1、人大附中高一（上）期中数学试卷（必修1）一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）1已知U为全集，集合PQ，则下列各式中不成立的是（）APQ=PBPQ=QCP（UQ）=DQ（UP）=2函数f（x）=lg（3x1）的定义域为（）ARBCD3如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A（1，7），则（）Aa=2，b=4Ba=2，b=4Ca=2，b=4Da=2，b=44函数y=2|x|的图象是（）ABCD5如果=b（a0且a1），则（）A2logab=1BCD6已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：X123f （x
2、）6.12.93.5那么函数f （x）一定存在零点的区间是（）A（，1）B（1，2）C（2，3）D（3，+）7下列说法中，正确的是（）A对任意xR，都有3x2xBy=（）x是R上的增函数；C若xR且x0，则log2x2=2log2xD在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称8如果函数y=x2+（1a）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa9Ba3Ca5Da7二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分请将正确答案填写在答题表中）9已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），nN+，则 f（3）的值为_10计算的值为_11若
3、奇函数f（x）在（，0）上是增函数，且f（1）=0，则使得f（x）0的x取值范围是_12函数f（x）=log3（x22x+10）的值域为_13光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为_14数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确 那么，你认为_说的是错误的三、解答题（分4道小题，共44分）15（12分
4、）已知函数（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+）上单调性，并用定义加以证明16（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨 现在开始向池中注水并同时向居民供水 问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量17（12分）已知函数f（x）=ax1（a0且a1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值18（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1
5、，x2，都有（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）A且定义域为（0，+），值域为（0，1），试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）1（4分）已知U为全集，集合PQ，则下列各式中不成立的是（）APQ=PBPQ=QCP（UQ）=DQ（UP）=考点：子集与交集、并集运算的转换。736566 专题：计算题。分析：先根据PQ画出相应的韦恩图，然后对每一个选项进行逐一判定即可解答：解：PQ=PPQ，故正确，PQ=QPQ，故正确，PQP（UQ）=，故正确
6、，PQ时，根据右图可知Q（UP），故不正确，故选D点评：本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念，可结合图形进行求解，属于基础题2（4分）函数f（x）=lg（3x1）的定义域为（）ARBCD考点：对数函数的定义域。736566 专题：计算题。分析：函数f（x）=lg（3x1）是一个对数函数，故其真数必大于0，由此得到关于自变量x的不等式，解出它的解集，即为所求的函数的定义域，再选出正确选项解答：解：由题意，函数f（x）=lg（3x1）是一个对数型函数令3x10，得x，即函数f（x）=lg（3x1）的定义域为观察四个选项，D选项正确故选D点评：本题考查对数函数的定义域，解题的关键是理解
7、对数的定义真数大于0，从而得出自变量的取值范围即定义域，本题是对数性质考查的基本题，计算题，考查了转化的思想，将求定义域的问题转化成了求不等式的解集3（4分）如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A（1，7），则（）Aa=2，b=4Ba=2，b=4Ca=2，b=4Da=2，b=4考点：二次函数的性质。736566 专题：计算题。分析：由对称轴是x=1可得，又因为图象过点A（1，7），代入解析式得ab=6，从而解得结果解答：解：对称轴是x=1图象过点A（1，7），ab=6a=2，b=4故选B点评：本题主要考查二次函数的对称性，点与图象的关系及解析式的求法4（4分）函数
8、y=2|x|的图象是（）ABCD考点：指数函数的图像变换。736566 专题：数形结合。分析：由已知中函数的解析式，结合指数函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，我们可以判断出函数的奇偶性，单调性，及特殊点，逐一分析四个答案中的图象，即可得到答案解答：解：f（x）=2|x|=2|x|=f（x）y=2|x|是偶函数，又函数y=2|x|在0，+）上单调递增，故C错误且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误故选B点评：本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键5（4分）如果=b（a0且a1），则（）A2logab=
9、1BCD考点：指数式与对数式的互化。736566 专题：计算题。分析：先把根式化为分数指数幂的形式，再由对数的定义化为对数式解答：解：由题意，（a0且a1），则，有对数的定义得，=logab即2logab=1故选A点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，以及指数式与对数式互化，重点是对数定义的理解和运用6（4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f （x）6.12.93.5那么函数f （x）一定存在零点的区间是（）A（，1）B（1，2）C（2，3）D（3，+）考点：函数零点的判定定理。736566 专题：阅读型。分析：利用函数零点的存在定理进行函数零点所
10、在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点解答：解：由于f（2）0，f（3）0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断故选c点评：本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号7（4分）下列说法中，正确的是（）A对任意xR，都有3x2xBy=（）x是R上的增函数；C若xR且x0，则log2x2=2log2xD在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称解答：解：当x0时，3x2x，故A不成立；y=（）x=是R上的减函数，故B
11、不成立；当x0时，2log2x不存在，故C不成立指数函数和对数函数互为反函数，故D成立故选D8（4分）如果函数y=x2+（1a）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa9Ba3Ca5Da7解答：解：函数y=x2+（1a）x+2的对称轴x=又函数在区间（，4上是减函数，可得4，得a9故选A二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分请将正确答案填写在答题表中）9（4分）已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），nN+，则 f（3）的值为18解答：解：f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），nN+，f（2）=3f（1）=6，f（3）=f（2+1）=
12、3f（2）=18，故答案为 1810（4分）计算的值为0解答：解：原式=+（2）2=4=44=0故答案为0点评：本题考查分数指数幂及对数运算，要注意：（1）正确化简，一般将根式化为分数指数，（2）正确运用公式11（4分）若奇函数f（x）在（，0）上是增函数，且f（1）=0，则使得f（x）0的x取值范围是（1，0）（1，+）考点：奇偶性与单调性的综合。736566 专题：计算题；分类讨论；转化思想。分析：根据奇函数f（x）在（，0）上是增函数，且f（1）=0，可知函数f（x）在（0，+0）上的单调性和零点，从而把不等式f（x）0利用函数的单调性转化为自变量不等式解答：解：奇函数f（x）在（，0）
13、上是增函数，函数f（x）在（0，+0）上是增函数，f（1）=0，f（1）=0不等式f（x）0等价于；1x0时，f（x）f（1）x1；2x0时，f（x）f（1）1x0；综上x取值范围是（1，0）（1，+）故答案为（1，0）（1，+）点评：考查函数的奇偶性和单调性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法，和分类讨论的思想，属中档题12（4分）函数f（x）=log3（x22x+10）的值域为2，+）考点：对数函数的值域与最值。736566 专题：计算题。分析：先求函数的定义域，再求真数的范围，利用对数函数的单调性求出f（x）的值域解答：解：函数的定义域：令x22x+100解得xR令t=x
14、22x+10对称轴为x=1时，t最小为9底数31，f（x）的最小值为log39=2故f（x）的值域为2，+）故答案为：2，+）点评：本题考查二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求函数的最值13（4分）光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。736566 专题：计算题。分析：光线原来的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原来的 2n 倍解答：解：光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，则通过3块
15、玻璃板后的强度变为 a0.93=0.729a故答案为：0.729a点评：本题考查指数函数的特征，通过n块玻璃板后的强度 y=a2n14（4分）数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确 那么，你认为乙说的是错误的考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质。736566 专题：开放型；反证法。分析：根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确
16、来分析，体现了反证法的思想解答：解；如果甲、乙两个同学回答正确，在0，+）上函数单调递增；丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误，此时f（0）是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误故答案为乙点评：解决本题的关键是能根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，在解答的过程中应用了反证法的思想，属基础题三、解答题（分4道小题，共44分）15（12分）已知函数（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+）上单调性，并用定义加以证明解答：解：（1）由x210，得x1，所以，函数的定义域为xR|x1（4分
17、）（2）函数在（1，+）上单调递减（6分）证明：任取x1，x2（1，+），设x1x2，则x=x2x10，（8分）x11，x21，x1210，x2210，x1+x20又x1x2，所以x1x20，故y0因此，函数在（1，+）上单调递减（12分）点评：本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性16（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨 现在开始向池中注水并同时向居民供水 问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量考点：函数模型的选择与应用。736566 专题：应用题。分析：先根据题意设t小
18、时后蓄水池内水量为y吨，得出蓄水池中水量y关于t的函数关系式，再利用换元法求出此函数的最小值即可本题解题过程中可设，从而转化成二次函数的最值问题求解解答：解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）根据题意，得（5分）=（10分）当，即t=5时，y取得最小值是50（11分）答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨（12分）17（12分）已知函数f（x）=ax1（a0且a1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值解答：解：（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）a31=4，即a2=4（2分）又a0，所以
19、a=2（4分）（2）当a1时，；当0a1时，（6分）因为，f（2.1）=a3.1当a1时，y=ax在（，+）上为增函数，33.1，a3a3.1即当0a1时，y=ax在（，+）上为减函数，33.1，a3a3.1即（8分）（3）由f（lga）=100知，alga1=100所以，lgalga1=2（或lga1=loga100）（lga1）lga=2lg2alga2=0，（10分）lga=1或lga=2，所以，或a=100（12分）18（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）A且定义域为（0，+），值域为（0，1），试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式解答：解：（1）f（x）A，g（x）A（2分）对于f（x）A的证明任意x1，x2R且x1x2，=即f（x）A（3分）对于g（x）A，举反例：当x1=1，x2=2时，不满足g（x）A（4分）（2）函数，当x（0，+）时，值域为（0，1）且（6分）任取x1，x2（0，+）且x1x2，则=即是一个符合条件的函数（8分）点评：本题是一道情境题，主要考查不等式的证明以及不等式的应用，还考查了构造思想，如本题中f（x）构造类型f（x）=ax或（k1）很常见
