1、数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1理解数列定义的四个要点数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项a与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2数列的通项公式一个数列 a的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列 a的通项公式。若给出数列 a的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 a的前n项和记为S，则S与a的关系是：a
2、=。第二部分：等差数列1等差数列定义的几个特点： 公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式为： 当n2时，有aa= d (d为常数)当n时，有aa= d (d为常数)当n2时，有aa= aa成立若判断数列 a不是等差数列，只需有aaaa即可2等差中项若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3、3等差数列的基本性质公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd若 a、 b为等差数列，则 ab与kab(k、b为非零常数)也是等差数列对任何m、n，在等差数列 a中有：a= a+ (nm)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆为自然数，且l + k + p + = m + n + r + （两边的自然数个数相等），那么当a为等差数列时，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差为d的等差数列，从中取出等距离
4、的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)如果 a是等差数列，公差为d，那么，a，a，a、a也是等差数列，其公差为d；在等差数列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d0时，等差数列中的数等于一个常数设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（1），则a=4等差数列前n项和公式S=与S= na的比较前n项和公式公式适用范围相同点S=用于已知等差数列的首项和末项都是等差
5、数列的前n项和公式S= na用于已知等差数列的首项和公差5等差数列前n项和公式S的基本性质数列 a为等差数列的充要条件是：数列 a的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)在等差数列 a中，当项数为2n (nN)时，SS= nd，=；当项数为(2n1) (n)时，SS= a，=若数列 a为等差数列，则S，SS，SS，仍然成等差数列，公差为若两个等差数列 a、 b的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=在等差数列 a中，S= a，S= b (nm)，则S=(ab)等差数列a中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a)上记等差数列a的前n项和为S若a0，公差d
6、0，则当a0且a0时，S最大；若a0 ，公差d0，则当a0且a0时，S最小第三部分：等比数列1正确理解等比数列的含义q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = (n)或q = (n2)由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中项与等差中项的主要区别如果G是a与b的等比中项，那么=，即G= ab，G =所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制在这里，等差中项与等比中项既有数
7、量上的差异，又有限制条件的不同3等比数列的基本性质公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)对任何m、n，在等比数列 a中有：a= a q，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆为自然数，且t + k，p，m + = m + n + r + (两边的自然数个数相等)，那么当a为等比数列时，有：aaa = aaa 若 a是公比为q的等比数列，则| a|、a、ka、也是等比数列，其公比分别为| q |、q、q、如果 a是等比数列，公比为q，那么
8、，a，a，a，a，是以q为公比的等比数列如果 a是等比数列，那么对任意在n，都有aa= aq0两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积当q1且a0或0q1且a0时，等比数列为递增数列；当a0且0q1或a0且q1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q0时，等比数列为摆动数列4等比数列前n项和公式S的基本性质如果数列a是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等
9、于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q1进行讨论当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=若S是以q为公比的等比数列，则有S= SqS若数列 a为等比数列，则S，SS，SS，仍然成等比数列若项数为3n的等比数列(q1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列二、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的
10、差(比)等于同一个常数”这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项3数列的表示方法应注意的两个问题： a与a是不同的，前者表示数列a，a，a，而后者仅表示这个数列的第n项；数列a，a，a，与集合 a，a，a，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， a，aq，aq，；对连续
11、偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， aq，aq，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a0，因为当a= 0时，虽有a= a a成立，但a不是等比数列，即“b= a c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清6由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错数列基础
12、知识定时练习题 （满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列四个数中，哪一个是数列中的一项 （ ） （A）380 （B）39 （C）35 （D）232在等差数列中，公差，则的值为（ ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） （A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首
13、项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（ ） （A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或6首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）37如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-98在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（ ）A.40 B.42 C.43 D.459已知某等差数列共有10项，其奇数项之和
14、为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5 B.4 C. 3 D. 210若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ）A4 B2 C2 D411在等比数列an中，a11，a103，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ ）A. 81 B. 27 C. D. 24312 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。13设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D14设是等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D15设Sn是等差数列an的前n项和，若，
15、则 （ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）1在数列中，且，则 2等比数列的前三项为，则 3 若数列满足：，2，3.则. 4设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S9.5在数列中，若，则该数列的通项 。三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）1已知为等比数列，求的通项式。2设等比数列的前n项和为，3 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an .4数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
16、本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。四、附加题（20分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 解：由等比数列的性质可得ac（1）（9）9，bb9且b与奇数项的符号相同，故b3，选B 8.B 解：在等差数列中，已知 d=3，a5=14，=3a5=42，选B.9.C 解：，故选C. 10. D 解：由互不相等的实数成等差数列可
17、设abd，cbd，由可得b2，所以a2d，c2d，又成等比数列可得d6，所以a4，选D 11.A 解：因为数列an是等比数列，且a11，a103，所以a2a3a4a5a6a7a8a9（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故选A 12.C【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。 13.B【解析】是公差为正数的等差数列，若，则， d=3，选B. 14. D 【解析】是等差数列的前项和，若 ，选D. 15.A 解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A二、填空题 1. 99 2. 3. 解：数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等
18、比数列， .4.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，联立解得a1=2,d=1，所以S95.解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n1三、解答题1.解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q1=, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3.2.解：设的公比为q，由，所以得由、式得整理得解得所以 q2或q2将q2代入式得，所以将q2代入式得，所以3.解析：解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6
19、，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.，于是即 .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.4.解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公差为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正，
