1、第十四章幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为R，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B）在内某些点处非绝对收敛。（C）的收敛半径大于。（D）对任意的，在上一致收敛。2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为;(D)当时发散。3幂级数级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)4若幂级数的收敛半径为R,那么(A),(B),(C),(D)不一定存在 .5如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A)是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D)是在点处的泰勒级数。6.如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B)当时,收敛；(C)当
2、时,发散；(D)当时,发散7.设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。8幂级数在其收敛区间的两个端点处A全是发散的.B.全是收敛的C.左端点发散,右端点收敛.D左端点收敛,右端点发散9.函数展开成的幂级数的方法是.10.幂级数的收敛域为答案:110DDBDAADDDA填空题：1.若幂级数在内收敛,则应满足_.2.设幂级数的收敛半径为2,则级数的收敛区间为_.3.级数的和函数为_.4.设是一等差数列,则幂级数收敛域是_.5.与有相同的_.6.的幂级数展开式_.7.幂级数只有在_区间内才有和函数.8.经过逐项微分或逐项积分后幂级数_不变.9
3、.的幂级数表达式_.10.级数在区间_收敛.答案：1.4. ( -1, 1)5.收敛区间.6.7.收敛.8.收敛半径.9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数.2.求幂级数的收敛域及和函数.3.求幂级数的收敛半径与收敛域( 1)4.将函数展开为的幂级数,并指出收敛域.5.求函数在x=1处泰勒展开式.6.设幂级数当时有且求该幂级数的函数.7.将展成x的幂级数.8.求幂级数的和函数.9.试求幂级数的收敛区域及和函数10.设，确定的连续区间，并求积分的值答案:1.解因且当时级数都发散,故该级数的收敛域为( -1, 1 ),令,则,.2.解:收敛半径,当时,原级数发散,故原级数的收敛域为( -1, 1
4、).设其和函数为,3. ( 1 )解记,由于,故收敛半径R=1,收敛区间为( -1, 1 )当时,由于,故级数发散,所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .( 2 )解记因为所以收敛半径R=1,收敛域为 -1, 1 .4.解而而级数与的收敛域都是 -1, 1 ,故当时5.解因.6.设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程,得.7.解易看出,而两边求导,得.8.级数的和函数为9.由于级数在上收敛，所以当时，有10.因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，且可逐项积分。.证明题：1.设在内收敛,若也收敛,则.2.设f为幂级数在( -R, R )上的和函数,若f为奇函数,则原级数仅出现奇次幂的项,若f
5、为偶函数,则原级数仅出现偶次幂的项.3.设函数定义在 0, 1上,证明它在(0, 1 )满足下述方程:4.设证明当时,级数收敛.5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数绝对收敛。6.设，求证：其中7.设，。证明：当时，满足方程。8.若幂级数的收敛半径为R(0),且在(或时收敛,则级数在 0, R (或-R, 0 )上一致收敛.9.设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切,有,证明:对内任一点与有.10.证明:满足方程.答案:1.证明:因为当收敛,有又当时,收敛,从而可知在左连续,于是.2.,当为奇函数时,有,从而,这时必有.当为偶函数时,有此式当且仅当.3.证明:设则.所以故. 0x1.4.因为所以,取极限得到,从而级数的收敛半径故时,级数收敛.5.对于任意，由于，所以，绝对收敛。又所以绝对收敛。6.时,，故从而7.由于，幂级数的收敛半径是1，所以当时，可微，且故即满足方程。8.证明:设级数在时收敛,对于有=已知级数收敛,函数列在上递减且一致有界,即由阿贝耳判别法知,级数在上一致收敛.9.证:对由于,所以.10.证:因幂级数的收敛区间为,它可以在内逐项微分任意次,从而,将代入有.
