1、“平面向量与解三角形”测试题(120分钟 150分) 第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是A.uvB.vwC.w=u-3vD.在同一平面内,对任一向量,存在实数a,b,使=au+bv解析:因为uv=0,所以uv,显然wv,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=au+bv.答案:C2.在ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是A.B.C.D.解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2
2、accos B=(a+c)2-3ac,化简得b=.答案:D3.在ABC中,AB=4,ABC=30,D是边BC上的一点,且=,则等于A.4B.0C.4D.8解析:由=,得(-)=0,即,所以|=2,BAD=60,所以=42=4.答案:C4.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为A.B.C.D.-解析:cos C=,当且仅当a=b时等号成立.答案:C5.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b
3、=14解析:由与在方向上的投影相同,可得=(a,1)(4,3)=(2,b)(4,3), 即 4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B6.在ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin B+asin A=csin C,c2+b2-a2=bc,则B等于A. B.C. D.解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A=,所以cos A=,A=,因为bsin B+asin A=csin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=.答案:A7.在四边形ABCD中,=(2,2),+=,则四边形ABCD的面积是A.2B.2C.4D.解析:由题知ABCD是菱形,边长为2,且BD等于边长的倍,
4、所以cosBAD=-,故sinBAD=,SABCD=(2)2=4.答案:C8.在ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin Acos B,则ABC是A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C=,所以C=,因为sin C=2sin Acos B,所以c=2a,得a=b,所以ABC是等边三角形.答案:B 9.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是A.B.C.D. 解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=,BC=2,点
5、E为BC的中点,所以B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以=x=,所以=,=(,1),=(-,2),所以=(-)+2=.答案:D10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于A.B.C.-D.-解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以absin C=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,所以sin C=,cos C=-,tan C=-.答案:C11.在平面直角坐标系中,O为坐标原点
6、,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=a+b,且01,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3+,y=+3,解得=,=,代入01,解得y3x,yx,3y-x8.答案:A12.在ABC中,若(+)=|2,则的值为A.2B.2C.D.4解析:设ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边,由=-,(+)=|2得|2-|2=|2.即a2-b2=c2,=4.答案:D第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b), 则向量a与b的夹角的大小是 . 解析:
7、因为a(a-b),所以aa-ab=0,cos=,=.答案:14.在ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则ABC外接圆的面积为 . 解析:记ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=,所以AC=7,又2R=,即R=,故ABC的外接圆的面积是R2=.答案: 15.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且AOB=,MN是一条直径,点C在圆内且满足=+(1-)(01),则的最小值为 . 解析:因为=+(1-)(01),所以C在线段AB上,因为=(-)(-)=-(+)+=-4,所以当OCAB时取得最小值,()min=1-4=-3.答案:-316.在ABC中,A
8、=60,BC=,D是AB边上的一点,CD=,BCD的面积为1,则AC的长为 . 解析:因为SBCD=1,可得CDBCsinDCB=1,即sinDCB=,所以cosDCB=.在BCD中,由余弦定理cosDCB=,解得BD=2,所以cosDBC=,又在BCD中,DBC对应的边长最短,所以DBC为锐角,所以sinDBC=,在ABC中,由正弦定理可知=,可得AC=.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.(1)若xy,求k的最大值;
9、(2)是否存在k,t,使xy?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-,-+).(1)若xy,则xy=0,即(-2t2-1)(-)+(t2+3)(-+)=0,整理得,k=,当且仅当t=,即t=1时取等号,kmax=.5分(2)假设存在正实数k,t,使xy,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(-)=0,化简得+=0,即t3+t+k=0.因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使xy.10分18.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=ac
10、os C.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积为2,且2abcos C-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根据正弦定理可知,b-c=acos C可化为sin B-sin C=sin Acos C,因为sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin Acos C,整理可得cos Asin C=sin C,即cos A=,因为0A,所以A=.6分(2)因为2abcos C-bc=a2+c2,所以2ab-bc=a2+c2,即a2+b2-c2-bc=a2+c2,得b2-2c2-bc=0,b=2c,因为SABC=2=bcsin A=bc,得bc=8,所以解得b=4,c=2,
11、所以a2=b2+c2-2bccos A=16+4-242=12,所以a=2.12分19.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+=.(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2),试求|m+n|的最小值.解析:(1)1+=1+=,即=,所以=,cos A=.因为0A,所以A=.6分(2)m+n=(cos B,2cos2-1)=(cos B,cos C),所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(-B)=1-sin(2B-).因为A=,所以B+C=,B(0,).从而-2B-.当sin(2B-)=1,即B=时,|m+n
12、|2取得最小值.所以,|m+n|min=.12分20.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(a-c)=c.(1)求角B的大小;(2)若-=, 求ABC面积的最大值.解析:由题意(a-c)cos B=bcos C,根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),即sin Acos B=sin A,cos B=,所以B=.6分(2)因为-=,所以|=,即b2=6,根据余弦定理b2=6=a2+c2-ac,有基本不等式可知6=a2+c2-ac2ac-a
13、c,即ac3(2+),所以SABC的最大值为acsin B=,即当a=c时,ABC的面积的最大值为.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin 2x-(cos2x-sin2x)-1,xR,将函数f(x)向左平移个单位后得g(x).设ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若c=,f(C)=0,sin B=3sin A,求a,b的值;(2)若g(B)=0且m=(cos A,cos B),n=(1,sin A-cos Atan B),求mn的取值范围.解析:(1)因为f(x)=sin 2x-(cos2x-sin2x)-1=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-
14、1,所以f(C)=sin(2C-)-1=0,sin(2C-)=1,因为2C-(-,),所以2C-=,所以C=,由余弦定理知a2+b2-2abcos=7,因sin B=3sin A,所以由正弦定理知b=3a解得a=1,b=3.6分(2)g(x)=sin(2x+)-1所以g(B)=sin(2B+)-1=0,所以sin(2B+)=1,因为2B+(,),所以2B+=即B=,m=(cos A,),n=(1,sin A-cos A),于是mn=cos A+(sin A-cos A)=cos A+sin A=sin(A+),因为B=,A(0,),得 A+(,) ,所以sin(A+)(0,即mn(0,.12分
15、 22.(本小题满分12分)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中cos =,090),且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由.解析:(1)由题知AB=40,AC=10,BAC=,090,cos =,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos =(40)2+(10)2-24010=500,所以BC=10,所以船的行驶速度为=15(海里/小时).6分 (2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q,在ABC中,由余弦定理得cos B=,从而sin B=,在ABQ中,由正弦定理得=,所以AQ=40AE=55,且QE=AE-AQ=15,过点E作EPBC于点P,在RtQPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-B)=15=37,所以船会进入危险区域.12分
