1、1.1.3分类计数原理分类计数原理与分步计数原理（二）分步计数原理（二）一、复习回顾一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?练习练习1.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条路可通条路可通;从甲地到丁从甲地到丁地有地有4条路可通条路可通,从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有由甲到丙有两类不
2、同的走法两类不同的走法,第一类第一类,由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步,所以所以 m1=23=6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类,由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步,所以所以 m2=42=8 种不同的走法种不同的走法;所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的种不同的走法。走法。练习练习2：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数
3、不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？729366 5 4120 36216例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?一、排数字问题一、排数字问题1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法
4、有_种种练习练习:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?例例3、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一
5、种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？三、染色问题三、染色问题:解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 2 11=6 种。种。变式、如图变式、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,
6、允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案种数它们的涂色方案种数分别是分别是 0、4322=48、5433=180种等。种等。思考：思考：2、有有6种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在要求在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中不区域中不用同一种颜色用同一种颜色.(1)为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)为为(2)着色时共有多少种
7、不同方法？着色时共有多少种不同方法？(1)(2)3、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？复使用，那么共有多少种涂色方法？四、综合问题四、综合问题:例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以可以从从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的这五个数字中任取两个不同的数字数字,则方程所表示的不同的直线共有多则方程所表示的不同的直线共有多少条少条?解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以,第一类第一类,m1=12=2 条条 第二类第二类,m2=12=2 条条 第三类第三类,m3=12=2 条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最最近路线共有近路线共有 N=2+2+2=6 条。条。练习练习.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？线共有多少条？
