1、丰台区高三数学二模考试试题 第 1 页/ 共 13 页 丰台区丰台区 2020 年年高三年级高三年级第第二二学期学期综合综合练习练习（二二） 数学数学 2020.06 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 集合 22AxxZ的子集个数为 （A）4 （B）6 （C）7 （D）8 2 函数 2 1 ( ) 2 f x xx 的定义域为 （A）(0 2), （B）0 2, （C）(0)(2), （D）(02)
2、, 3 下列函数中，最小正周期为的是 （A） 1 sin 2 yx （B） 1 sin 2 yx （C）cos() 4 yx （D） 1 2 tanyx 4 已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，则 23 aa （A）3 （B）6 （C）7 （D）8 5 设，ab为非零向量,则“ab”是“+abab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6 已知抛物线M:)0(2 2 ppyx的焦点与双曲线1 3 : 2 2 x y N的一个焦点重合，则p （A）2 （B）2 （C）22 （D）4 7 已知函数( )ln(1)ln(1)f x
3、xx，则( )f x （A）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数 丰台区高三数学二模考试试题 第 2 页/ 共 13 页 8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A） 2 3 3 （B） 4 3 （C） 4 3 3 （D）2 3 9. 在ABC中，3AC ，7BC ，2AB ，则AB边上的高等于 （A）2 3 （B） 3 3 2 （C） 26 2 （D） 3 2 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔
4、，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四 场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为, , (,a b c abc且, ,)Na b c ；选手总分为各 场得分之和四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛 获得了第一名，则下列说法正确的是 （A）每场比赛的第一名得分a为 4 （B）甲至少有一场比赛获得第二名 （C）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D）丙至少有一场比赛获得第三名 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题二、填空题共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 已知复数2iz
5、 ，则z 12. 已知直线10xy 的倾斜角为，则cos 13. 双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M的离心率为3，则其渐近线方程为 . 14 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、 酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干 支 纪 年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊
6、辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 丰台区高三数学二模考试试题 第 3 页/ 共 13 页 2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年 是己巳年，则 2059 年是_年；使用干支纪年法可以得到_种不同的干支纪年. 15已知集合 22 ()|(cos )(sin )4 0Px yxy ,.由集合P中所有的点组成的图形如图中 阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1） ；
7、 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3； 阴影部分与y轴相交， 最高点和最低点分别记为C， D， 则33CD ； 白色“水滴”图形的面积是 11 3 6 . 其中正确的有_ 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题三、解答题共共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 14 分）分） 如图，四边形ABCD为正方形， MAPB，MABC，ABPB， 1MA ，2ABPB. （）求证：PB 平面AB
8、CD； （）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值. 17.（本小题共（本小题共 14 分）分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 2a ， 5 20=S. （）求数列 n a的通项公式； （）若等比数列 n b满足 44 9ab，且公比为q，从2q ； 1 2 q ；1q 这三个条件中任选 一个作为题目的已知条件，求数列 nn ab的前n项和 n T. 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 丰台区高三数学二模考试试题 第 4 页/ 共 13 页 18.（本小题共（本小题共 14 分）分） 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥
9、会各项比赛的 活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学 校，10 所学校的参与人数如下： （）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查. 求选出的 2 所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人 的概率； （）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加旱地冰 壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望； （）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技术指导. 规定： 这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”
10、.在指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作 达到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化？请说明理由. 19.（本小题共（本小题共 15 分）分） 已知函数 1 ( ) ex x f x . （）求函数( )f x的极值； （）求证：当(0,)x时， 2 1 ( )1 2 f xx ； （）当0x 时，若曲线( )yf x在曲线 2 1yax的上方，求实数a的取值范围. 丰台区高三数学二模考试试题 第 5 页/ 共 13 页 20.（本小题共（本小题共 14 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy
11、Cab ab 经过(1 0)A ,，(0)Bb,两点.O为坐标原点，且AOB的面积为 2 4 . 过点(0 1)P,且斜率为(0)k k 的直线l与椭圆C有两个不同的交点MN，,且直线AM，AN分别 与y轴交于点S，T. （）求椭圆C的方程； （）求直线l的斜率k的取值范围； （）设PSPO PTPO,求的取值范围. 21.（本小题共（本小题共 14 分）分） 已知无穷集合,A B,且,ABNN， 记,ABab aA bB， 定义： 满足 * ()ABN时， 则称集合,A B互为“完美加法补集”. （） 已知集合21,Aa ammN2 ,Bb bn nN.判断 2019和 2020 是否属于集
12、合AB， 并说明理由； （）设集合 2422 024222 +2 +2 +2 +2 ,0,1;0,1, ,N , is isi Ax xis sLLL 132 121* 132 1212 1 2 +2 +2+2,0,11, ,N is isi Bx xis s LLL；. ()求证：集合,A B互为“完美加法补集” ； （ ） 记 A n和 B n分 别 表 示 集 合,A B中 不 大 于 * ()n nN的 元 素 个 数 ， 写 出 满 足 A n 1B nn的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明） （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
13、上作答无效） 丰台区高三数学二模考试试题 第 6 页/ 共 13 页 丰台区丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）年高三年级第二学期综合练习（二） 数学数学 参考答案及评分参考参考答案及评分参考 202006 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C D B A B C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 115 12 2 2 132yx 14. 己卯；60 15. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共
14、85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 14 分）分） 证明： （）因为MABC ，MA/PB， 所以PBBC， 因为ABPB，ABBCB， 所以PB 平面ABCD. 5 分 （）因为PB 平面ABCD， AB 平面ABCD，AD 平面ABCD， 所以PBAB，PBAD. 因为四边形ABCD为正方形， 所以ABBC. 如图建立空间直角坐标系Bxyz， 则(0 0 2)P, ,，(2 0 1)M, ,，(0 2 0)C, ,，(2 2 0)D, ,， (0 22)PC , ,，(2 22)PD , ,，(2 01)PM
15、, ,. 设平面PDM的法向量为()x y z, ,u， 则 0 0 PD PM , , u u 即 2220 20 xyz xz , . 令2z ，则1x ，1y .于是(11 2),u. 平面PDM的法向量为(11 2),u. 设直线PC与平面PDM所成的角为， 丰台区高三数学二模考试试题 第 7 页/ 共 13 页 所以 3 sincos 6 PC PC PC , u u u . 所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为 3 6 . 14分 17.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d， 又因为 1 (1) 2 n n n Snad ，且 1 2a
16、， 所以 5 10 1020Sd，故1d . 所以1 n an. 6 分 （）由（）可知， 4 5a ，又 44 9ab，所以 4 4b . 若选择条件2q ，可得 4 1 3 1 2 b b q ， 1122 ()()() nnn Tababab 1212 ()() nn aaabbb 11 ()(1) 21 n n n aabq q 1 (3)1 2 22 n n n . 14分 若选择条件 1 2 q ，可得 4 1 3 32 b b q ， 1122 ()()() nnn Tababab 1212 ()() nn aaabbb 11 ()(1) 21 n n n aabq q 6 (3
17、) 264 2 n n n . 若选择条件1q ，可得 4 1 3 4 b b q ， 1122 ()()() nnn Tababab 丰台区高三数学二模考试试题 第 8 页/ 共 13 页 1212 ()() nn aaabbb 11 ()(1) 21 n n n aabq q (3) +2(1( 1) ) 2 n n n . 18 （本小题共 （本小题共 14 分）分） 解：解：（）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件 S， 参与越野滑轮人数超过 40 人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共 2 4 6C 种， 所以 2 4 2 10 4 3 2 2 ( ) 10
18、 9 15 2 C P S C . 4 分 （）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所. 02 46 2 10 1 (0) 3 CC P X C ， 11 46 2 10 8 (1) 15 CC P X C ， 20 46 2 10 2 (2) 15 CC P X C . X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 3 8 15 2 15 1824 ()012 315155 E X . 11 分 （）答案不唯一 答案示例 1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： 2233 33 0.10.90.10
19、 028CC+ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化 答案示例 2：无法确定理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： 2233 33 0.10.90.10 028CC+ 丰台区高三数学二模考试试题 第 9 页/ 共 13 页 虽然概率非常小，但是也可能发生， 所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化 14 分 19.（本小题共（本小题共 15 分）分） 解：解： （）因为 1 ( ) ex x f x ，定义域 R， 所以( ) ex x fx . 令( )0fx ，解得0x . 随x的变化，( )fx和( )
20、f x的情况如下： 由表可知函数( )f x在0x 时取得极大值(0)1f， 无极小值. 5 分 （）令 22 111 ( )( )11(0) 2e2 x x g xf xxxx ， 1e1 ( )=(1)() eee x xxx x g xxxx . 由0x 得e10 x ， 于是( )0g x ， 故函数( )g x是0),+上的增函数. 所以当(0)x,+时，( )(0)0g xg，即 2 1 ( )1 2 f xx . 9 分 （）当 1 2 a 时，由（）知 22 1 ( )1 2 1f xxax ，满足题意. 令 22 1 ( )( )11 ex x h xf xaxax ， 1
21、( )2(2 ) ee xx x xaxxah . 当 1 0 2 a时，若 1 (0 ln() 2 x a ，( )0h x ， 丰台区高三数学二模考试试题 第 10 页/ 共 13 页 则( )h x在 1 0 ln() 2a ，上是减函数. 所以 1 (0 ln() 2 x a ，时，( )(0)0h xh，不合题意. 当0a 时( )0h x ，则( )h x在(0),+上是减函数， 所以( )(0)0h xh，不合题意. 综上所述， 实数a的取值范围 1 ( 2 ,. 15 分 20 （本小题共 （本小题共 14 分）分） 解：解： （）因为椭圆 22 22 :1 xy C ab 经
22、过点(1 0)A ,， 所以 2 1a 解得 1a . 由AOB的面积为 2 4 可知， 12 24 ab ， 解得 2 2 b ， 所以椭圆C的方程为 22 21xy 3 分 （) 设直线l的方程为1ykx， 1122 ()()M x yN xy, 联立 22 21 1 xy ykx ，消y整理可得： 22 (21)410kxkx 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以 22 164(21)0kk ，解得 2 1 2 k 因为0k ，所以k的取值范围是 2 () 2 , 7 分 （）因为(1 0)(0 1)AP, , 1122 ()()M x yN xy, 所以直线AM的方程是： 1 1 (
23、1) 1 y yx x . 令0x ，解得 1 1 1 y y x . 丰台区高三数学二模考试试题 第 11 页/ 共 13 页 所以点S的坐标为 1 1 (0) 1 y x ,. 同理可得：点T的坐标为 2 2 (0) 1 y x ,. 所以 1 1 (01) 1 y PS x , 2 2 (01) 1 y PT x ,(01)PO ,. 由,POPTPOPS 可得： 12 12 11 11 yy xx ,， 所以 11 11 1 11 11 ykx xx 同理 2 2 1 1 1 kx x 由（)得 1212 22 41 2121 k xxx x kk ,， 所以 12 12 11 2 1
24、1 kxkx xx 1212 1212 2(1)()2 2 1 kx xkxx x xxx 22 22 22 2 2 14 2(1)()2 2121 2 14 ()1 2121 2442(21) 2 1421 (1) 2 (1) 1 2 1 k kk kk k kk kkkk kk k k k 所以的范围是( 2 2), 14 分 21 （本小题共（本小题共 14 分）分） 解解: （）由21am，2bn得2)1abmn（是奇数， 当2 10091a ，20=0b 时，2019ab， 丰台区高三数学二模考试试题 第 12 页/ 共 13 页 所以2019AB，2020AB. 4 分 （）()首
25、先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组 012ik （ ， ， ， ， ， ， ）LL， 其中0 10 1 i ik kN,;, , ,L， 使得 121 0121 +2 +2 +2 +2+20 10 1 iik iiki pik k N,;, ,，LLL， 由于 121121 0121 0+2 +2 +2 +2+22 +2 +2 +221 iikikk iik LLLL 这种形式的自然数p至多有 1 2k个，且最大数不超过 1 21 k . 由0 10 1 i ik kN,;, , ,L，每个 i 都有两种可能， 所以这种形式的自然数p共有 1 12 2 222k k L 1444424
26、444 3 个 个结果. 下证 121 0121 +2 +2 +2 +2+2 iik iik p LL 121 0121 +2 +2 +2 +2+2 iik iik LL 其中0 10 10 1 ii ik k N,；,；, ,L，则 ii 假设存在 ii 中，取i最大数为j，则 121121 01210121 (+2 +2 +2 +2+2 )+2 +2 +2 +2+2() iikiik iikiik LLLL 1 0011 11 001111 11 001111 11 = ()+() 2 +() 2 () 2()+() 2 +() 2 () 2(+2 +2) 2(122)1 j jj ij jjjj jj jjjj jj L L L L 所以01 不可能. 综上，任意正整数p可唯一表示为 121 0121 +2 +2 +2 +2+2 iik iik p LL 213 0213 (+2)(2 +2 +)LL 显然 213 0213 (+2)(2 +2 +)AB,LL， 满足 * ()ABN，所以集合,A B互为“完美加法补集”. 11 分 （） * 21 k n nkN,. 14 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分） 丰台区高三数学二模考试试题 第 13 页/ 共 13 页
