1、2016年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1.已知集合，集合，则= .Read xIf Then Else End If Print f(x)（第4题）2.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19则该校高三学生共有 人.3已知i是虚数单位，且复数z12+bi，z212i，若是实数，则实数b= .4根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值 5已知m-1，0，1，n-2，2，若随机选取m，n，则直线上存在第二
2、象限的点的概率是 6已知，的夹角为，则_.7已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 8. 设为锐角，若，则 .9如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，若.则当四棱锥的体积等于时，则= .10. 在平面直角坐标系中,过点引圆的两条切线,切点分别为、,则直线过定点 .11已知等差数列的各项均为正数，=1，且成等比数列若，则= . 12若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则 . 13已知ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则的最小值为 14. 设函数，则函数在区间内的所有零点的和为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤1
3、5.（本小题满分14分）在中，三个内角分别为，已知（1）若，求证：（2）若，且，求16.（本小题满分14分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，ABDC，已知PB=PC. （1）若为的中点，求证：DN平面PBC； （2）若为的中点，求证：MNBC17.（本小题满分14分）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 km ， km（1）若 km ，求绿化区域的面积；（2）设，当
4、取何值时，园林公司的总销售金额最大. 18. (本小题满分16分) 已知是椭圆的左,右顶点，为其右焦点，在直线上任取一点（点不在x轴上），连结若半焦距，且（1）求椭圆C的方程；（2）若直线交椭圆于，记AMB、ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围19.（本小题满分16分）已知函数，（1）当时，求的单调增区间；（2）若恰有三个不同的零点（）求实数的取值范围； 求证：20.（本小题满分16分）已知数列是等比数列（1）设， 若，求实数的值；若在与之间插入个数，使得成等差数列，求这个数的和；（2）若一个数列的所有项都是另一个数列中的项，则称是的子数列.已知数列是公差不为的等差数列，,其中是某个正整
5、数，且，求证：数列是的子数列第卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A（选修：几何证明选讲）如图，内接于，过B 作的切线AB，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，且.求证：DBDC.B（选修：矩阵与变换）在平面直角坐标系中，设点P(x，3)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y4，y +2)，求C（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
6、为极轴)中，圆C的方程为.若点P的坐标为，求的值.D（选修：不等式选讲）若关于的不等式的解集为,求函数的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22（本小题满分10分）如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O, AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC. 若AC=BC=BE=2,（1）BE边上是否存在一点M，使得和的夹角为？（2）求锐二面角O-CE-B的余弦值.23. （本小题满分10分）已知正项数列的前项和为，若，且当时，（1）求数列的通项公式；（2）求证：当时，.2016年高考模拟试卷(3) 参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题
7、，共160分）一、填空题1. . 2. 600. 3-4. 4-1 . 5. 【解析】m、n的取法共有326种，即共有6条直线，其中当m0，n2和m1，n2，直线恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P 6 . 7 . 8. . 【解析】因为为锐角，为正数，所以是锐角，得，又因为，所以. 9. 【解析】因为，底面ABCD是菱形，所以，因为，平面，所以，四棱锥PABCD的高为PA，所以，得，因为，平面，AB平面ABCD，所以，PAAC，在RtPAC中，.10. . 【解析】直线上任取一点,则，因为，所以,即.所以直线:，令,则，故直线过定点.1115 . 【解析】等差数列公差为，
8、由题意知，因为成等比数列，所以，所以，即所以 所以.所以，.12. .【解析】 对曲线求导可得，对曲线求导可得，因为它们在公共点处具有公共切线，所以，即，又，即，将代入，所以.所以，即.13.【解析】 因为，所以，如图，取的中点，连，过点作于，则，且，所以 当且仅当，且点与点重合时等号成立所以的最小值为14. .【解析】 当时，所以，此时当时，；当时，所以；由此可得时，下面考虑且时，的最大值的情况当时，由函数的定义知,因为，所以，此时当时，；当时，同理可知由此可得且时，综上可得：对于一切的，函数在区间上有1个零点，从而在区间上有个零点，且这些零点为，所以，当时，所有这些零点的和为二、解答题15
9、.因为，得，即，因为，且，所以，所以. 4分（1）因为，所以由正弦定理知，即，即.7分（2）因为，所以，因为，所以， 10分所以.14分16.（1）取PB的中点E，连接NE，CE，因为是直角梯形，ABDC， ，易得AC =CB= AB=2， 2分又因为PB的中点，为的中点，所以CD且=CD 所以四边形CDNE是平行四边形 所以DNCE； 4分又CE平面PBC，DN平面PBC所以DN平面PBC 6分（2）连接AM，PM因为PB=PC，为的中点所以PMBC， 8分因为AC =AB，为的中点所以AMBC， 10分又因为， 平面PAM，所以BC平面PAM 12分因为平面PAM，所以MNBC 14分17
10、.（1）在中，由余弦定理得，因为， 所以， 2分又因为、共圆，所以. 在中，由余弦定理得，将，代入化简得，解得（舍去）. 4分所以即绿化空间的面积为 6分（2）在、中分别利用余弦定理得 联立消去得，得，解得（舍去）. 10分因为，所以，即. 因为草皮每平方米售价为元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为百万元. 12分 令，解得，又，不妨设，则函数在上为增函数； 令，解得，则函数在上为减函数，所以当时，. 答：（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. 14分18. （1）令, 因为，所以 因为，所以， 2分 解得，从而 故椭圆方程为 6分（2）令，设直线方程为
11、由消, 得， 所以，令，则 12分所以，从而且，因为，所以 16分19.（1）当时，定义域为 所以，在上单调递增； 即的单调增区间为. 3分（2）由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解即关于的方程在上有三个不同的解令，所以 5分显然，当时，证明如下：令，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增所以当时，取最小值所以，当时， 7分令，可得或将x,h1(x),h(x)变化情况列表如下极小值极大值 又当所以，实数的取值范围为 10分由可知，当时，令，则，即， 12分不妨设，则又，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减显然，当时，；当时，所以， 14分所以 即 16分20.（1）设等比数列的公
12、比为，由，得， 2分 因为是等比数列，所以是等比数列，且公比为，所以对都成立，所以； 4分 因为， 因为成等差数列，所以公差，6分 且，即，解得； 所以这13个数的和 8分（2）设数列的公差为，则，由条件得，所以， 因为，所以，从而，因为是某个正整数，且，所以也是正整数，且，10分因为，,所以，是数列中的项， 12分当时，若，则，化简得，即，且是正整数，所以，也是正整数， 所以对任意，存在，使得，即数列中的每一项都是数列中的项 所以，数列是的子数列 16分第卷（附加题，共40分）21A如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE. 又因为
13、DBBE，所以DE为直径，则DCE90，所以，所以，DBDC. 10分B依题意，即解得 所以， 10分C由，可得，即圆的方程为将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即由于故可设是上述方程的两个实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得 10分D因为不等式的解集也为,所以可得，,. 又函数,由柯西不等式可得:,当且仅当即时取等号,所以，当时, 函数取得最大值. 10分22（1）因为AB是圆O的直径，所以以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为AC=BC=BE=2,所以C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)，D(0,0,2)，所以设BE边上是否存在一点M，设所以所以解得所以，当点M与点E重合时，和的夹角为. 5分（2）平面BCE的法向量，设平面OCE的法向量由所以，即，故令因为二面角O-CE-B是锐二面角，记为，则. 故锐二面角O-CE-B的余弦值为 .10分23（1）当时，由， 可得，所以，同理 猜想. 当时，命题成立， 假设当时命题成立，即， 则当n=k+1时， 所以 因为， 所以 ， 即 解得 所以，当时命题成立， 综上，. 5分（2）当n2时，欲证，只需证明， 因为所以对任意正整数n(n2)，都有成立 10分 第 16页，共 16页
