1、南京市南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学数学2020.06 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分.不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题卡的指定位置上答题卡的指定位置上. 1已知集合|24Axx，|13Bxx，则AB _. 2若i 1i a z （i是虚数单位）是实数，则实数a的值为_. 3某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽 取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为_. 4如图是一个算法的
2、伪代码，则输出的结果为_. 5将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为_. 6 已知函数 2sinf xx（其中0， 22 ） 的部分图象如图所示， 则 2 f 的值为_. 7已知数列 n a为等比数列.若 1 2a ，且 123 ,2a a a 成等差数列，则 n a的前n项和为 _. 8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为F.若以F为 圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于,A B两点，且2ABb，则该双曲线的离心 率为_. 9若正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，则三棱锥 11 ABCD的体积为_. 10
3、已知函数 2,0, ,0, xx f x fxx 2g xf x.若11g x ，则实数x的取值范围为 _. 11在平面直角坐标系xOy中，,A B是圆 22 :2O xy上两个动点，且OAOB .若,A B两 点到直线:34100lxy的距离分别为 12 ,d d，则 12 dd的最大值为_. 12若对任意e,a（e为自然对数的底数） ，不等式eax bx 对任意xR恒成立，则 实数b的取值范围为_. 13已知点P在边长为 4 的等边三角形ABC内，满足APABAC ，且231，延 长AP交边BC于点D.若2BDDC，则PA PB 的值为_. 14在ABC中， 3 A ，D是BC的中点.若
4、2 2 ADBC，则sinsinBC的最大值为 _. 二二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题， 计计 90 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的指定区域内请把答案写在答题卡的指定区域内. 15 （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形， 平面PAD 平面ABCD，PAPD，,E F 分别为,AD PB的中点. 求证： （1）EF平面PCD； （2）平面PAB 平面PCD. 16 （本小题满分 14 分） 已知向量cos ,sinxxm，cos , sinxxn，函数
5、 1 2 f x m n. （1）若1 2 x f ，0,x，求tan 4 x 的值； （2）若 1 10 f ， 3 , 24 ， 7 2 sin 10 ，0, 2 ，求2的值. 17 （本小题满分 14 分） 如图，港口A在港口O的正东 100 海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东 方向之间有一片以B为圆心， 半径为8 5海里的圆形暗礁群 （在这片海域行船有触礁危险） ， 其中20 13OB 海里， 2 tan 3 AOB， 5 cos 5 AOD.现一艘科考船以10 5海里/小时的 速度从O出发沿OD方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇以 50 海里/小时的速度准备从港
6、口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值. 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点2,0和 3 1, 2 ， 椭圆C上三点,A M B与原点O构成一个平行四边形AMBO. （1）求椭圆C的方程； （2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标； （3）若, ,A M B O四点共圆，求直线AB的斜率. 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ex f xa xaxa R，其中e为自然对数的
7、底数. （1）若1a ，求函数 f x的单调减区间； （2）若函数 f x的定义域为R，且 2ff a，求a的取值范围； （3）证明：对任意2,4a，曲线 yf x上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线 经过坐标原点. 20 （本小题满分 16 分） 若数列 n a满足 * 2,nnN时，0 n a ，则称数列 * 1 n n a n a N为 n a的“L数列”. （1）若 1 1a ，且 n a的“L数列”为 1 2n ，求数列 n a的通项公式； （2）若30 n ankk，且 n a的“L数列”为递增数列，求k的取值范围； （3）若 1 1 n n ap ，其中1p ，记 n a的“
8、L数列”的前n项和为 n S，试判断是否存在 等差数列 n c，对任意 * nN，都有 1nnn cSc 成立，并证明你的结论. 南京市南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学附加题数学附加题 21 【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在答题卡请在答题卡 指定区域内作答指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 11 0a A，aR.若点1,1P在矩阵A的变换下得到点0, 2
9、P . （1）求矩阵A； （2）求点0,3Q经过矩阵A的 2 次变换后对应点 Q 的坐标. B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 1cos , sin x y （为参数） ，直线l的参数 方程为 3 , 1 xt yt （t为参数） ，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. C选修 45：不等式选讲 已知, a b为非负实数，求证： 3322 abab ab. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC，3AB ，4AC ， 11 BCAC. （1）求 1 AA的长. （2）试判断在侧棱 1 BB上是否存在点P，使得直线PC与平面 11 AAC C所成角和二面角 1 BACA的大小相等，并说明理由. 23 （本小题满分 10 分） 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者 每次放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 * 21nnN次.若取出白球的累计次数达 到1n 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖.记获奖概率为 n P. （1）求 1 P； （2）证明： 1nn PP .
