1、 第四章第四章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数的定义多元函数的定义定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数222,(6 15.)zRxyRxOy 函数的图形是以原点为中心为半径,在平面上的半个球面 见图例6图6-15 例6示意图yxzRO（1）邻域）邻域),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2 2）区域）区域概念概念多元函数的极限多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0
2、PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例1 1 求极限求极限 00sin()1lim(sin).xyxyyxx 解解00sin()limxyxyx00sin()lim1 00,xyxyyxy001limsin0 xyyx 0.原原式式无穷小乘有界量仍是无穷小无穷小乘有界量仍是无穷小例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 定义定义 设二元函数设二元函数()f P定义在
3、定义在 D 上上,00lim()()PPf Pf P 0()f PP在在点点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,0P此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 二元函数二元函数连续连续.连续连续,多元函数的连续性多元函数的连续性偏导数偏导数1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy(1,2)例例1 求求 在点在点处的偏导数处的
4、偏导数.yzx)1,0(xx例例2 2 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解 xz,1 yyx yzln.yxx2 2、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx13
5、323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3设设求求例例4.求函数求函数2xyze 解解:zx 22zx zy 2 zx y 2xye 22xye 2xye 22xye 的二阶偏导数的二阶偏导数.2 zy x 22xye 22zy 24xye 全微分概念全微分概念例例5.计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze d xe d y例例6.计算函数计算函数的全微分的全微分.sin2yzyuxezy ,x yyex yxe2(2)ed xd y解解:du 1(c
6、os)d22yzyzey 1 dxdyzyez 复合函数求导法则（链式法则）复合函数求导法则（链式法则）以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzzvuttzuvyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例9.设设 sin,zuvt.dzdtztvuttdzdttv e(cossin)costetttz duu dt z dvvdt zt 求全导数求全导数,tue cos,vt 解解:sinut cost 0),()1(yxF隐函数的求导公式
7、隐函数的求导公式隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()2(zyxF解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 2,yFy,2yzFzyyFz 多元函数的极值及其求法 二元函数极值的概念二元函数极值的概念 条件极值条件极值 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法1、二元函数的极值、二元函数的极值定义定义1 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义,对于该邻域内异于对于该邻域内异于),(00yx的任意一点的任意一点),(yx如果如果),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有有极大值极大值
8、;如果如果),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有有极小值极小值;极大值、极大值、极小值统称为极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点使函数取得极值的点称为称为极值点极值点.2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理1(必要条件必要条件)设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数具有偏导数,且在点且在点),(00yx处有极值处有极值,的偏导数必然为零的偏导数必然为零,即即,0),(00 yxfx.0),(00 yxfy则它在该点则它在该点与一元函数的情形类似与一元函数的情形类似,对于多元函数对于多元函数,一阶偏导数同时为零的点称为函数
9、的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点.凡是能使凡是能使可偏导的极值点一定是驻点可偏导的极值点一定是驻点(定理定理1），），但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点!注意：注意：时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数在在点点的的00(,)(,)zf x yxy 0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBf
10、xyCfxy0D 0D 0D （黑黑塞塞行行列列式式），2ABDACBBC条件极值条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制下面我们要介绍求解一般条件极值问题的下面我们要介绍求解一般条件极值问题的拉格拉格朗日乘子法朗日乘子法.拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法问题问题:求目标函数求目标函数),(zyxfu 在所给条件在所给条件0),(zyxG下的极值下的极值.下面介绍下面介绍拉格朗日函数拉格朗日函数即构即构造造),(zyxL),(),(zyxGzyxf 将条件极值问题化为上述拉格朗日函数将条件极值问题化为上述拉格朗日函数拉格朗日乘数法来求解拉格朗日乘数法来求解,的无条件极值问题的无条件极值问题.再通过求解拉格朗日函数的再通过求解拉格朗日函数的无条件极值问题求得原问题的解无条件极值问题求得原问题的解.的方法的方法,就是就是拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法.这种求条件极值这种求条件极值解解2233230200120 xyzLx y zLx yzLx yLxyz 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为
