1、数学分析 2 期末试题库数学分析 II 考试试题（ 1）一、 叙述题：（每小题 6 分，共 18 分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、a 收敛的 cauchy 收敛原理nn 13、 全微分二、 计算题 ：（每小题 8 分，共 32 分）1、limx 02x02sin t dt4x2、求由曲线2y x 和2x y 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积。3、求nnx1 n(n 1)的收敛半径和收敛域，并求和y4、已知 zu x ，求2ux y三、（每小题 10 分，共 30 分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数xp 1e x dx2、讨论反常积分的敛散性012 x
2、3、讨论函数列 Sn ( , ) 的一致收敛性( x) x2n四、 证明题 （每小题 10 分，共 20 分）x 1n1 n1、设 x 0, 1 ( 1,2 )n ，证明x nnn 1x 发散n2、证明函数xy2 2x y 0f (x, y) 2 2 在（0，0）点连续且可偏导，x y2 20 x y 0但它在该点不可微。 ，数学分析 II 考试题（ 2）一、 叙述题 ：( 每小题 5 分，共 10 分）b1、 叙述反常积分 f (x)dx,a 为奇点收敛的 cauchy 收敛原理a2、 二元函数 f (x, y)在区域 D上的一致连续二、 计算题 ：（每小题 8 分，共 40 分）1 1 1
3、1、 )lim (n 1 n 2 2n n x a(t sin t)2、求摆线 t 0,2 y a(1 cost)与 x 轴围成的面积1 x3、求 (cpv ) dx21 x4、求幂级数n 1(xn1)2n的收敛半径和收敛域x5、 ( , )u f xy ， 求y2ux y三、 讨论与验证题 ：（每小题 10 分，共 30 分）1、f2x y(x, y) ，求lim lim f (x, y),mil mil f (x, y)x yx 0 y 0 y 0 x 0； lim ( , )f x y(x, y) (0,0)是否存在？为什么？2、讨论反常积分0arctanpxxdx的敛散性。3、讨论n
4、13n( 2(n31)nn)的敛散性。四、 证明题 ：（每小题 10 分，共 20 分）b1、 设 f （x）在 a, b 连续， f (x) 0但不恒为 0，证明 f (x)dx 0a2、 设函数 u 和 v 可微，证明 grad ( uv)= ugradv+vgradu数学分析 II 考试题（ 3）五、 叙述题 ：（每小题 5 分，共 15 分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、 计算题 ：（每小题 7 分，共 35 分）1、esin(ln1x)dx2、求三叶玫瑰线 r asin 3 0, 围成的面积3、求n 2nxn cos 的上下极限 2n 1 54、求幂级数nn(x
5、1)n1 2的和5、u f (x, y) 为可微函数， 求(ux u2 ( ) y)2在极坐标下的表达式七、 讨论与验证题 ：（每小题 10 分，共 30 分）1、已知 f (x,y)2 2(x y ) sin0 x 0 y 0 或1xcos1yx0,y0，求 lim ( , )f x y( x ,y) (0,0)，问limx 0limy 0f ( x, y),limy 0lim f (x,x 0y)是否存在？为什么？2、讨论反常积分0xp1qxdx的敛散性。nx3、讨论 0,1f n (x) x 的一致收敛性。1 n x八、 证明题 ：（每小题 10 分，共 20 分）-1 1、 设 f （
6、x）在 a,+ ）上单调增加的连续函数， f (0) 0 ，记它的反函数 f（y），a b 1证明 f (x)dx f ( y)dy ab (a 0, b 0)0 02、 设正项级数x 收敛，证明级数n2x 也收敛nn 1 n 1数学分析（二）测试题（ 4）一 判断题（正确的打“” ，错误的打“ ” ；每小题 3 分，共 15 分）：1闭区间 a, b 的全体聚点的集合是 a, b 本身。22函数 ln x x 1 是x121在区间 1, 内的原函数。3若 f x 在 a, b 上有界，则 f x 在 a, b 上必可积。x4若 f x 为连续的偶函数，则 F x f t dt0亦为偶函数。5
7、正项级数nn101 n 1 !是收敛的。二填空题 （每小题 3 分，共 15 分）：1数列1nn3n1的上极限为 ，下极限为 。21 2 nlim n n2 2 2 22 2n 1 nn2。3d tandx0x tedt。4幂级数nnxn1 n 3的收敛半径 R 。5 将 函数 f x x x 展开成 傅里叶 级数，则 a0 ，a ，nb 。n三计算题 （每小题 7 分，共 28 分）： dx1 x x e e； 2e0xln x dx；x3 dx0 1 4x； 4xdx21 x 1四解答题 （每小题 10 分，共 30 分）：21求由抛物线 y 2x与直线 y x 4 所围图形的面积。n2判
8、断级数1 tann 11n是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数n 12nx2n11的收敛域，并求其和函数。五证明题 （12 分）：证明：函数sin nxf x 在 , 上有连续的二阶导函数，并求 f x 。4n n1数学分析（二）测试题（ 5）二 判断题（正确的打“” ，错误的打“ ” ；每小题 3 分，共 15 分）：1设 a 为点集 E 的聚点，则 a E 。22函数 ln x x 1 是x121在 , 内的原函数。3有界是函数可积的必要条件。x4若 f x 为连续的奇函数，则 F x f t dt0亦为奇函数。2n5正项级数是收敛的。n n 12二填空题 （每小题 3
9、分，共 15 分）：1数列n2 1 的上极限为 ，下极限为 。21 2 nlim n n2 2 2 2nn n n n2。3d sindx0x tedt。4幂级数n 1nn42 1nx的收敛半径 R 。5 将 函数 f x x x 展 开 成傅 里叶级 数，则 a0 ，a ，nb 。n三计算题 （每小题 7 分，共 28 分）：3x1 dx29 x； 210exdx；3dx2 x2 x 2； 4xdx10 1 x 2四解答题 （每小题 10 分，共 30 分）：1求由两抛物线2y x 与2y 2 x 所围图形的面积。nn 12判断级数1 ln是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n n 1
10、3确定幂级数n 1n x 的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （12 分）：证明：函数22x1f x e 在 0, 上连续。n2nn 1数学分析（二）测试题（ 6）一判断（ 2*7=14 分）（ ）1. 设 x f (x) a,b0为 在 上的极值点，则 ( ) 0f x0（ ）2. 若在 a,b 内 f (x) g ( x), f (b) g(b),则对 x a,b, 有f (x) g(x)（ ）3. 若x为点集 A的聚点，则必有 x A（ ）4. 若F ( x)连续，则 F ( x)dx F (x) C2x2（ ）5. 若 ( , , , ( ) ( )f x）在 a b f t dt
11、 f xa b 上连续， x 则a（ ）6. 若 an收敛， b 发散，则 （a b ）必发散n n n2 3（ ）7. 若 an 收敛，则 a 必收敛n二填空（ 3*7=21 分）1. 已知 f (ln x) 2 x,则f (x) _2 sin xln( x2 1)dx _3.设f x（ ）2xxe(xx0)0),则20f(x1) dx_4 . 求1x2lim sin t dt _3x 0x 03 x2 的拐点坐标5. 求y x 1 (_)1 1 16用定积分求 _limn 1 n 2 n n n17. 幂级数 nn xn 2的收敛半径 R 三 . 计算 （4*7=28 分）( 要有必要的计
12、算过程 )1 x 2. dx1. xe dx2x x 113. arcsin xdx024求曲线 y x 与y x所围成的图形的面积2四判别级数的敛散性（ 2*9=18 分）(要有必要的过程 )1 .n 1n2nnn!2 . 判别n 1(n1)n2n2x在（ , ）上是否一致收敛，为什么五证明： (9+10=19 分)1设级数2a 与n2b 都收敛，证明： anbn 绝对收敛n2设 f ( x)在 a,b 上二阶可导， f (a) f (b) 0，证明：存在 一点 (a ,b) ，使得f ( )(b4a)( ) ( )2 f b f a数学分析（二）测试题（ 7）一判断（ 2*7=14 分）（
13、 ）1. 设 ( ) 0f x ，则 x0必为f (x) 的极值点0（ ）2. 若在 a,b 内 f (x) g ( x), f (b) g(b),则对 x a, b, 有f (x) g (x)（ ）3. 若x为点集 A的聚点，则 x可能不属于 A（ ）4. 若F ( x)连续，则 F (x)dx F (x) Cb（ ）5. 若 f (x a,b x b, a , f (t)dt f ( x)）在 上连续， 则xun1（ ）6. 若 ，则级数 n收敛lim l 1 uu nn（ ）7. 幂级数 n至少存在一个收敛点an x二填空（ 3*7=21 分）1. 已知 f (x1) x2 2,则f (
14、x) _cos x 1 cos x 12 _已知 dx A, dx则1 4 0 4x 1 x 13.x 1 (x 0)2设f（x） 2 , 则 f (x 1) dx _x (x 0)04 . 求1 1 costxlim dt _x 0 tx 01 13 x2 f5. 求 f (x) x 1的极大值为 (_) _3 21 1 2 n6用定积分求 lim _n n n n nn27. 幂级数 nxn的收敛半径 R 三 . 计算 （4*7=28 分）( 要有必要的计算过程 )11. xln xdx 2. dx2x x 113. x arctanxdx04求曲线 y x3 从x 0到x 1的弧长四判别
15、级数的敛散性（ 2*9=18 分）(要有必要的过程 )1 .n 11 n 1n n22n2 . 判别n 1(n1)n2n2x在（ , ）上是否一致收敛，为什么五证明： (9+10=19 分)1设级数2a 与n2b 都收敛，证明：n2(an bn) 收敛b2 f x a b f x f x dx f x x a b若 ( )在 , 上连续， ( ) 0, ( ) 0,证明： ( ) 0， ,a数学分析（二）测试题（ 8）三 判断题（正确的打“” ，错误的打“ ” ；每小题 3 分，共 15 分）：1开区间 a, b 的全体聚点的集合是 a, b 本身。22函数 ln x x 1 是x121在区间
16、 1, 内的原函数。3若 f x 在 a, b 上有界，则 f x 在 a, b 上必可积。x4若 f x 为 a, b 上的连续函数，则 F x f t dt 在 a, b 上可导。a5正项级数1n n1是收敛的。二填空题 （每小题 4 分，共 16 分）：1 2 nlim1 2 2 2 2 2 2n 1 n 2 n nn。d2 0x et tdd x。3幂级数nnxn1 n 3的收敛半径 R 。4 将 函数 f x x x 展开成 傅里叶 级数，则 a0 ，a ，nb 。n三计算题 （每小题 10 分，共 30 分）： d x1 2 1 xx e x x ； 3 dx； 2 1 ln d0
17、 1 4x；四解答题 （每小题 10 分，共 30 分）：21求由抛物线 y 2x与直线 y x 4 所围图形的面积。1n2判断级数 21n n1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数n 1n x 的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （9 分）：证明：函数22x1f x e 在 0, 上连续。n2nn 1参考答案（ 1）一、1 、设 f (x) 在 a, b 连续 ， F (x) 是 f (x) 在 a,b 上 的一个 原函数， 则成 立baf (x) dx F (b) F (a)2、 0. N 0, 使得 m n N ，成立an a a1 n 2 m3 、设2D R 为开
18、集 ， z f ( x, y), (x, y) D 是定 义在 D 上的二 元函数 ，P0 (x0 , y0 ) 为 D 中的一定点，若存在只与点有关而与 x, y 无关的常数 A 和 B，使得2 y2z 则称函数 f 在点 P0 (x0, y0 ) 处是可微的，并称A x B y o( x )A 为在点 P0 (x0, y0) 处的全微分x B y二、1、分子和分母同时求导limx 02x0sin t6x2dtlimx 042x sin x 156x3（8 分）2、 、两曲线的交点为（ 0，0），（1，1）（2 分）所求的面积为：10(1x x ) （3 分）2 dx所求的体积为：103(x
19、 x ) （3 分）5 dx13、 解：设n x (n 1)( n 2)f (x) ， lim 11 n(n 1)1nnn(n 1)，收敛半径为 1，收敛域-1 ，1 （2 分）fn 1x 1 1 x x(x) ln(1 ), (02(n 1) x xn 11),f (x)x0f1 x x x(t)dt 1 ln( 1 ), (0x1)(3 分）x=0 级数为 0，x=1，级数为 1，x=-1 ，级数为 1-2ln2 （3 分）4、解：uy=y ln xxx z z（3 分）2ux yy 1y1xz zln x xzx(5 分）三、1、解、 有比较判别法， Cauchy,DAlembert,R
20、aabe 判别法等 （应写出具体的内容 4 分）(n 1)!n 1(n 1) 1nlim lim (1 ) en!n nn 1nn1（4 分）由 DAlembert 判别法知级数收敛（ 1 分）2、解：0x1p x （2 分），对1e xdx x p 1e x dx x p 1e dx0 110xp ，由于1e x dx1 x e xp 故 p0 时p 1 xx 1( 0)10xp 收敛 （4 分）；1e xdx1xp ，由于1e x dx2 x e xp 1 （4 分）故对一切的 pxx 0( )1xp1e dxx收敛，综上所述 p0，积分收敛3、解：2 1Sn (x) x 收敛于 x （4
21、 分） lim sup Sn (x) x 02nnx ( , )所以函数列一致收敛性（ 6 分）四、 证明题 （每小题 10 分，共 20 分）1、证明：x x x xn 1 2 n 2 1 13 4n , ( 2)xn x2 n （6 分）x x x x 2 3 n 1 n 1 n 12 3 n 1 21发散，由比较判别法知级数发散（ 4 分） n 2 n 1xy2、证明： 0 | | | xy |2 2x y（4 分）( x,limy) (0,0)xxy22y=0 所以函数在（ 0，0）0点 连 续 ，（ 3 分 ） 又 0l i mx0 x， fx (0,0), f y ( 0,0) 存
22、 在 切 等 于 0 ，（ 4 分 ） 但( x,l i my ) (0,0)2xx yy2不存在，故函数在（ 0，0）点不可微（ 3 分）参考答案（ 2）1、 0. 0, 使得0 ，成立1 2aa21f ( x) dx2 、 设2D R 为 点 集 ，mf : D R 为 映 射 ， 0. 0, 使 得x1 x2 , x1, x2 D ，成立 f (x1 ) f ( x2 )1二、1、由于 在0 ，1 可积，由定积分的定义知（ 2 分）1 xlimn(1 1n 1 n 212n)1 1 1 11 1= lim ( ) dx ln 2（61 2 nn n 0 1 x1 1 1n n n分）4、
23、 、所求的面积为：202 32a(1 cosx) dx a （8 分）5、 解：1 x A1 x(cpv ) dx lim dx (3 分）2 121 x xA A14、解： lim 1n2n x，r=1 （4 分）由于 x=0，x=2 时，级数均收敛，所以收敛域为 0 ，2 （4 分）5、解：uy=xf x f （3 分）1 22y2ux yf1f2 2yf11xy f22x3y（5 分）三、1、解、2 2 2x y x x y ylim lim lim 1, lim lim limx y 0 x 0 y 0 x 0 y 00 x y x x y y0（5 分）由于沿 y kx 趋于（0，0
24、）1极限为所以重极限不存在（ 5 分） 1 k2、解：0arctan x arctan x arctan x1p dx dx dx （2 分），对 p pp dx dx dx （2 分），对x 0x 1x10arctan xp dx ，由于xxparctan x1 x1(px0)故 p1(x )px 21arctanpxxdx收敛，综上所述 1p2，积分收敛3 n nn 2 ( 1) 2 13、解： lim 1所以级数收敛（ 10 分）nn 33四、 证明题 （每小题 10 分，共 20 分）1、证明：由 f (x) 0但不恒为 0，至少有一点 x0 a,b f （x）在 a, b 连续（ 2
25、 分），存b d在包含 x0 的区间 c,d a,b ，有 f (x) 0（4 分）， f (x)dx f ( x)dx 0（4 分）a c2、证明：以二元函数为例grad (uv) (uxv vxu,uy v vy u) (ux v,uyv) (vxu, vyu) v(ux ,uy ) u(vx ,vy ) vgradu ugradv（10 分）参考答案（ 3）一、1、设有定数 I ， 0. 0, 使得对任意的分法a x0 x1 xn b和任意的点 i xi 1 ,xi ，只要 max ( x ) ，成立i1 i nnf (i ) x Iii 12、 S的任意两点 x，y 之间，都存在 S中
26、的一条道路 r ，则称 S为连通集3、 0. N( ) 0,使得 m n N ，成立an 1 a 2 an me二、1、 sin(ln1x)dx x sin ln xe|1ecos(ln1x)dxesin1ecos11e1sin(lnx)dxe 1（5 分） ( sin 1 cos1 1)sin(ln x )dx e e12（2 分）6、 由对称性知，所求的面积为：62 a 2a22sin 3 d2 04（7 分）7、 解：上极限为 0.5 ，下极限为12cos45(7 分）4、解：lim nn1n212，r=2 （3 分）1收敛域为（ -3 ，1），级数的和为 （4 分），1 x 5、解：
27、设极坐标方程为x r cos , y r sinuxu= cos sinux u r sin ux r cos uyy（5 分） (ux)u2 ( )2y=(ur)2 1 ( )u22r（2 分）三、1、解、由于1 1sin cos 有界，x y2 y2x 为无穷小， lim f (x, y)( x, y) ( 0,0)0 （5 分）1 1 1 1 1 12 2 2 2lim lim ( x y ) sin cos lim ( lim x sin cos lim y sin cosx y 0 x y x 0 y x y0 x y0 y 0)， 而1 12l xi s mci no s极限不存在
28、，y 0 yxlimy 02y sin1xcos1y极限存在，故整体极限不存在，同理limy 0limx 0f (x, y)不存在（ 5 分）12、解： dxp q0 xx10x1 1dxp q p qx1xxdx（2 分），对10xp1qxdx，1m i np( x 故 min( p, q) 1 时,q)由 于 1( 0)xp qx x101p qx xdx收 敛 （ 4 分 ）；p1x1qxdx1m pa,q ) x ( x， 由 于 1( )xp qx x（ 4 分 ） 故max( p, q) 11x1p 收敛，综上所述 min( p, q) 1 ， max( p, q) 1时，积分收q
29、dxx敛（2 分）3、解： lim f (x) x f (x)nn2x x（3 分）， lim sup f (x) f (x) lim sup 0nn n n x1x所以函数列一致收敛（ 7 分）四、 证明题 （每小题 10 分，共 20 分）a b11 证明：当 b f (a) 时， f ( x)dx f ( y)dy ab (a 0,b 0)0 0（4 分）a f ( a)1当 b f (a) 时， f (x)dx f ( y)dy ab (a 0,b 0)0 0（3 分）1f (b) b1当 b f (a)时， f ( x)dx f ( y)dy ab (a 0,b 0)0 0（3 分）
30、2、证明：由于收敛n 1x ，故 lim xn 0（2 分），于是，总存在nnn 使得 n n0 时，02有 0 x 1，从而，当n n0 时，有 xn xn0 （5 分），由于级数nx 收敛，当然nxnn 1 nn0收敛，故级数2x 收敛，从而n2x 也收敛（ 3 分）nnn n01标 准 答 案 （4）四 判断题（正确的打“” ，错误的打“ ” ；每小题 3 分，共 15 分）：1 2 3 4 5二填空题 （每小题 3 分，共 15 分）：113，131； 2 ln 22x 2tan sec ； 4 3 ； 3 e x5 a0 0 ， an 0 ，bn1n 21n三计算题 （每小题 7 分
31、，共 28 分）： dx1 x x e ed1xe2xex arctan e C ；（4 分） （3 分）e1xln xdx e11 1 1ee2 2ln xd x x ln x xdx12 2 21122e142xe12 1 2e 1 ； 4（4 分） （3 分）x3 dx0 1 4x limbbx0 1 4 x0 1 4dx1 2 limb2bdx0 41 x1 2 limbb2arctan x 0； 4（2 分） （2 分） （2 分） （1分）2xdx1 x 1lima 12xdxa x1lima 12323 1x 1 2 x 1 2 2a834。（2 分） （3 分） （2 分）四解
32、答题 （每小题 10 分，共 30 分）：21求由抛物线 y 2x与直线 y x 4 所围图形的面积。解：两交点为 2, 2 , 8, 4 ，则 （3 分）S42y42y2dy2y24y3y64182（3 分） （3 分） （1 分）n2判断级数1 tann 11n是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：设an1tan ， an 0 ， 则 an an 1, an 0 n ， （3n分）n由 Leibniz 判别法知，级数1 tann 11n收敛。 （3分）1 ntan而由 lim 11nn知，级数1tann n1发散，故原级数条件收敛。 （4分）3确定幂级数n 12nx2n11的收敛域
33、，并求其和函数。n 1 x解： 因为2n 1lim x2n 1xn2， 所以 （22n 1分）当 x 1 时幂级数绝对收敛，当 x 1 幂级数发散，故收敛半径 R 1。 （2分）又当 x 1时幂级数发散，故收敛域为 1, 1 。 （2分）设2n 1xS x ，则2n 1n 1Sxn 1x12 2n ，从而 （221 x分）S x1x0 21 xdx12ln11xx， x 1, 1 。 （2分）五证明题 （12 分）：证明：函数sin nxf x 在 , 上有连续的二阶导函数，并求 f x 。4n n1证明：因为 x , ，有sinnnx414n，sinnnx4cosnx3n13n，cosnx3nsinnnx212n（3分）而级数14n,13n,12n都收敛，故级数sin nx cos nx sin nx, ,4 3 2n n n n 1 n 1 n 1n n n n，都在, 上一致收敛。 （3分）又 级 数 的 每 一 项 都 是 连 续 的 ， 故 由 函 数 项 级 数 的 连 续 性 和 可 微 性 知 ，f x , f x , f x都在
