1、目的要求目的要求明确明确几何组成分析的目的。几何组成分析的目的。领会领会几何不变体系、几何可变系、几何不变体系、几何可变系、瞬变体系、刚片、联系、自瞬变体系、刚片、联系、自 由度等概念。由度等概念。掌握掌握几何不变体系的简单组成规则。几何不变体系的简单组成规则。能够能够灵活运用三个规则对灵活运用三个规则对 平面体系进行几何组成分析。平面体系进行几何组成分析。掌握掌握二元体的概念。二元体的概念。学习内容学习内容几何不变体系、几何可变体系和瞬变体系的概念；自由度、刚片、联系的概念；无多联系的几何不变体系的组成规则；结构的几何组成与静定性的关系。在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：在忽略材料应变
2、的前提下，体系可分为两类：第第2章章 几何组成分析几何组成分析2-1 概述概述(1)几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变体系。体系。如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。(2)几何可变系：即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或位置会改变。对体系进行几何组成分析，其目的是：对体系进行几何组成分析，其目的是：(1)判定某一体系是否几
3、何不变，从而决定能否作为工判定某一体系是否几何不变，从而决定能否作为工程结构。程结构。(2)研究几何不变体系的组成规律，以保证设计的结构研究几何不变体系的组成规律，以保证设计的结构能够承受任意荷载而维持平衡。能够承受任意荷载而维持平衡。(3)区分静定结构及超静定结构，以便确定相应的计算区分静定结构及超静定结构，以便确定相应的计算方法进行结构的内力计算。方法进行结构的内力计算。本章仅讨论平面体系的几何组成分析。本章仅讨论平面体系的几何组成分析。2.1.2 体系几何组成分析的目的体系几何组成分析的目的 2.2.1 自由度：自由度：体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参体系的自由度是指体系
4、运动时，可以独立改变的几何参数的数目；数的数目；即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标，在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标，如图如图2-3（a），），所以，所以，平面内一个自由点有两个自由度。平面内一个自由点有两个自由度。在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如图图2-3（b），），所以所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。平面内一个自由刚片有三个自由度。2-1 体系的计算自由度体系的计算自由度加链杆前体系有3个自由度加链杆后确定体系的位置，需
5、要两个独立的坐标，新体系有2个自由度。一根链杆可以使体系减少一个自由度，相当于一个联系。2.2.2 联系：能减少体系自由度的装置称为联系。能减少体系自由度的装置称为联系。多余联系：不能减少体系自由度的联系称为多余联系。不能减少体系自由度的联系称为多余联系。（1）链杆）链杆：一根链杆可以使体系减少一个自由度，相当于一个联系。一根链杆可以使体系减少一个自由度，相当于一个联系。12加单铰前体系有六个自由度xy加单铰后确定体系的位置，需要四个独立的坐标，新体系有四个自由度。一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个联系一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个联系（2）单铰：）单铰：联结两个刚片的铰称为单铰。
6、一个单铰可使体系减少两个自由度，相当于两个联系。虚铰的概念：虚铰的概念：联结两刚片的两联结两刚片的两根延长线交于一点的链杆相根延长线交于一点的链杆相当于一个单铰，称虚铰。当于一个单铰，称虚铰。图2-4如图如图2-4，刚片和地基用两根链杆联结，刚片将绕，刚片和地基用两根链杆联结，刚片将绕O点发生相对转动，点发生相对转动，O为虚铰。转为虚铰。转动后两链杆又形成新的交点，故交点动后两链杆又形成新的交点，故交点O称为此瞬时的相对转动中心，简称称为此瞬时的相对转动中心，简称为瞬心。交点为瞬心。交点O的作用与一个单铰的作用相同，但与前述的单铰（位置固定不变）又的作用与一个单铰的作用相同，但与前述的单铰（位
7、置固定不变）又有所不同，所以称为虚铰。有所不同，所以称为虚铰。(3)复铰联结三个或三个以上刚片的铰联结三个或三个以上刚片的铰刚片A和B用单铰联结联结前有六个自由度，连接后有四个自由度再将刚片C联结在刚片于A上。体系有五个自由度，使体系减少了四个自由度。所以联结三个刚片的复铰相当于两个单铰。联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个联系。2.2.3 体系的计算自由度体系的计算自由度 一个平面体系通常都是由若干刚片加入一一个平面体系通常都是由若干刚片加入一 些联系组成。按照各刚片都是自由的些联系组成。按照各刚片都是自由的情况，情况，计算出所有刚片自由度总数，计算出所有刚片自由度总
8、数，再计算出所加入的约束总数，再计算出所加入的约束总数，将两者的差值称将两者的差值称为体系的计算自由度，用为体系的计算自由度，用W表示。即：表示。即：W=（各自由刚片自由度总数）（全部联系总数）（各自由刚片自由度总数）（全部联系总数）如刚片数如刚片数m，单铰数，单铰数n，支承链杆数，支承链杆数r，则，则 W=3m（2n+r）（21）应用时注意注意：（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。图2-5（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆，）铰支座、定向支座相当于两个链杆，固定端相当于三个链杆。固定端相当于三个链杆。（3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自）对于铰结链杆
9、体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自由度的公式为：由度的公式为：W=2jbr （22）式中：j为结点数；b为体系内部链杆数；r为支承链杆数。W是计算自由度，不一定代表体系的实际自由度，只说是计算自由度，不一定代表体系的实际自由度，只说明了体系必须的约束数是否足够。明了体系必须的约束数是否足够。当当W0时，说明体系缺少足够的联系，一定是几何可变体系。时，说明体系缺少足够的联系，一定是几何可变体系。当当W=0时，说明实际联系数等于体系几何不变必须的联系数，需时，说明实际联系数等于体系几何不变必须的联系数，需要进行几何组成分析。要进行几何组成分析。当当W0时，说明体系有多余联系
10、，需要进行几何组成分析。时，说明体系有多余联系，需要进行几何组成分析。所以：所以：W0是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。实际自由度实际自由度=各刚片自由度总数各刚片自由度总数-非多余联系数非多余联系数由此可见：当体系上没有多余联系时，计算自由度就是体系的当体系上没有多余联系时，计算自由度就是体系的 实际自由度。实际自由度。m=7，n=9，r=3W=3m2nr =37293 =0计算体系的自由度ABCDEFGABCDEF j=6；b=9；r=3。计算图示体系的自由度W=2jbr=2693=0 一个三角形的三个边给定以后，三角形的形状是唯一的。故铰
11、结三角形一个三角形的三个边给定以后，三角形的形状是唯一的。故铰结三角形是一个几何形状不变的体系。将铰结三角形中的每个链杆视为刚片，可得到是一个几何形状不变的体系。将铰结三角形中的每个链杆视为刚片，可得到由三个刚片组成几何不变体系的组成规则。由三个刚片组成几何不变体系的组成规则。2.3.1规则一、（三刚片规则）三刚片规则 三刚片用不在一条直线上的三个铰两两铰联，组成 的体系几何不变，无多余联系。证明：如图26，假定刚片不动，只能绕A转动，其上C点作圆弧1运动。刚片只能绕B转动，其上C点作圆弧2运动。铰C不可能同时沿两个方向的圆弧运动，所以C只能在两个圆弧交点固定不动，因此各刚片之间不可能发生相对
12、转动，体系几何不变。如图2-7所示，三刚片用不共线的三个铰两两铰链，符合三刚片规则，体系几何不变。2-3 几何不变体系的简单组成规则几何不变体系的简单组成规则几何可变体系又可分为两种：几何可变体系又可分为两种：几何常变体系：几何常变体系：在力作用下可发生较大位移。瞬变体系：瞬变体系：原为几何可变体系，经微小位移后，即转化为几何不变体系，称为瞬变体系瞬变体系。如图2-8。三刚片规则中：强调了三个铰不共线三个铰不共线，因为共线情况属于几何可变体系一类。分析瞬变体系的内力分析瞬变体系的内力：如图2-9。02Nsin=P，N=P/(2sin 瞬变体系 ，若P=0，N为不定值；)若P0，N=所以瞬变体系
13、在很小荷载作用下，也会产生巨大的内所以瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生巨大的内力，导致体系破坏。力，导致体系破坏。由于瞬变体系在荷载下会产生很大的内力，故几何瞬变由于瞬变体系在荷载下会产生很大的内力，故几何瞬变体系不能用于工程结构。接近于瞬变体系也应避免采用。体系不能用于工程结构。接近于瞬变体系也应避免采用。图示为一无多余联系的几何不变体系将杆AC、BC均看成刚片，当杆通过铰 瞬变体系规则二规则二 1 1、两刚片用一铰及、两刚片用一铰及不通过该铰的不通过该铰的一根链一根链杆相联组成的体系几何不变，无多余杆相联组成的体系几何不变，无多余联系。联系。CAB 就成为两刚片组成的无多联系几何不变体系
14、 A a当杆通过铰（2）两刚片用不完全平行，也不完全交于一点的三根链杆相联结，）两刚片用不完全平行，也不完全交于一点的三根链杆相联结，组成的体系几何不变，无多余联系。组成的体系几何不变，无多余联系。（1）两刚片用一个铰和不通过该铰的一根链杆相联，组成的体系几何不变，且无多余联系。如图2-10，实际情况与三刚片规则相同，有的问题用两刚片规则方便，所以列为一则2.3.2规则二、（两刚片规则）规则二、（两刚片规则）当三链杆交于一点时：图当三链杆交于一点时：图211（a）瞬变）瞬变当三链杆全平行时：当三链杆全平行时：图图211（b）（）（c）(d)瞬变图（b）图（c）图（d）图（a）瞬变常变瞬变图2-
15、11 二元体的概念：二元体的概念：二元体二元体两根不在一条直线上的链杆联结一个新结点的构造称为二元体。两根不在一条直线上的链杆联结一个新结点的构造称为二元体。2.3.3 规则三规则三、（二元体规则）在一个几何不变体系上增加（或者拆除）二元体仍为几何不变体系在一个几何不变体系上增加（或者拆除）二元体仍为几何不变体系 ABC将BC杆视为刚片,该体系就成为一刚片与一点联成的几何不变体系。规则三、在一个刚片上增加一个二元体，规则三、在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。仍为几何不变体系。A12两根共线的链杆联一点 瞬变体系 两根不共线的链杆联结一个新结点的构造称为二元体。在一体系上增加（或拆在
16、一体系上增加（或拆除）二元体不改变原体系的除）二元体不改变原体系的几何构造性质几何构造性质 即：在几何不变体系上增加（或即：在几何不变体系上增加（或拆除）二元体，得到的体系仍为几何不拆除）二元体，得到的体系仍为几何不变体系；在几何可变体系上增加（或拆变体系；在几何可变体系上增加（或拆除）二元体，得到的体系仍为几何可变除）二元体，得到的体系仍为几何可变体系。体系。实质与三刚片规则相同，但是，分析桁实质与三刚片规则相同，但是，分析桁架用二元体规则方便。架用二元体规则方便。对体系进行几何组成分析（1）用 增加二元体的方法分析 从一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体（2）用拆除二元体的方法分析即：在
17、几何不变体系上增加二元体，得到的体系仍为几何不变体系；从一个体系上拆除二元体后，所剩下的体系若是几何不变体系，则原来的体系必定也是几何不变体系；若剩下的体系是几何可变体系，则原体系也必定是几何可变体系。即：在几何不变体系上拆除二元体，得到的体系仍为几何不变体系；从原体系上依次拆除二元体 结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。结论：结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。以上三条简单组成规则，实质上是一条规则以上三条简单组成规则，实质上是一条规则三刚片规则。符合该三条规则的三刚片规则
18、。符合该三条规则的几何不变体系，几何不变体系，W=0，无多余联系。，无多余联系。（a）（b）（c）（d）（e）规则连接对象必要联系数对联系的布置要求三刚片规则三刚片六个三铰(单或虚)不共线两刚片规则两刚片三个链杆不通过铰两刚片规则三链杆不平行也不交于一点二元体规则一点一刚片两个两链杆不共线三刚片规则：三刚片用三个单铰两两铰联，三铰不共线，体系几何不变；三三刚片规则：三刚片用三个单铰两两铰联，三铰不共线，体系几何不变；三铰共线，体系为瞬变：虚铰在无穷处，如何判定呢？铰共线，体系为瞬变：虚铰在无穷处，如何判定呢？（根据（根据摄影几何摄影几何无穷远元素的性质）无穷远元素的性质）一组平行直线相交于同一
19、个无穷远点，方向不同的平行直线则相交于不同的无穷远点，一组平行直线相交于同一个无穷远点，方向不同的平行直线则相交于不同的无穷远点，平面上所有无穷远点均在同一条直线上，这条直线称为无穷远直线，而一切有限远点平面上所有无穷远点均在同一条直线上，这条直线称为无穷远直线，而一切有限远点均不在此直线上。均不在此直线上。2-4 瞬变体系瞬变体系（3）三铰均无穷远）三铰均无穷远（根据（根据摄影几何摄影几何无穷远元素的性质）无穷远元素的性质）一组平行直线相交于同一个无穷远点，一组平行直线相交于同一个无穷远点，方向不同的平行直线则相交于不同的无穷远点，方向不同的平行直线则相交于不同的无穷远点，平面上所有无穷远点
20、均在同一条直线上，这条直线称为无穷远直线，而一切有平面上所有无穷远点均在同一条直线上，这条直线称为无穷远直线，而一切有限远点均不在此直线上。限远点均不在此直线上。例如图例如图2-13，当各对平行链杆不等长时，发生微小位移后不再平行，所以为瞬，当各对平行链杆不等长时，发生微小位移后不再平行，所以为瞬变体系。变体系。图2-13 特殊情况：特殊情况：图图2-14（a）各对平行链杆等长，发生微小）各对平行链杆等长，发生微小位移后仍然平行，是常变体系。位移后仍然平行，是常变体系。图图2-14（b）各对平行链杆等长，发生微小位移后，异）各对平行链杆等长，发生微小位移后，异侧联出的一对平行链杆不再平行，为瞬
21、变体系。侧联出的一对平行链杆不再平行，为瞬变体系。图2-14 依据：几何组成分析的三个规则。依据：几何组成分析的三个规则。方法：可先计算自由度方法：可先计算自由度W。W0(或体系本身或体系本身W3)肯定是常变体系。肯定是常变体系。W0(或体系本身或体系本身W3)需要进行分析。需要进行分析。也可不计算也可不计算W，直接进行分析。要理解规则，灵活应用。下面谈几种常见的分，直接进行分析。要理解规则，灵活应用。下面谈几种常见的分析途径。析途径。（1）去掉二元体，将体系简单化，然后再分析。）去掉二元体，将体系简单化，然后再分析。（2）如体系与基础用三个链杆相联并满足两刚片规则，可去掉基础及链杆，只分）如
22、体系与基础用三个链杆相联并满足两刚片规则，可去掉基础及链杆，只分 析体系内部即可。析体系内部即可。（3）当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片之间用链杆形成的瞬）当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片之间用链杆形成的瞬 铰相连，而不用单铰相连。铰相连，而不用单铰相连。（4）从一个基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两）从一个基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两 个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。（5）由基础开始逐件组装。）由基础开始逐件组装。（6）刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式
23、）刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的的前提下，可以改变它的 大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替。大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替。（7）可先把直接观查出的几何不变部分作为刚片，再以此刚片为基础，依次分析）可先把直接观查出的几何不变部分作为刚片，再以此刚片为基础，依次分析 其余各部分，判定是否几何不变，得出结论；也可拆除二元体使体系简化，其余各部分，判定是否几何不变，得出结论；也可拆除二元体使体系简化，再分析剩余部分。再分析剩余部分。问题：如何正确地、灵活地运用三个规则分析各种各样的体系。通过例题、习题掌问题
24、：如何正确地、灵活地运用三个规则分析各种各样的体系。通过例题、习题掌握方法。握方法。2-5 机动分析示例机动分析示例ABCDEFW=2J-（b+r)=26-(9+3)=0结论：体系几何不变，无多余联系。例例1对体系进行几何组成分析J=6，b=9,r=3几何组成分析示例：几何组成分析示例：体系的几何组成与静力特性的关系 体系的分类几何组成特性静力特性几何不变体系无多余联系的几何不变体系联系数目恰好合理属于静定结构，用平衡条件就可以求出全部反力和内力。有多余联系的几何不变体系约束多余，布置合理属于超静定结构，仅有平衡条件求不出全部反力和内力。几何可变体系几何瞬变体系约束数目够布置不合理内力为无穷大或不确定几何常变体系缺少必要联系不存在静力解答2-5 几何构造与静力特性的关系几何构造与静力特性的关系
