1、数学试卷1（共 4 页） 义乌市 2020 届高三适应性考试 数 学 试 卷 本试卷分第卷和第卷两部分. 考试时间120分钟. 试卷总分为150分. 请考生按规定 用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)= P(A)+ P(B) V=Sh 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P(AB)= P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n V= 1 3 Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥
2、体的高. Pn(k)=(1)(0,1,2, ) kkn k n C ppkn 球的表面积公式 台体的体积公式 S=4R2 V= 1 3 (S1+ 12 S S+S2) h 球的体积公式 其中 S1、S2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V= 4 3 R3 台的高. 其中 R 表示球的半径 第第卷卷 选择题部分选择题部分（共（共 4040 分）分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1已知UR，集合 2 |280Ax xx ，|1Bx x，则 u AC B（ ） A| 21xx B|4x x C| 41x
3、x D| 21xx 2已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线与直线21yx平行，则C的离心率 为（ ） A2 B3 C5 D 5 2 3已知设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A若m，n，mn，则 B若，m，n，则mn C若，m，n，则mn D若，m，nm，则n 4已知, a bR，则 22 2ab是1ab 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 数学试卷2（共 4 页） x y O A1 B1 D1 A C1 D C B P E 5函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A 1 cosf
4、 xxx x B 1 cosf xxx x C 1 sinf xxx x D 1 sinf xxx x 6已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积是（ ） A2 B4 C6 D12 7袋子有 5 个不同的小球，编号分别为 1，2，3，4，5，从袋 中一次取出三个球，记随机变量是取出球的最大编号与最 小编号的差，数学期望为 E，方差为 D，则下列选项 正确的是（ ） A 2E， 0.6D B 2E， 0.4D C 3E， 0.4D D 3E， 0.6D 8 已知 f x为偶函数， 且13fxfx， 当20x 时， 3xf x ， 若nN， n af n， 则 2021 a（ ） A 1
5、 3 B3 C-3 D 1 3 9如图，正方体 1111 ABCDABC D，点P在 1 AB上运动（不 含端点） ，点E是AC上一点（不含端点） ，设EP与平面 1 ACD所成角为，则cos的最小值为（ ） A 1 3 B 3 3 C 5 3 D 6 3 10已知函数 1 cos2cos 4 f xxbxc，若对任意 12 ,x xR，都有 12 4f xf x，则b 的最大值为（ ） A1 B2 2 C2 D4 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 9 题图） 数学试卷3（共 4 页） G H E D AB C F 第第卷非选择题部分（共卷非选择题部分（共 110110 分）分） 二、
6、填空题（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.） 11 九章算术是我国古代的数学名著，书中均属章有如下问题： “今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等. 问各得几何.”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，若甲、乙、丙、丁、戊每人 所得依次成等差数列. 问五人各得多少钱？（ “钱”是古代的一种重量单位） ，则丁所得 为 钱. 12已知复数z满足(1)3i zi（i为虚数单位） ，则复数z的实部为 ，z . 13若 5 3 11mx x 展开式的各项系数之和为32，则m= ；展开式中常数项为 .
7、14在ABC中，内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，满足sin2sinaBbA，则B ， 若BC边上的中线1AD ，则ABC面积的最大值为 . 15已知点( , )P x y满足 22 (cos )(sin )1xy，则满足条件的P所形成的平面区域的面 积为 ，1zxy的最大值为 . 16已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点为 F1，F2，上顶点 为 A，点 P 为第一象限内椭圆上的一点，|PF1|+|PF2|=4 21F F， 11 2 2 PF APF F SS ，则直线 PF1的斜率为 . 17已知平面向量a，b，c，满足0abc，a，b夹角为， 1a ，
8、2bc，则cos的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18 （本题满分 14 分）已知 sincos 6 f xxx . （）求 f x的值域； （）若0, 2 ，0,， 3 21252 f ， 1 tan 22 ，求cos. 19 （本题满分 15 分）在多面体ABCDEF中，正方形 ABCD和矩形BDEF互相垂直，,G H分别是DE 和BC的中点，2ABBF. （）求证：EDABCD平面； （）在BC边所在的直线上存在一点P， 使得/ /FPAGH平面，求FP的长； （III）求直线AF与平面AHG所成角的正弦值. （第
9、 19 题图） （第 16 题图） 数学试卷4（共 4 页） x y F BA P M O 20 （本题满分 15 分）已知等比数列 n a，满足 1 3a ， 312 aa a，数列 n b满足 1 1b ，对 一切正整数n均有 1 21 nn bbn . （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）记 123 2462 + k k k S aaaa ， 123 1111 + 2462 n n T bbbbn ，若存在实数c和 正整数k，使得不等式(1) nk TcS对任意正整数n都成立，求实数c的取值范围. 21 （本题满分 15 分）如图，点P是抛物线 2 2xy上位于第一象限内一动点
10、，F是焦点， 圆M： 2 2 11xy，过点P作圆M的切线交准线 于 A，B 两点. （）记直线PF，PM 的斜率分别为, PFPM kk，若 1 2 PFPM kk， 求点P的坐标； （）若点P的横坐标 0 2x ，求PAB面积S的最小值. 22 （本题满分 15 分）已知函数 1e ( )ln1( ) 2 x f xxxg x ，. （）求证：当 1 0 e x时， 2 7 ( ) 3 f xxx； （）若存在 0 0,xm，使 0 0f xg m，求m的取值范围. （第 21 题图） 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 1 页 义乌市2020 届高三适应性考试 高三数学卷
11、评分标准与参考答案（2020.6） 一、选择题(58=40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A B D D A C 二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11 6 5 122，5 132，31 14 3 ， 3 2 154，2 21 16 5 15 171 , 1 部分试题解析： 9. 解：取AC的中点H，连 HB1 、 HD1 ，易知 11HB D 为二面角 11 BACD 的平面角，易 得 3 1 cos 11 HBD，而EP与平面 1 ACD所成角 11HB D ，故 3 1 cos. 故选A. 10. 解析： 2 111 co
12、s2coscoscos 424 f xxbxcxbxc ，令cos11xt ， 问题等价于 2 11 24 g ttbtc，对任意 12 ,1,1t t ，都有 12 4g tg t，即 maxmin 4g tg t， 欲使满足题意的b最大，所以考虑0b ， 当01b时，由 2 1 2 g ttbtc与 2 1 2 h tt图像“全等” ，易得 12 24g tg t ， 显然成立，01b ； 当1b时， maxmin 1124g tg tggb，2b. 12b 综上，02b b的最大值为2，故选C. 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 2 页 17. 解析：由题意可得 cab
13、 ，则b acabab 由此可 121bbb ，则 13 22 b，不妨设 1 3 , 2 2 bt t ，则 2ct 因为abc，两边平方可得 2 22 12 cos244ttttt， 则 34 cos 2 t t 1 , 1 三. 解答题(74分) 18解： （） 31311 ( )sincoscossin2cos2 22444 f xxxxxx 11 sin 2 264 x ， 4分 111 sin 2 2262 x ， 3111 sin 2 42644 x 故 ( )f x的值域为 3 1 , 4 4 . 6分 （） 113 sin() 2122452 f ，则 5 sin() 13
14、8分 因为 1 tan 22 ，则 2 2tan 14 2 tan1 1 3 1tan1 24 5 3 cos, 5 4 sin), 2 , 0( 易得因为 10分 sinsin()，则, 2 ， 12 cos() 13 12分 coscos()cos() cos sinsin 16 65 . 14分 19证明： （）由于正方形ABCD和矩形BDEF互相垂直，交线为BD, 由面面垂直的性质定理可知ED ABCD平面 . 4分 （）以DA,DC,DE所在的直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Dxyz, 5分 则(2,0,0),(0,0,1),(1,2,0),(2,2,2),AGHF设( ,
15、2,0)P x，那么 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 3 页 (2,0, 2),( 2,0,1),( 1,2,0)FPxAGAH ，设AGH平面的法向量为 1111 ( , )nx y z，则 有 20 20 xz xy ，取AGH平面的一个法向量为 1 (2,1,4)n ， 7分 要得/ /FPAGH平面，则 1 0FP n ，求得6x ，FP的长为2 5. 9分 （III）(0,2,2)AF ，由（2）知AGH平面的一个法向量为 2 (2,1,4)n ， 11分 设直线AF与平面AHG所成角的大小为，则 2 2 2 5 42 sincos, 42 AF n AF n A
16、F n ， 15分 20解;（） 31 2 aaa， 22 11 ()a qaq ， 2 39qq ，3q， 3n n a 3分 在 1 21 nn bbn ，则 1 21 nn bbn ， 累加可得： 1 3 (21)(1) (1)(1) 2 n nn bbnn ， 2 (1)(1)1 n bnnn 6分 （） 22 3n n nn a 23 2462 3333 k k k S 2341 1246222 333333 k kk kk S 2341 2222222 3333333 k kk k S = 1 2 11 21 (1( ) 2212 33 1( ) 1 3333 1 3 k k kk
17、 kk 1 33 123 ( ) 22332 k k k k S 10分 2 1111 11 () 22(2)22 n bnnnn nnn G H F C B A D E 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 4 页 123 1111111131113 (1)() 221242124 n n T bbbbnnnn 13分 若存在实数c和正整数k要使得不等式 (1) nk TcS 对任意正整数n都成立， 只需 33 (1) 42 c ， 3 2 c 。 15分 21.（）设 2 0 0 1 ,0,(0,1) 22 x P xFM 2分 22 2 0 0 000 13 1 1 222
18、2 2 MPFP xx x kk xxx ， 解得 0 3 2 x 或 0 1x （舍）. 5分 （）设直线PA的斜率为 1 k，直线PB的斜率为 2 k. 则直线PA的方程为： 2 0 10 2 x ykxx， 由直线PA与圆M相切， 2 0 2 10 2 2220 01001 2 1 1 2 112110 2 1 x k x x xkxxk k ， 7分 同理 2 2 2220 02002 12110 2 x xkxxk . 则 1 k， 2 k为方程 2 2 2220 000 12110 2 x xkxxk 的两根. 2 2 0 2 00 1212 22 00 1 11 2 2 , 1
19、x xx kkkk xx 9分 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 5 页 由 2 2 0 0 10 0 1 1 222 1 2 A xx yk x k y xx x ，同理 2 0 0 2 1 22 B x xx k 11分 2 22 2 001212 222012 000 242 2 1212 00 0 214 4111 111 2224 24 AB xxkkk k xkk xxxxx k kk kxx x 2 2 2 0 0 2 0 1 111 22224 x x SAB x ， 13分 2 0 40xt ，则 2 51125125 1021010 222 t Stt t
20、tt 当且仅当5t 即 0 3x 时，PAB的面积取到最小值10. 15分 22. 解： （）解： , 0)(xxf的定义域为 1分 2 74 (ln1)ln0 33 xxxxxx即 设 4 ( )ln 3 F xxx ， 3分 1 ( ) x F x x ，故( )F x在(0,1)为增函数， 当 1 0x e 时， 111 ( )( )0 3 F xF ee ，得证. 5分 （）( )lnf xx，故( )f x的减区间为(0,1)，增区间为(1,)， 对于(0, xm， （1）当 1m 时， min ( )(1)1f xf，需要1( )0g m ，1ln3m ； 8分 （2）当0 1m
21、时， 先证若0 1x ，有( )( )f xg x， (i)若 1 0x e ， 2 7 ( ) 3 f xxx ，设 2 71 ( ) 32 x e h xxx ， 7 ( )2 32 x e h xx ， 义乌市 2020 届高三适应性考试 共 6 页 第 6 页 1 0.5 2717141 ( )130 323232 e h xee e ( )h x是减函数， ( )(0)0h xh， 2 71 33 x e xx ，( )( )f xg x 11分 (ii) 若11x e ，设 1 ( )( )( )(ln1) 2 x e h xf xg xxx ， ( )ln 2 x e h xx
22、是增函数， 1113 ( )110 22 e he e ， (1)0 2 e h ， 故有 1 1 1x e （ ， ），使 1 ( )0h x ，( )h x在 1 1 x e （ ， ）减，在 1 ( ,1)x 增， 11211211 ( )30 22322 e he ee ， 3 (1)0 2 e h ， 1 1( )0( )( )xh xf xg x e 时，得 由(i),(ii)得，当0 1x 时， ( )( )f xg x 14分 此时由于0 1m ，(0,xm 时， min ( )( )f xf m，故( )( )0f mg m，满足题意. 综上可得，m的取值范围是(0,ln3. 15分
