1、 高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市南京市 2020 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数数 学学 注意事项注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两 部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的 答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在
2、 答题答题卡卡的的指定位置指定位置 上）上） 1已知集合 Ax|2x4，Bx|1x3，则 AB 2若 z a 1ii (i 是虚数单位)是实数，则实数 a 的值为 3某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽 取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 5将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 6已知函数 f(x)2sin(x) (其中 0， 2 2)的部分图象如图所示，则 f( 2)的值为 7已知数列an为等比数列若 a12，且 a1，a2，a32 成等差数列，则an的
3、前 n 项和 为 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F若以 F 为 圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB2b，则该双曲线的 离心率为 9若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则三棱锥 AB1CD1的体积为 （第 4 题图） S0 For i From 1 To 4 SSi End For Print S O x y 2 2 （第 6 题图） 3 2 3 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 10 已知函数 f(x) x2， x0， f(x)，x0，g(x)f(x2) 若 g(x1)1， 则 x
4、的取值范围为 11在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2y22 上两个动点，且OA OB若 A， B 两点到直线 l：3x4y100 的距离分别为 d1，d2，则 d1d2的最大值为 12若对任意 ae，) (e 为自然对数的底数) ，不等式 xeax b 对任意 xR 恒成立， 则实数 b 的取值范围为 13已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足AP ABAC，且 231，延 长 AP 交边 BC 于点 D若 BD2DC，则PA PB 的值为 14 在ABC 中， A 3， D 是 BC 的中点 若 AD 2 2 BC， 则 sinBsinC 的最大值为 二二
5、、 解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题小题， 计计 90 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的请把答案写在答题卡的指定区域指定区域 内内 15(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD， E，F 分别为 AD，PB 的中点 求证：（1）EF平面 PCD； （2）平面 PAB平面 PCD 16(本小题满分 14 分) 已知向量 m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，函数 f(x)m n1 2 （1）若 f(x 2)1，x
6、(0，)，求 tan(x 4)的值； （2）若 f() 1 10， ( 2， 3 4 )，sin7 2 10 ，(0， 2)，求 2 的值 F E P B D C A (第 15 题图) 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 17(本小题满分 14 分) 如图，港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有一条直线航道 OD，航道和 正东方向之间有一片以 B 为圆心，半径 8 5海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触 礁危险） ， 其中 OB20 13海里， tanAOB2 3， cosAOD 5 5 现一艘科考船以 10 5 海里/小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过
7、2 个小时后，一艘快艇以 50 海里/小 时的速度准备从港口 A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇 （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等 x 小时出发，求 x 的最小值 18(本小题满分 16 分) 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)经过点 (2， 0)和 (1， 3 2 )， 椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 的左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直
8、线 AB 的斜率 (第 18 题图) A O M x y B (第 17 题图) A O D 东 北 B 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 19(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) ex x2axa (aR) ，其中 e 为自然对数的底数 （1）若 a1，求函数 f(x)的单调减区间； （2）若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(2)f(a)，求 a 的取值范围； （3）证明：对任意 a(2，4)，曲线 yf(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线 经过坐标原点 20(本小题满分 16 分) 若数列an满足 n2，nN*时，an0，则称数列 an an1(nN*)为an的“
9、L 数列” （1）若 a11，且an的“L 数列”为 1 2n，求数列an的通项公式； （2）若 annk3(k0)，且an的“L 数列”为递增数列，求 k 的取值范围； （3）若 an1pn 1，其中 p1，记a n的“L 数列”的前 n 项和为 Sn，试判断是否存 在等差数列cn，对任意 nN*，都有 cnSncn1成立，并证明你的结论 高三数学试题第 5 页（共 4 页） 南京市南京市 2020 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学附加题数学附加题 注意事项注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓
10、名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题 的答案写在答题 卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 21【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷答卷 卡指定区域内卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 已知矩阵 A 1 1 a 0 ，aR若点 P(1，1)在矩阵 A 的变换下得到点 P(0，2) （1）求矩阵 A； （2）求点 Q(0，3)经过矩阵 A 的 2 次变换后对应点 Q
11、的坐标 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x1cos， ysin ( 为参数)，直线 l 的参数 方程为 x 3t， y1t (t 为参数)，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 C选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知 a，b 为非负实数，求证：a3b3 ab(a2b2) 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答解作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1 （1）求 AA1的长 （2）试判断在侧棱 BB1上是否存在点 P，使得直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面角 BA1CA 的大小相等，并说明理由 23(本小题满分 10 分) 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽奖 者每次有放回的从口袋中随机取出一个球， 最多取球 2n1(nN*)次 若取出白球的累计 次数达到 n 1 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为 Pn （1）求 P1； （2）证
13、明：Pn1Pn (第 22 题图) A1 C A B B1 C1 P 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 南京市南京市 20202020 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一
14、步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）答题纸的指定位置上） 1x|1x4 22 360 410 52 3 6 3 7 2n12 8 6 2 9 8 3 10 2， 4 11 6 12 2，) 139 4 14 3 8 二、 解答题 （二、 解答题 （本大题共本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算
15、步骤， 请把答案写请把答案写在答题纸的指定区域内）在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分本小题满分 14 分分) 证明：(1)取 PC 中点 G，连接 DG、FG 在PBC 中，因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，所以 GFBC，GF1 2BC 因为底面 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC， 2 分 所以 GFDE，GFDE，所以四边形 DEFG 为平行四边形， 所以 EFDG 4 分 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD 6 分 高三数学试题第 8 页（共 4 页） B E A C O D x y (2)因为底
16、面 ABCD 为矩形，所以 CDAD 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABCD， 所以 CD平面 PAD 10 分 因为 PA平面 PAD，所以 CDPA 12 分 又因为 PAPD，PD平面 PCD，CD平面 PCD，PDCDD，所以 PA平面 PCD 因为 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD 14 分 16(本小题满分本小题满分 14 分分) 解：(1) 因为向量 m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)， 所以 f(x)m n1 2cos 2xsin2x1 2cos2x 1 2 2 分 因为 f(x 2)1，所以 cosx
17、 1 21，即 cosx 1 2 又因为 x(0，) ，所以 x 3， 4 分 所以 tan(x 4)tan( 3 4) tan 3 tan 4 1tan 3tan 4 2 3 6 分 (2)若 f() 1 10，则 cos2 1 2 1 10，即 cos2 3 5 因为 ( 2， 3 4 )，所以 2(，3 2 )，所以 sin2 1cos224 5 8 分 因为 sin7 2 10 ，(0， 2)，所以 cos 1sin2 2 10， 10 分 所以 cos(2)cos2cossin2sin(3 5) 2 10( 4 5) 7 2 10 2 2 12 分 又因为 2(，3 2 )，(0，
18、2)，所以 2(，2)， 所以 2 的值为7 4 14 分 17(本小题满分本小题满分 14 分分) 解：如图，以 O 为原点，正东方向为 x 轴，正北方向为 y 轴，建立直角坐标系 xOy 因为 OB20 13，tanAOB2 3，OA100， 所以点 B(60，40)，且 A(100，0) 2 分 (1)设快艇立即出发经过 t 小时后两船相遇于点 C， 则 OC10 5(t2)，AC50t 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 因为 OA100，cosAOD 5 5 ， 所以 AC2OA2OC22OAOCcosAOD， 即(50t)2100210 5(t2)2210010 5(t2) 5
19、5 化得 t24，解得 t12，t22（舍去） ， 4 分 所以 OC40 5 因为 cosAOD 5 5 ，所以 sinAOD2 5 5 ，所以 C(40，80)， 所以直线 AC 的方程为 y4 3(x100)，即 4x3y4000 6 分 因为圆心 B 到直线 AC 的距离 d|4 603 40400| 4232 8，而圆 B 的半径 r8 5， 所以 dr，此时直线 AC 与圆 B 相交，所以快艇有触礁的危险 答：若快艇立即出发有触礁的危险 8 分 (2)设快艇所走的直线 AE 与圆 B 相切，且与科考船相遇于点 E 设直线 AE 的方程为 yk(x100)，即 kxy100k0 因为
20、直线 AE 与圆 B 相切，所以圆心 B 到直线 AC 的距离 d|60k40100k| 12k2 8 5， 即 2k25k20，解得 k2 或 k1 2 10 分 由（1）可知 k1 2舍去 因为 cosAOD 5 5 ，所以 tanAOD2，所以直线 OD 的方程为 y2x 由 y2x， y2(x100)，解得 x50， y100，所以 E(50，100)， 所以 AE50 5，OE50 5， 12 分 此时两船的时间差为50 5 10 5 50 5 50 5 5，所以 x5 523 5 答：x 的最小值为(3 5)小时 14 分 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 解：(1)因为椭
21、圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(2，0)和 (1， 3 2 )， 所以 a2， 1 a2 3 4b21，解得 b 21， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21 2 分 (2)因为 B 为左顶点，所以 B (2，0) 高三数学试题第 10 页（共 4 页） 因为四边形 AMBO 为平行四边形，所以 AMBO，且 AMBO2 4 分 设点 M(x0，y0)，则 A(x02，y0) 因为点 M，A 在椭圆 C 上，所以 x02 4 y021， (x02)2 4 y021， 解得 x01， y0 3 2 ， 所以 M(1， 3 2 ) 6 分 (3) 因为直线 AB 的斜率存在， 所以
22、设直线 AB 的方程为 ykxm， A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 ykxm， x2 4y 21，消去 y，得(4k 21)x28kmx4m240， 则有 x1x28km 14k2，x1x2 4m24 14k2 8 分 因为平行四边形 AMBO，所以OM OAOB(x 1x2，y1y2) 因为 x1x28km 14k2，所以 y1y2k(x1x2)2mk 8km 14k22m 2m 14k2， 所以 M(8km 14k2， 2m 14k2) 10 分 因为点 M 在椭圆 C 上，所以将点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程， 化得 4m24k21 12 分 因为 A，M，B，O 四点
23、共圆，所以平行四边形 AMBO 是矩形，且 OAOB， 所以OA OB x 1x2y1y20 因为 y1y2(kx1m)(kx1m)k2x1x2km(x1x2)m2m 24 k2 14k2 ， 所以 x1x2y1y24m 24 14k2 m 24k2 14k2 0，化得 5m24k24 14 分 由解得 k211 4 ，m23，此时0，因此 k 11 2 所以所求直线 AB 的斜率为 11 2 16 分 19 (本小题满分本小题满分 16 分分) 解：(1)当 a1 时，f(x) ex x2x1， 所以函数 f(x)的定义域为 R，f(x)e x(x1)(x2) (x2x1)2 令 f(x)0
24、，解得 1x2， 所以函数 f(x)的单调减区间为(1，2) 2 分 高三数学试题第 11 页（共 4 页） (2)由函数 f(x)的定义域为 R，得 x2axa0 恒成立， 所以 a24a0，解得 0a4 4 分 方方法法 1 由 f(x) ex x2axa，得 f(x) ex(xa)(x2) (x2axa)2 当 a2 时，f(2)f(a)，不符题意 当 0a2 时， 因为当 ax2 时，f (x)0，所以 f(x)在(a，2)上单调递减， 所以 f(a)f(2)，不符题意 6 分 当 2a4 时， 因为当 2xa 时，f (x)0，所以 f(x)在(2，a)上单调递减， 所以 f(a)f
25、(2)，满足题意 综上，a 的取值范围为(2，4) 8 分 方方法法 2 由 f(2)f(a)，得 e2 4a ea a 因为 0a4，所以不等式可化为 e2e a a(4a) 设函数 g(x)e x x (4x)e2， 0x4 6 分 因为 g(x)ex (x2)2 x2 0 恒成立，所以 g(x)在(0，4)上单调递减 又因为 g(2)0，所以 g(x)0 的解集为(2，4) 所以，a 的取值范围为(2，4) 8 分 (3)证明：设切点为(x0，f(x0)，则 f(x0)e x0(x 02)(x0a) (x02ax0a)2 ， 所以切线方程为 y e x0 x02ax0a e x0(x 0
26、2)(x0a) (x02ax0a)2 (xx0) 由 0 e x0 x02ax0a e x0(x 02)(x0a) (x02ax0a)2 (0x0)， 化简得 x03(a3)x023ax0a0 10 分 设 h(x)x3(a3)x23axa，a(2，4)， 则只要证明函数 h(x)有且仅有三个不同的零点 由(2)可知 a(2，4)时，函数 h(x)的定义域为 R，h(x)3x22(a3)x3a 高三数学试题第 12 页（共 4 页） 因为4(a3)236a4(a3 2) 2270 恒成立， 所以 h(x)0 有两不相等的实数根 x1和 x2，不妨 x1x2 因为 x (，x1) x1 (x1，
27、x2) x2 (x2，) h(x) 0 0 h(x) 增 极大 减 极小 增 所以函数 h(x)最多有三个零点 12 分 因为 a(2，4)，所以 h(0)a0，h(1)a20，h(2)a40，h(5)5011a 0， 所以 h(0)h(1)0，h(1)h(2)0，h(2)h(5)0 因为函数的图象不间断，所以函数 h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个 零点 综上所述，函数 h(x)有且仅有三个零点 16 分 20(本小题满分本小题满分 16 分分) 解：(1) 因为an的“L 数列”为 1 2n，所以 an an1 1 2n，nN*，即 an1 an 2n， 所以 n
28、2 时，an an an1 an1 an2 a2 a1 a12 n1 2n2 2 12(n-1)(n2)12n(n1) 2 又 a11 符合上式，所以an的通项公式为 an2 n(n1) 2 ，nN* 2 分 (2)因为 annk3(k0)，且 n2，nN*时，an0，所以 k1 方法方法 1 设 bn an an1，nN*，所以 bn nk3 (n1)k31 1 nk2 因为bn为递增数列，所以 bn1bn0 对 nN*恒成立， 即 1 nk2 1 nk10 对 nN*恒成立 4 分 因为 1 nk2 1 nk1 1 (nk2)(nk1)， 所以 1 nk2 1 nk10 等价于(nk2)(
29、nk1)0 当 0k1 时，因为 n1 时，(nk2)(nk1)0，不符合题意 6 分 当 k1 时，nk1nk20，所以(nk2)(nk1)0， 综上，k 的取值范围是(1，) 8 分 高三数学试题第 13 页（共 4 页） 方法方法 2 令 f(x)1 1 xk2，所以 f(x)在区间(，2k)和区间(2k，)上单调递增 当 0k1 时， f(1)1 1 k11，f(2)1 1 k1，所以 b2b1，不符合题意 6 分 当 k1 时， 因为 2k1，所以 f(x)在1，)上单调递增，所以bn单调递增，符合题意 综上，k 的取值范围是(1，) 8 分 (3)存在满足条件的等差数列cn，证明如
30、下： 因为 ak ak1 1pk 1 1pk 1 p 11 p 1pk ，kN*， 10 分 所以 Snn p(1 1 p) ( 1 1p 1 1p2 1 1pn 1 1 1pn) 又因为 p1，所以 11 p0，所以 n pSn n p(1 1 p) ( 1 p 1 p2 1 pn 1 1 pn)， 即n pSn n p 1 p 1( 1 p) n 14 分 因为1 p 1( 1 p) n1 p，所以 n pSn n1 p 设 cnn p，则 cn 1cnn1 p n p 1 p，且 cnSncn 1， 所以存在等差数列cn满足题意 16 分 高三数学试题第 14 页（共 4 页） 南京市南京市 20202020 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影
