共线向量得到关于m的方程组，解出即可本题考查了平面向量的运算，考查转化思想，是基础题14. 解：因为，则，当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为故答案为：由已知结合
17、基本不等式即可直接求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题15. 解：令代入二项式可得：，所以，则或，故答案为：3或令代入二项式即可求解本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解展开式的所有项的系数和的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题16. 【分析】由，利用导数研究其单调性和极值，可得函数的图象，对a分类讨论解出不等式，即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、解不等式、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题【解答】由，令，解得：，令，解得：，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；时，时，故在时，在时，函数的图象如下：时，由不等式得或，而时无
18、整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得或，的解集为无整数解，而的解集整数解只有一个，且在递增，在递减，而，这一个正整数只能为3，；综上，a的取值范围是故答案为：17. 由已知结合正弦定理得，再由余弦定理得的值，结合，可求B的值由题意利用正弦定理，两角差的正弦公式化简可得，由于为锐角三角形，可得，解得，利用余弦函数的性质即可求解的取值范围本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18. 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差
19、数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式；分的前60项中含有的前6项，的前60项中含有的前7项两种情况，求得n的范围，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题19. 本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列及期望与方差，属于中档题.由频率分布直方图求出事件，的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；写出X可取的值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列根
20、据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望及方差20. 由平面平面ABC，推出平面PAB，有，易知，从而得平面PAC，再由面面垂直的判定定理，得证；由平面平面ABC，知平面ABC，从而有，故，进而得，由和棱锥的体积公式，得解本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角和棱锥体积的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，理解二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题21. 椭圆的左右焦点分别为，通过双曲线：的顶点求解椭圆的半焦距，又椭圆的上顶点为，而双曲线的一条渐近线为，得到b，然后求解椭圆方程设直线l的方程为，一定存在，代入，设，利用韦达定理，设，由，结合点P在椭圆上，转化推出四边形是平行四边形，然后求解四边形的面积的表达式，然后求解即可本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是难题22. 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极大值M，证明结论成立即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题
