1、数字切比雪夫滤波器数字切比雪夫滤波器ChebyshevFilterLesson 202023-4-27五邑大学 信息学院2Butterworth滤波器NcajH22/11 NrrNkkNcaassBssAjssHsH112/112023-4-27五邑大学 信息学院3Butterworth滤波器总结设计数字总结设计数字Butterworth滤波器的步骤如下滤波器的步骤如下根据实际需要规定滤波器的根据实际需要规定滤波器的数字截止频率数字截止频率 处处的的衰减衰减，单位为，单位为 dB 由数字截止频率由数字截止频率 处的处的衰减衰减计算模拟巴特沃计算模拟巴特沃斯滤波器的斯滤波器的阶数阶数N和和频率频
2、率Tp，Tp，c2023-4-27五邑大学 信息学院4Butterworth滤波器求模拟巴特沃斯滤波器的求模拟巴特沃斯滤波器的极点极点，并由，并由 s 平面左半平面平面左半平面 的极点的极点构成系统函数构成系统函数左半平面的极点：左半平面的极点：系统函数：系统函数：使用冲激不变法或双线性变换法将使用冲激不变法或双线性变换法将 转换转换成数成数字滤波器的系统函数字滤波器的系统函数 sHa zH sHa1,2,1,022NkesNkNjck，2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssH2023-4-27五邑大学 信息学院5Chebyshev滤波器两种类型l I型：在型
3、：在通带内通带内的幅度是的幅度是等波纹的等波纹的，而在，而在阻带内阻带内是是单调下降单调下降的；的；l II型：在通带内的幅度是单调下降的，但在阻带型：在通带内的幅度是单调下降的，但在阻带内是等波纹的。内是等波纹的。幅度平方函数由幅度平方函数由Chebyshev多项式多项式定义。定义。2023-4-27五邑大学 信息学院6Chebyshev滤波器式中，式中，称为称为纹波参数纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；，它与通带内幅度响应的纹波有关；为为有效通带截止频率有效通带截止频率，它与，它与Butterworth滤波器的滤波器的 有些不同，巴特沃斯滤波器的幅度响应在有些不同，巴特沃斯滤波器的幅
4、度响应在 处衰减处衰减为为 3dB，而，而Chebyshev滤波器滤波器只有只有在当在当 时，其幅时，其幅度响应在度响应在 处的衰减才为处的衰减才为 3dB；cNaVjH/11222ccc1c2023-4-27五邑大学 信息学院7Chebyshev多项式二项式定义：二项式定义：Chebyshev多项式定义如下：多项式定义如下：其中，其中，N为阶数为阶数。不同。不同N值对应的值对应的Chebyshev多项式如右所示。多项式如右所示。Chebyshev多项式满足以下多项式满足以下递推公式递推公式 xxxxxxVNNN,112122 xxxxxxxxxxVNN52016518843431221103
5、52432 xVxVxxVNNN1122023-4-27五邑大学 信息学院8Chebyshev多项式实三角函数：实三角函数：Chebyshev多项式定义如下：多项式定义如下：1,chch11,chch1,coscos111xxNxxNxxNxVNN2023-4-27五邑大学 信息学院9Chebyshev多项式复三角函数：复三角函数：Chebyshev多项式可以用复三角函数多项式可以用复三角函数定义为定义为或或 xNxVN1coscos xNxVN1chch2023-4-27五邑大学 信息学院10Chebyshev多项式的函数曲线2023-4-27五邑大学 信息学院11Chebyshev多项式的
6、函数曲线从图中可以看出从图中可以看出:l 当当 时，时，具有等波纹性质，即在具有等波纹性质，即在-1 和和 1 之之间间等幅振荡等幅振荡，且，且 N 越大，振荡越快；越大，振荡越快；l 当当 时，时，曲线按双曲余弦函数曲线按双曲余弦函数单调上升单调上升，N越大曲线上升越快；越大曲线上升越快；l 当当 时，时，偶数偶数 N 对应的对应的 按双曲余弦函数按双曲余弦函数单单调下降调下降，奇数奇数 N 对应的对应的 按双曲余弦函数按双曲余弦函数单调上升单调上升；l N为偶数时为偶数时 为为偶函数偶函数，N为奇数为奇数 为为奇函数奇函数。1x xVN1x xVN1x xVN xVN xVN xVN202
7、3-4-27五邑大学 信息学院12Chebyshev滤波器cNaVjH/112222023-4-27五邑大学 信息学院13幅度响应曲线N 是滤波器的阶数。下图分别显示是滤波器的阶数。下图分别显示 N 为奇数为奇数(N=3)和和 N 为偶数为偶数(N=4)时的切比雪夫滤波器的幅度响应曲线时的切比雪夫滤波器的幅度响应曲线。cc21/1为奇数NjHa为偶数N2023-4-27五邑大学 信息学院14关键参数Chebyshev滤波器由滤波器由 等等3个参数确定。从上图可个参数确定。从上图可看出看出:lChebyshev滤波器在通带内，其幅度响应在滤波器在通带内，其幅度响应在 1 和和 之间之间起伏变化起
8、伏变化，而在阻带内是，而在阻带内是单调下降单调下降的；的；lN为偶数时，滤波器在为偶数时，滤波器在 处的幅度响应为处的幅度响应为 ；lN为奇数时，滤波器在为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为处的幅度响应为 1。Nc和,021/121/102023-4-27五邑大学 信息学院15极点分布Chebyshev滤波器有极点，而零点在滤波器有极点，而零点在 处。现在来确处。现在来确定模拟定模拟Chebyshev滤波器的极点分布。重写幅度平方函数滤波器的极点分布。重写幅度平方函数为为可求出可求出极点对应于极点对应于令令 ，则上式为，则上式为cNajsVjH/1122221/cNjsV21,/yjsxc yx
9、VN2023-4-27五邑大学 信息学院16极点分布Chebyshev的多项式的多项式反函数反函数为为21,/yjsxcNNyyyyx12121121NNcjs12212211111121/把把 代入上式得代入上式得2023-4-27五邑大学 信息学院17极点分布其中其中12121211111NNNNba12,2,1,0,2cos2sinNkNkNbjNkNascck上式是一个上式是一个复数椭圆方程复数椭圆方程，椭圆的长半轴，椭圆的长半轴为为 ，短半轴为，短半轴为 。Chebyshev滤滤波器共有波器共有 2N 个极点，它们个极点，它们关于虚轴对称地关于虚轴对称地分布在一个椭圆上分布在一个椭圆
10、上，N 为偶数时实轴上无极为偶数时实轴上无极点，点，N 为奇数时实轴上有两个极点。它们的为奇数时实轴上有两个极点。它们的分布见书分布见书 P132 的图。的图。bcac2023-4-27五邑大学 信息学院18参量确定确定 由允许的通带纹波确定。如果在由允许的通带纹波确定。如果在 处处允许的通带衰允许的通带衰减为减为 ，那么，那么 可以这样确定可以这样确定 因此因此cdB2221lg10/11lg10ccNVdB21101102023-4-27五邑大学 信息学院19Chebyshev多项式的函数曲线2023-4-27五邑大学 信息学院20幅度响应曲线cc21/1为奇数NjHa为偶数N2023-4
11、-27五邑大学 信息学院21截止频率确定确定 是是 Chebyshev 滤波器滤波器有效通带截止频率有效通带截止频率，在有效，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常常常是给定的是给定的。当。当 为为 1 时，时，就是通带的就是通带的 3dB 截止频率，截止频率，这与这与 Butterworth 滤波器的滤波器的 3dB 截止频率截止频率 相对应。相对应。cccccc2023-4-27五邑大学 信息学院22阶次N确定滤波器的阶次确定滤波器的阶次 Chebyshev 滤波器的阶次滤波器的阶次 N 由阻带允许的衰减确定的由阻带允许的衰减确定的。
12、设在阻带截止频率设在阻带截止频率 处的允许衰减为处的允许衰减为 ，即，即由此得到计算滤波器阶次由此得到计算滤波器阶次 N 的公式的公式NdBTcTNVdB/11lg1022cTN/ch/110ch1211012023-4-27五邑大学 信息学院23设计步骤cTN/ch/110ch121101根据滤波器的指标确定根据滤波器的指标确定 为有效通带截止频率，一般是给定的。为有效通带截止频率，一般是给定的。由由以下公式计算。以下公式计算。Nc和,cN和2110110，2023-4-27五邑大学 信息学院24设计步骤计算计算并求出极点并求出极点12121211111，NNNNba12,2,1,0,2co
13、s2sinNkNkNbjNkNascck2023-4-27五邑大学 信息学院25设计步骤由由 s 平面左半平面的极点构成系统函数平面左半平面的极点构成系统函数l N为偶数时为偶数时 为左半平面的极点，为左半平面的极点，为为 的共轭极点的共轭极点,l N为奇数时为奇数时 是左半平面实轴上的极点。是左半平面实轴上的极点。/21aNkkkBHsNssss为偶数 1/21aNpkkkBHsNssssss为奇数 sHaksksksps2023-4-27五邑大学 信息学院26设计步骤确定系数确定系数 ：由由 时滤波器幅度响应的值确定。当时滤波器幅度响应的值确定。当 N 为奇数为奇数时，时，；当；当 N 为
14、偶数时，为偶数时，利用冲激响应不变法或双线性变换法将利用冲激响应不变法或双线性变换法将 转换转换成成B0s 21/10aH 10 aH sHa zHB2023-4-27五邑大学 信息学院27举例冲激响应不变法例例 4.4 采用采用冲激响应不变法冲激响应不变法设计一个数字设计一个数字 Chebyshev低通滤波器，在通带截止频率低通滤波器，在通带截止频率 处衰减不处衰减不大于大于 1dB，在阻带截止频率，在阻带截止频率 处衰减不小处衰减不小于于 15dB。解解：根据滤波器的指标求根据滤波器的指标求 。设设 则则2.0p3.0TNc和,1T,3.0/,2.0/TTTTpp2023-4-27五邑大学
15、 信息学院28举例冲激响应不变法因此有效通带截止频率因此有效通带截止频率取取 N=4。验算表明，通带内满足技术指标，在阻带截止。验算表明，通带内满足技术指标，在阻带截止频率处幅度响应衰减为频率处幅度响应衰减为-21.5834 dB，超过了指标。，超过了指标。2.0c50885.011011021101211019767.32.0/3.0ch50885.0/110ch/ch/110ch12110151121101cTN2023-4-27五邑大学 信息学院29举例冲激响应不变法 求滤波器的极点求滤波器的极点所以所以求得求得 s 平面左半平面的共轭极点对为平面左半平面的共轭极点对为15.0644.1
16、213646235.021170226.41111121NNNNba6688.0,2291.0ccba0.08770.61770.21170.2558jj2023-4-27五邑大学 信息学院30举例冲激响应不变法 由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数系数系数 B 由由 s=0 时滤波器的幅度响应确定。因为时滤波器的幅度响应确定。因为 N 为偶为偶数，所以数，所以由此得由此得 B=0.03828。因此。因此 sHa 1103.04234.03894.01753.022ssssBsHa 21/10aH 1103.04234.03894.01753.00382
17、8.022sssssHa2023-4-27五邑大学 信息学院31举例冲激响应不变法 采用冲激响应不变法将采用冲激响应不变法将 转换成转换成可以代入可以代入 来验证滤波器的各项性能指标是否满来验证滤波器的各项性能指标是否满足要求。足要求。值得注意的是，由于值得注意的是，由于混叠现象混叠现象，阻带边缘处的衰减要比，阻带边缘处的衰减要比模拟滤波器模拟滤波器稍差一些稍差一些。但在模拟滤波器设计中，。但在模拟滤波器设计中，由于由于 N 取整取整使得在阻带截止频率处的衰减比规定指标要大，所使得在阻带截止频率处的衰减比规定指标要大，所以设计出来的数字滤波器以设计出来的数字滤波器还是满足规定的技术指标的还是满
18、足规定的技术指标的。sHa 21213218392.04934.116549.05658.110.00400.01810.0054zzzzzzzzH zHjez 2023-4-27五邑大学 信息学院32举例冲激响应不变法 上述设计过程的上述设计过程的MATLAB程序如下程序如下wp=0.2*pi;wt=0.3*pi;wc=wp;alpha=1;beta=15;ep=sqrt(10(alpha/10)-1);A1=10(beta/10)-1;A12=sqrt(A1);N=acosh(A12/ep)/acosh(wt/wc),pauseN=ceil(N)aph=1/ep+sqrt(1+1/ep/e
19、p);a=0.5*(aph(1/N)-aph(-1/N);b=0.5*(aph(1/N)+aph(-1/N);awc=a*wc;bwc=b*wc;z,p,k=cheby1(N,1,0.2*pi,s),pausesosa,ga=zp2sos(z,p,k),pauseb,a=zp2tf(z,p,k);bz,az=impinvar(b,a),pausesos,g=tf2sos(bz,az),2023-4-27五邑大学 信息学院33举例双线性变换法例例 4.5 采用双线性变换法设计一个数字采用双线性变换法设计一个数字 Chebyshev 低低通滤波器，在通带截止频率通滤波器，在通带截止频率 处衰减不处
20、衰减不大于大于 1dB，在阻带截止频率，在阻带截止频率 处衰减不小处衰减不小于于 15dB。解解:滤波器的技术指标不变，所以滤波器的技术指标不变，所以 都都与上例一样，但与上例一样，但 应进行应进行预畸变预畸变，即，即其它过程与上例一样，不再重复其它过程与上例一样，不再重复。2.0p3.0TbaN，,c6498.022.0tan2c2023-4-27五邑大学 信息学院34举例双线性变换法 上述设计过程的上述设计过程的MATLAB程序如下程序如下wp=0.2*pi;wt=0.3*pi;wc=wp;alpha=1;beta=15;wc=2*tan(wc/2);ep=sqrt(10(alpha/10
21、)-1);A1=10(beta/10)-1;A12=sqrt(A1);N=acosh(A12/ep)/acosh(wt/wc),pauseN=ceil(N)aph=1/ep+sqrt(1+1/ep/ep);a=0.5*(aph(1/N)-aph(-1/N);b=0.5*(aph(1/N)+aph(-1/N);awc=a*wc;bwc=b*wc;z,p,k=cheby1(N,1,wc,s),pausesosa,ga=zp2sos(z,p,k),pauseb,a=zp2tf(z,p,k);bz,az=bilinear(b,a,1),pausesos,g=tf2sos(bz,az),2023-4-27五邑大学 信息学院35IIR滤波器的Matlab设计MATLAB提供了相应函数来实现前面介绍的各种提供了相应函数来实现前面介绍的各种IIR设计方法，其中最主要的有：设计方法，其中最主要的有：MATLAB函数函数描述描述butterButterworth 数字滤波器数字滤波器cheby1Chebyshev I 型数字滤波器型数字滤波器cheby2Chebyshev II 型数字滤波器型数字滤波器ellip椭圆数字滤波器椭圆数字滤波器MATLAB还提供了一个数字滤波器设计的集成环境程序还提供了一个数字滤波器设计的集成环境程序 fdatool
