1、上页 下页 返回 结束 第七节第七节 斯托克斯公式及其斯托克斯公式及其应用应用 一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式二、典型例题二、典型例题第十一章第十一章三、场三、场上页 下页 返回 结束 1.1.定向曲面边界曲线的方向定向曲面边界曲线的方向:,的正向为的正向为规定其边界曲线规定其边界曲线曲面曲面是具有边界曲线的定向是具有边界曲线的定向设设.,上法向量的指向相同上法向量的指向相同的拇指的指向与的拇指的指向与竖起竖起依边界的绕行方向时依边界的绕行方向时当右手除拇指外的四指当右手除拇指外的四指即即的法向量符合右手法则的法向量符合右手法则这个方向与定向曲面这个方向与定向曲面 .的正向边界曲线的正向边界
2、曲线曲面曲面向的边界曲线称为定向向的边界曲线称为定向按照这种方式规定了方按照这种方式规定了方 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式(stokes)上页 下页 返回 结束;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取上侧取上侧.,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取下侧取下侧;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取后侧取后侧.,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取前侧取前侧 上页 下页 返回 结束 2.2.则有则有上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数连同边界连同边界在在函数函数侧符合右手规则侧符合右
3、手规则的正向与的正向与向曲面向曲面为边界的分片光滑的定为边界的分片光滑的定以以是是闭曲线闭曲线为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向设设定理定理,)(),(),(),(.,1 zyxRzyxQzyxP.ddd dddddd zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyR斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式上页 下页 返回 结束 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式上页 下页 返回 结束 表达了定向曲面上的第二类曲
4、面积分与曲面表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系.是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格是格林公式的推广林公式的推广.则则面取上侧面取上侧位于位于若若,0),(xOyzyxR .dddd yQxPyxyPxQxyzO n 格林公式格林公式斯托克斯公式的实质斯托克斯公式的实质斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形上页 下页 返回 结束 xyzOxyD n C,),(),(:xyDyxyxzz ,的正向边界曲线的正向边界曲线可得可得上侧上侧取取.CDx
5、Oyxy正向边界曲线正向边界曲线的的面上的投影曲线是面上的投影曲线是在在 .dddd 上的二重积分上的二重积分化为化为设法将设法将xyDyxyPxzzP ,dcoscosdddd SyPzPyxyPxzzP 因为因为证证 与平行与平行 z z 轴的直线只交于轴的直线只交于 一点一点上页 下页 返回 结束 的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为有向曲面有向曲面.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxffffffff ,coscos yf dcosdddd SyPfzPyxyPxzzPy 所以所以.dd yxyPfzPy上页 下页 返回 结束,),(,yfzPyPyxfyxP
6、y 因为因为 xyDyxyxzyxPydd),(,dd yxyPfzPy所以所以 )(d),(,依据格林公式依据格林公式 CxyxfyxP.d),(,dddd CxyxfyxPyxyPxzzP所以所以xyzOxyD n C上页 下页 返回 结束 ,),(),(),(),(,轴上的投影也一样轴上的投影也一样在在弧段弧段并且两曲线上的对应小并且两曲线上的对应小一样一样处的值处的值上对应点上对应点在曲线在曲线处的值与函数处的值与函数上点上点在曲线在曲线因为函数因为函数xzyxzyxPyxCyxfyxP xyzOxyD n C.d),(d),(,xzyxPxyxfyxPC所以所以.d),(dddd x
7、zyxPyxyPxzzP故故.,上式仍然成立上式仍然成立等式两边同时变号等式两边同时变号取下侧取下侧如果如果 上页 下页 返回 结束.,所以公式仍成立所以公式仍成立分相加时正好抵消分相加时正好抵消相反的两个曲线积相反的两个曲线积因为沿辅助曲线而方向因为沿辅助曲线而方向相加相加运用公式再运用公式再分成几部分分成几部分则可作辅助曲线把曲面则可作辅助曲线把曲面个个轴的直线的交点多于一轴的直线的交点多于一如果曲面与平行于如果曲面与平行于 z;d),(dddd yzyxQzyzQyxxQ类似地类似地.d),(dddd yzyxRxzxRzyyR三式相加三式相加,即可得公式即可得公式.证毕证毕上页 下页
8、返回 结束 二、典型例题二、典型例题.,12,ddd2222取逆时针方向取逆时针方向轴正向看去轴正向看去从从若若的交线的交线与柱面与柱面是平面是平面其中其中曲线积分曲线积分利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算 zyxzyzzyxxyI1:22 yxDxy,22zRxQyP .2所围的部分所围的部分的上侧被的上侧被为为 zy例例1解解上页 下页 返回 结束 22ddddddzxyzyxyxxzzyI yxydd)21(xyDyxydd)21(1020d)sin21(drr .上页 下页 返回 结束 yxzyxxzzyzyx ddddddzxy111o例例2.2.利用斯托克斯公式计算积分利用斯
9、托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中其中 为平面为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为记三角形域为,取上侧取上侧,则则边界边界,方向如图所示方向如图所示.zyyxxzddd yxxzzydddddd利用对称性利用对称性 yxDyxdd323 yxD上页 下页 返回 结束.,1,01,01,023,d)(d)(d)(222222取逆时针方向取逆时针方向轴正向看去轴正向看去若从若从的表面所得的截痕的表面所得的截痕截立方体截立方体是用平面是用平面其中其中计算计算 zzyxzyxyxzxzy xyzOn例例3上页 下页 返回 结束),31,3
10、1,31(),1,1,1(nen 222222ddddddyxxzzyzyxyxxzzyI.23:所围的部分所围的部分上侧被上侧被的的 zyx解解 xyzOn上页 下页 返回 结束 Syxxzzyzyxd313131222222 Szyxd)(34,23 zyx上上在在 xyzOn上页 下页 返回 结束 Sd32 xyD d332.29 O1 x1xyD5.05.0y5.0 yx5.1 yx xyDyxzz d13222)(6的面积的面积xyD Szyxd)(34上页 下页 返回 结束 例例4.4.为柱面为柱面与平面与平面 y=z 的交线的交线,从从 z 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针,计算
11、计算.ddd2zxzyxyxyI oz2yx解解:设设 为平面为平面 z=y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域,且取下侧且取下侧,0cos 利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得SId Szyd)(210则其法线方向余弦则其法线方向余弦,21cos 21cos coscoscoszyx zxyxy2yyx222 上页 下页 返回 结束 三、场场 设设f(x,y,z)及及分别是定义在空间区域分别是定义在空间区域上的数值函数上的数值函数（数量场数量场）及矢值函数（）及矢值函数（矢量场矢量场）。）。kzyxRjzyxQizyxpzyxA),(),(),(),(上页 下页 返回 结束 一、一、由微分运算决
12、定的三个量由微分运算决定的三个量1 1、梯度：梯度：gradf=kzfjyfixffkzjyixf )(,zfyfxf f(x,y,z)本身是数量场，本身是数量场，gradf却是矢量场。却是矢量场。2 2、散度：散度：ZRyQxpR,Q,Pz,y,xAAdiv )z,y,x(A是矢量场，但是矢量场，但Adiv却是数量场。却是数量场。3、旋度：旋度：RQPzyxkjiAArot 这里这里f（数乘）（数乘）A （点乘）（点乘）A （叉乘）（叉乘）都是以微分运算决定的量，都是以微分运算决定的量，可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。.kzjyix 上
13、页 下页 返回 结束 二、二、由积分运算决定的量由积分运算决定的量)drnds,dz,dy,dxdr,cos,cos,cosn(dv)zRyQxp(GaussRdxdydzdxQPdydzdsAdvAdiv 场场论论表表达达式式A 物理定义：左端是流速为物理定义：左端是流速为在单位时间内流出闭曲面在单位时间内流出闭曲面的总流量。右端为在的总流量。右端为在内单位时间内产生流体的总流量。内单位时间内产生流体的总流量。1 1、流量（通量）、流量（通量）上页 下页 返回 结束 2 2、环流量环流量 RdzQdyPdxdrA RQPzyxdxdy,dzdx,dydzStokesA当当为流速场时，视之为环流量。为流速场时，视之为环流量。dsArot场场论论表表示示上页 下页 返回 结束 三、三、特殊场特殊场1、有势场：有势场：若存在数值函数若存在数值函数u(x,y,z)，使，使，则则 为有势场。为有势场。2、无源场：无源场：若若 在任一点的散度在任一点的散度 ，则称为无源场。则称为无源场。3、调合场：调合场：当当 即无源即无源 ，又无旋又无旋则为调合场。则为调合场。graduA AAA0 Adiv0 Adiv0 Arot
