1、三角函数五正、余弦定理一、知识点（一）正弦定理：其中是三角形外接圆半径.变形公式：（1）化边为角： （2）化角为边： （3） （4）.3、三角形面积公式：4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）（二）余弦定理： 由此可得：.注：A是钝角；=A是直角；A是锐角；2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的
2、应用射影定理： 有关三角形内角的几个常用公式解三角形常见的四种类型（1） 已知两角与一边：由及正弦定理，可 求出，再求。（2） 已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理， 求出角。（3）已知三边，由余弦定理可求出。（4）已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的 对角，由，求出，再由求出，而通过909090一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解 求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：二、例题讲解（一）求边的问题（2009广东文）已知中，的对边分别为若且，则 ( ) A2 B4 C4 D【答案】 A【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故选A（2013新课标高考文科
3、10）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为，c=6，则（ ）A.10B.9C.8D.5【解题指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】选D.因为，所以，解得，方法一:因为ABC为锐角三角形，所以,.由正弦定理得，.，.又，所以，.由正弦定理得, ，解得.方法二:由余弦定理，则，解得（2011浙江）在中，角所对的边分.若，则( )A- B C -1 D 1【答案】D【解析】，.9、（2011安徽）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.【解析】：ABC180，所以BCA，又，即，又0A180，所以A60.在ABC中
4、，由正弦定理得，又，所以BA，B45，C75，BC边上的高ADACsinC在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由2asinB=b及正弦定理,得sinA=,因为A是锐角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面积公式S=bcsinA,得ABC的面积为.6、（2012重庆理）设的内角的对边分别为,且则_【答案】 【解析】由,
5、由正弦定理得,由余弦定理.4、（2012福建文）在中,已知,则_.【答案】 【解析】由正弦定理得 5、（2011北京）在中，若，则 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以1、在ABC中，角的对边分别为，,，则（ ） A、1 B、2 C、 D、2、 在ABC中，分别为的对边.如果成等差数列，30，ABC的面积为，那么（ ） A、 B、 C、 D、3、在ABC中，角所对的边长分别为，若120，则（ ） A、 B、 C、 D、与的大小关系不能确定5、若ABC的周长等于20，面积是，60，则边的长是（ ）A、5 B、6C、7D、8 7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一
6、边长为（ ） A、52 B、 C、16 D、411、在中.若b=5，sinA=，则_.12、若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于 13、如图，在ABC中，若，则 。（二）求角的问题（2013北京高考文科5）在ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )A. B. C. D.1 【解析】选B。2012天津理）在中,内角,所对的边分别是,已知,则(）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理得，又，所以，易知（2013湖南高考文科5）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=b，则角A等于（ ）A. B. C. D.【解题指南】本题先利用正弦定理化简条
7、件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以锐角A=.（2013湖南高考理科3）在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）A B C D【解题指南】本题先利用正弦定理化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以锐角A=.（2013天津高考理科6）在ABC中, 则 = ()A. B. C. D. 【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值.【解析】选C. 在ABC中，由余弦定理得，所以由正弦定理得即所以.在ABC中，角A，B，C所对的
8、边分别为a，b，c，已知.(1)求角B的大小；(2)若，求b的取值范围.【解题指南】(1)借助三角形内角和为，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B的方程，求出B的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B与，由余弦定理可得b2关于a的函数，注意到可知，进而可求出b的范围.【解析】（1）由已知得，即.因为，所以,又,所以,又，所以.（2）由余弦定理，有，因为，,所以，又因为，所以，即.(2013浙江高考理科T16)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若,则sinBAC=.【解题指南】分别在RtABC和ABM中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在AB
9、M中由正弦定理得,因为,又,所以.又由得,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以.【答案】（2013上海高考文科T5）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .【解析】【答案】 设的内角，的对边分别为，（I）求;（II）若,求.【解题指南】（I）由条件确定求应采用余弦定理.（II）应用三角恒等变换求出及的值，列出方程组确定的值.【解析】（I）因为.所以.由余弦定理得，因此.（II）由（I）知，所以.故或，因此或10、（2012辽宁理）在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
10、（I）求的值;（）边a,b,c成等比数列,求的值.【解析】（I）由已知（）解法一：，由正弦定理得，解法二：，由此得，得所以（2012江西文）ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,ABC的面积为,求b,c.【解析】（1） 则. （2）由（1）得,由面积可得bc=6,则根据余弦定理 则,两式联立可得或7、（2011全国）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. （I）求B； （）若.【解析】（I）由正弦定理得由余弦定理得. 故，因此 （II） 故.1、的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（ ）
11、A、 B、 C、 D、2、在ABC中，60，则等于（ ） A、45或135 B、135 C、45 D、以上答案都不对4、在ABC中，那么等于（ ）A、30B、45C、60D、120 6、在ABC中，已知，则为（ ）A、B、 C、D、或7、已知ABC的面积为，且，则等于（ ）A、30 B、30或150 C、60D、60或1208、已知在ABC中,那么的值为（ ） A、 B、 C、 D、10、若的内角，满足，则A BC D11、在中，角所对的边分若，则A- B C -1 D112、已知在ABC中，45,则 。13、在ABC中，,30，则 。14、已知分别是ABC的三个内角所对的边，若，, 则 。1
12、5、在ABC中，则ABC的最大内角的度数是 16、已知，则 17、在中，角所对的边分别为，若， ,则角的大小为 .（三）判断三角形形状的问题设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为() A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,
13、sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.1、在中，若，则是（ ） A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形2、在中，已知，那么一定是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形3、ABC中，则此三角形一定是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形4、在ABC中，若，则ABC的形状是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 7、在ABC中，已知30,，那么这个三角形是（ ） A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形D、等腰三角形或直
14、角三角形8、ABC中，则ABC为（ ） A、直角三角形 B、等腰直角三角形C、等边三角形 D、等腰三角形9、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半， 则一定是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形10、ABC中，则三角形为 。（四）三角形的面积的问题（2013新课标全国高考文科4）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）A. B. C. D.【解析】选B.因为,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面积为.因为，所以，选B.(2013新课标全国高考理科T17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若
15、b=2,求ABC面积的最大值.【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得B.(2)利用角B、边b将ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC0,所以tanB=1,解得B=(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c22ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4(2-)ac,解得ac4+2,所以ABC的面积为a
16、csin(4+2)=+1.所以ABC面积的最大值为+1.1、在ABC中，,，则ABC面积为（ ） A、 B、C、或 D、或 2、已知ABC的三边长则ABC的面积为（ ）A、B、C、D、 3、在ABC中，70，那么ABC的面积为（ ）A、 B、C、D、 4、在ABC中，30,45，则ABC的面积等于（ ） A、 B、 C、 D、6、已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_(五)综合应用1、 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin2cosA, 求A的值；(2)若cosA，b3c，求sinC的值2、在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小：（）若c,且ABC的面积为,求ab的值。3、设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a1，b2，cosC.(1)求ABC的周长；(2)求cos(AC)的值4.在中，（）求AB的值。（）求的值。5、 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinAcsinCasinCbsinB.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.6、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。欢迎共阅
