1、工工 程程 控控 制制 原原 理理2.数学模型与传递函数主讲：周晓君主讲：周晓君 办办 公公 室：室：机械副楼机械副楼209-2室室 电子邮件电子邮件： 办公电话：办公电话：56331523 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。组成物理系统的数学模型。采用的数学模型主要以采用的数学模型主要以为基
2、础。而为基础。而采用的数学模型主要以采用的数学模型主要以为基础。而为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。2.数学模型与传递函数2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1.1 数学模型数学模型 对于一个复杂的物理系统，为了对系统的动态特性进行分对于一个复杂的物理系统，为了对系统的动态特性进行分析和综合，必须用数学表达式来描述该系统，这个表达式称为析和综合，必须用数学表达式来描述该系统，这个表达式称为该系统的该系统的“数学模型数学模
3、型”。由于动态过程中有关物理量都是时间。由于动态过程中有关物理量都是时间的函数，所以，通常用的函数，所以，通常用来描述系统。来描述系统。2.数学模型与传递函数2.1.1 数学模型数学模型 数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。系的一个或一组方程式。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统
4、各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此，出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此，2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1.1 数学模型数学模型 ：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动
5、态数学模过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。型。工程上常用工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。针对具体问题，选择不同的数学模型。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1.2 建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法 物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，获得简化的数学模型。获得简化的数学模型。理论分析法（解析法）：理论分析法（解
6、析法）：对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。实验研究法实验研究法 根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。对于比较对于比较，需要通过理论分析与实验研究结合，需要通过理论分析与实验研究结合起来，才能获得适用的数学模型。起来，才能获得适用的数学模型。2.1 控制系
7、统的数学模型控制系统的数学模型2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 (1)线性系统线性系统 若描述系统的微分方程是变量及其导数的一次有理整式，若描述系统的微分方程是变量及其导数的一次有理整式，则此系统称为则此系统称为线性系统线性系统。线性系统可以用线性微分方程描述。线性系统可以用线性微分方程描述。如果方程的系数为常数，则为如果方程的系数为常数，则为线性定常系统线性定常系统；如果方程的；如果方程的系数是时间系数是时间 t 的函数，则为的函数，则为线性时变系统线性时变系统。线性系统的线性系统的线性性质线性性质是指系统满足是指系统满足和和。指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响
8、指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。数。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 (2)非线性系统非线性系统 不是线性系统的系统称为不是线性系统的系统称为非线性系统非线性系统。非线性系统用非线。非线性系统用非线性微分方程描述。性微分方程描述。非线性系统不满足非线性系统不满足和和。系统中只要含有一个非线性性质的元件，就成为一个非线系统中只要含有一个非线性性质的元件，就成为一个非线性系统。性系统。许多机械系统各物理量
9、之间的关系都是非线性的，即使对许多机械系统各物理量之间的关系都是非线性的，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内保持线性关所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内保持线性关系。因此，研究机械系统的某些动态特性时，必须考虑系统中系。因此，研究机械系统的某些动态特性时，必须考虑系统中的非线性特征。的非线性特征。2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 例例其中：其中：a，b，c，d 均为常数均为常数 线性定常系统线性定常系统22d()d()()()ddx tx ty tabcx ttt线性时变系统线性时变系统22d()d()()()()()()ddx tx ty ta
10、tb tc t x ttt非线性系统非线性系统)()(2txty2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 (2)非线性系统非线性系统 许多机械系统、电气系统、液压及气动系统等，其物理量许多机械系统、电气系统、液压及气动系统等，其物理量之间都包含有非线性关系。例如：在大输入信号作用下，元件之间都包含有非线性关系。例如：在大输入信号作用下，元件的输出量可能饱和的输出量可能饱和(即饱和非线性即饱和非线性)；在小信号输入下，元件没；在小信号输入下，元件没有输出量有输出量(即死区非线性即死区非线性)；某些元件中可能存在着平方非线性；某些元件中可能存在着平方非线性关系。如下图所示。关系。如下图
11、所示。2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统饱和非线性饱和非线性死区非线性死区非线性平方律非线性平方律非线性 (2)非线性系统非线性系统 ：元件的：元件的为为 一次幂函数一次幂函数 线性元件线性元件二次或高次幂函数、周期函数或超越函数二次或高次幂函数、周期函数或超越函数 非线性元件非线性元件 ：其中的函数出现高于一次的项，或者函数导数项的系数是其中的函数出现高于一次的项，或者函数导数项的系数是输出量的函数。输出量的函数。2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统：由齿轮及丝杠螺母副组成的机床由齿轮及丝杠螺母副组成的机
12、床进给传动系统中，经常存在有传动间进给传动系统中，经常存在有传动间隙隙，使输入转角使输入转角 和输出位移和输出位移 之之间有滞环关系。间有滞环关系。传动间隙传动间隙oxixo死区死区xidxodto：在死区范围内，系统有输在死区范围内，系统有输入而没有输出。入而没有输出。例如：例如：2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统：机械滑动运动副，如：机床滑动导轨运动副、主轴套筒运机械滑动运动副，如：机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。右图为右图为（也称库伦摩擦力，其大小为（也称库伦摩擦力，其大小为）
13、与运动与运动速度速度 的关系。摩擦力的关系。摩擦力 总是与速度总是与速度 的方向相反。的方向相反。干摩擦力干摩擦力foFdxdt2.1.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统：实际运动副中的摩擦力与运动速度的大小有关，如右图。实际运动副中的摩擦力与运动速度的大小有关，如右图。与与的曲线大致分为三个阶段：的曲线大致分为三个阶段：（与与的方向相反的方向相反）粘性摩擦力粘性摩擦力dxdtoFq起动时的静动摩擦力起动时的静动摩擦力；（摩擦力数值较大（摩擦力数值较大）q低速时的混合摩擦力；低速时的混合摩擦力；（摩擦力呈下降特性）（摩擦力呈下降特性）q粘性摩擦力。粘性摩擦力。（摩擦力随速度的增加而增
14、加）（摩擦力随速度的增加而增加）2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 ，绝对的线性元件和线性系统是不存在的；，绝对的线性元件和线性系统是不存在的；，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值解法，但也存在较大的数值误差。解法，但也存在较大的数值误差。为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性化处理。化处理。本质非线性性质本质非线性性质：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的元件或系统。折线，以
15、及非单值关系等严重非线性性质的元件或系统。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 对于对于非线性非线性元件或系统，可以在工作点附近用切线元件或系统，可以在工作点附近用切线来替代函数关系，这就是非线性数学模型的线性化方法之一来替代函数关系，这就是非线性数学模型的线性化方法之一（微小偏差法）。（微小偏差法）。系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍一偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并作状态稍一偏离此平衡位置，
16、整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。力图恢复原来的平衡位置。2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或微小偏差法。在性化，可用切线法或微小偏差法。在预定工作点处一个小范围内，将非线预定工作点处一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。性特性用一断直线来代替。一个变量的非线性函数一个变量的非线性函数，在在 处连续可微，则可将它在该点附件处连续可微，则可将它在该点附件用用Taylor级数展开级数展开2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化of(x)xf(x0)
17、x0 xf(x)200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf 增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有)()()(000 xxxfxfxf 两个变量的非线性函数两个变量的非线性函数，在在()处连续可微，处连续可微，则也可将它在该点附件用则也可将它在该点附件用Taylor级数展开级数展开2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有)(),()(),(),(),(00000000yyyyxfxxxyxfyxfyxf20200200002
18、202002)(),()(),(2)(),(!21yyyyxfyyxxyxyxfxxxyxf )(),()(),(),(),(00000000yyyyxfxxxyxfyxfyxf单变量非线性函数单变量非线性函数 的线性化数学模型为的线性化数学模型为2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化xkxf)(双变量非线性函数双变量非线性函数 的线性化数学模型为的线性化数学模型为ykxkyxf21),(式中：式中：)()()(0 xfxfxf)(0 xfk0 xxx；式中：式中：),(),(),(00yxfyxfyxfxyxfk),(0010 xxx；yyxfk),(0020yyy
19、；非线性系统线性化时的非线性系统线性化时的：(1)必须明确系统处于平衡状态的工作点必须明确系统处于平衡状态的工作点，因为不同工作因为不同工作点所得到线性化方程的系数不同，即：非线性曲线上各点的斜点所得到线性化方程的系数不同，即：非线性曲线上各点的斜率（导数）是不同的；率（导数）是不同的；(2)如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况必定存在较大的误差立的数学模型，除工作点外的其他工况必定存在较大的误差。因此非线性系统线性化是有条件的：变量偏离预定工作点很小。因此非线性系统线性化是有条件的：变量偏离预定工作点很
20、小。(3)对于某些典型的本质非线性，如果非线性函数是不连对于某些典型的本质非线性，如果非线性函数是不连续的，则在不连续点附近不能得到收敛的续的，则在不连续点附近不能得到收敛的Taylor级数，此时就级数，此时就不能线性化。不能线性化。(4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。2.1.4 系统非线性微分方程的线性化系统非线性微分方程的线性化 试把非线性方程试把非线性方程 在区域在区域、上线性化上线性化。求用线性化方程来计算当。求用线性化方程来计算当，时时 值所产生的误差。值所产生的误差。：由于研究的区域为：由于研究的区域为5x7、10y12，故
21、选择工作点，故选择工作点x0=6，y0=11。于是。于是 z0=x0y0=611=66。求在点求在点 x0=6，y0=11，z0=66 附近非线性方程的线性化表达附近非线性方程的线性化表达式。式。将非线性方程在点（将非线性方程在点（x0,y0,z0）处展开成泰勒级数，并忽处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有略其高阶项，则有例例 题题因此，线性化方程式为：因此，线性化方程式为：例例 题题)()(02010yykxxkzz110100yxzkyyxx60200 xyzkyyxx)11(6)6(1166yxz66611yxz 当当，时，时，的精确值为：的精确值为：=510=50由线性化方程求得的由
22、线性化方程求得的 值为值为 =11x+6y-66=55+60-66=49 因此，误差为因此，误差为 50-49=1，表示成百分数为，表示成百分数为%25012.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 是：是：1)分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；出待研究元件或系统的输入量和输出量；2)从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理、化学、生物等规律，列写各自方程式，据各元件所遵循的物理、化学、生物等规律，列写各自方程式，但要注意负
23、载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。的影响。3)将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。的标准方程。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 ：将与输入量有关的各项放在方程的右边；将与输入量有关的各项放在方程的右边；与输出量有关的各项放在方程的左边；与输出量有关的各项放在方程的左边；各导数项按降幂排列。各导数项按降幂排列。2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 (1)：机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以机械系统中部件的运动有直线和转
24、动两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。列写其微分方程通常用达朗贝尔原理。即：作用于每一要素。列写其微分方程通常用达朗贝尔原理。即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立mu(t)x(t)fm(t)2m2d()d()()ddu tx tftmmtt (1)：弹簧各点受力相同，但各点的变形量不同。弹簧各点受力相同，但各点的变形量不同。2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立ku1(t)x1(t
25、)fk(t)u2(t)x2(t)fk(t)k12()()()()ftk x tx tk x t12()()dtku tu tttttukd)(1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立D12()()()()ftD u tu tD u tttxttxDd)(dd)(d21ttxDd)(dDu1(t)x1(t)fD(t)u2(t)x2(t)fD(t)(1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 m0 xo(t)fi(t)kDm0 xo(t)fi(t)fm(t)fk(t)fD(t)机械平衡系统及其力学模型机械平衡系统及其力学模型静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为零点
26、，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响2oiDk2kooDd()()()()d()()d()()dx tf tftftmtftkx tx tftDt (1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 2oooi22d()d()()()ddx tx tmDkx tf ttt式中：式中：m、D、k 通常均为常数，故机械平移运动系统可以由通常均为常数，故机械平移运动系统可以由上述二阶常系数微分方程描述。上述二阶常系数微分方程描述。(1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 ooi2d()()()dx tDkx tf tt系统运动方程为一阶常系数微分方程。系统运动方程为一阶常系
27、数微分方程。0 xo(t)fi(t)kD弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统iDk()()()f tftf t (1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；k 扭转刚度系数；扭转刚度系数；D 粘性阻尼系数。粘性阻尼系数。0 i(t)kD齿轮齿轮 o(t)0JTD(t)Tk(t)柔性轴柔性轴粘性液体粘性液体 (1)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 数学模型：扭矩平衡方程数学模型：扭矩平衡方程2oooi2d()d()()()ddttJDktktttkio()()()T tkttoDd()()dtT tDt2okD2d()()()dtJT t
28、Ttt (2)：电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。出微分方程式，进而建立系统的数学模型。：汇聚到某节点的所有电流之代数：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。之和）。：电网络的闭合回路中电势的代数：电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。和等于沿回路的电压降的代数和。电网络系统三个基本元件：电网络系统三个基本元件：。2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 (2)
29、：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立Ru(t)i(t)电压：电压：)()(tiRtu电压：电压：ttiCtud)(1)(Cu(t)i(t)电压：电压：ttiLtud)(d)(Lu(t)i(t)(2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 LRCi(t)ui(t)uo(t)id()1()()()ddi tu tR i tLi tttCo1()()du ti ttC基本物理规律：基本物理规律：(2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 2oooi2d()d()()()ddu tu tLCRCu tu ttt数学模型：数学模型：一般情况下，一般情况下，R、L、
30、C均为常数，上式为二阶常系数微均为常数，上式为二阶常系数微分方程。分方程。若若L0，则系统微分方程简化为则系统微分方程简化为ooid()()()du tRCu tu tt (2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 aRCi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)-+a()0u t)()(21titioid()()du tu tCRt 即即：oid()()du tRCu tt (2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 RaLaT(t)o(t)JDia(t)ei(t)em(t)if=常数常数电机扭矩电机扭矩 (2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 数
31、学模型：数学模型：Ta()()()T tkti taia aamd()()()()di te tR i tLett基尔霍夫定律基尔霍夫定律omed()()dtetkt电磁感应定律电磁感应定律2oo2d()d()()ddttT tDJtt扭矩平衡方程扭矩平衡方程 (2)：2.1.5 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 电枢控制式直流电动机的控制系统动态数学模型电枢控制式直流电动机的控制系统动态数学模型32oooaaaaTeTi32d()d()d()()()()dddtttL JL DR JR Dk kktttt 当电枢电感很小时，通常可以忽略不计，则系统微分方程当电枢电感很小时，通常可以忽略不
32、计，则系统微分方程可简化为可简化为2ooaaTeTi2d()d()()()ddttR JR Dk kkttt 例题例题：右图为四边伺服阀右图为四边伺服阀及液压缸组成的液压伺及液压缸组成的液压伺服控制系统。服控制系统。2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型cxixoxvp1p2液压伺服系统液压伺服系统 活塞杆固定，液压活塞杆固定，液压缸与伺服阀阀体连为一缸与伺服阀阀体连为一体，工作时缸体带动工体，工作时缸体带动工作台作台(质量为质量为m)移动，移动，负载包含有惯性和粘性负载包含有惯性和粘性负载。试建立该系统的负载。试建立该系统的数学模型。数学模型。解解：给阀杆一位移量给阀杆一位移量 xi，
33、此时阀口打开，液压油推动缸体并，此时阀口打开，液压油推动缸体并带动负载产生位移带动负载产生位移 xo，阀体有此位移相当于给阀口开度一个，阀体有此位移相当于给阀口开度一个反馈量反馈量 xo，即，即 xv=xi-xo。该系统是输入为该系统是输入为 xi、输出为、输出为 xo 的闭环系统。的闭环系统。假设油液不可压缩，并忽略系统中液体的泄漏。假设油液不可压缩，并忽略系统中液体的泄漏。：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 txAqddo质量守恒定律质量守恒定律(连续性方程连续性方程)p=p1-p2：负载压降负载压降粘性阻尼系数粘性阻尼系数负载流量负载流量Aptxctxmddddo2o2牛顿第
34、二定律牛顿第二定律(力平衡方程力平衡方程)活塞有效面积活塞有效面积负载质量负载质量：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )(),()(),(),(),(00vv0vvv00v0vppppxqxxxpxqpxqpxqpxqq,v是一非线性函数关系。由上述三个关系式得出的系统数学模是一非线性函数关系。由上述三个关系式得出的系统数学模型也是非线性方程。因此必须对式型也是非线性方程。因此必须对式(a)进行线性化处理。进行线性化处理。(a)写成增量方程写成增量方程pppxqxxpxqq),(),(0vvvv0-Kc：流量：流量-压力系数压力系数Kq：流量：流量增益增益 将式将式(a)在预定工作
35、点在预定工作点 附近进行微小偏差线性化附近进行微小偏差线性化增量方程：增量方程：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 (b)、可以根据工作点的不同，从阀的特性曲线求得。可以根据工作点的不同，从阀的特性曲线求得。（不同的工作点，有不同的（不同的工作点，有不同的、）pKxKqcvq 由于随着负载压降由于随着负载压降 的增大，负载流量的增大，负载流量 将减小，因而将减小，因而 /总是负值。为使流量总是负值。为使流量-压力系数压力系数 为正，定义为正，定义ppxqK),(0vcvv0q),(xpxqK 若预定工作点选在阀的零位，即：若预定工作点选在阀的零位，即：，；这时；这时，。此时增量方程式
36、此时增量方程式(b)变成：变成：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 此乃预定工作点为此乃预定工作点为伺服阀零位时的线伺服阀零位时的线性化方程。性化方程。(c)pKxKqcvqpqaaaaxv=2xvxv=xvxv=0 xv=-xvxv=-2xvo线性关系线性关系 右图为右图为 与与 的的线性化关系曲线，线性化关系曲线，与与之间也成线之间也成线性化关系。性化关系。将式将式(c)、质量守恒方程代入力平衡方程，消去中间变量、质量守恒方程代入力平衡方程，消去中间变量与与 后，得到系统的阀口开度后，得到系统的阀口开度与位移输出与位移输出关系的线性化关系的线性化微分方程：微分方程：2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 将将 xv=xi-xo 代入上式，得到代入上式，得到 若考虑油液的若考虑油液的，上式将变成三阶方程；如再考，上式将变成三阶方程；如再考虑油液虑油液，方程将更为精确。，方程将更为精确。vcqoc22o2ddddxKAKtxKActxmicqocqoc22o2ddddxKAKxKAKtxKActxm：P.362-12.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型
