1、薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础第七章第七章 带通滤光片带通滤光片曹建章曹建章薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 众所周知，在电路中有滤波器，其中包括众所周知，在电路中有滤波器，其中包括带通滤波器、低通滤波器、高通滤波器和带阻带通滤波器、低通滤波器、高通滤波器和带阻滤波器。信号在电路中传输，滤波器的作用是滤波器。信号在电路中传输，滤波器的作用是滤除干扰信号。在光路中相对应地也有滤光片，滤除干扰信号。在光路中相对应地也有滤光片，包括带通滤光片、带阻滤光片和截止滤光片。包括带通滤光片、带阻滤光片和截止滤光片。同样，滤光片的作用也是滤除干扰的光信号。同样，滤光片的作用也是滤除干
2、扰的光信号。与增透膜和高反射膜一样，滤光片也是薄膜光与增透膜和高反射膜一样，滤光片也是薄膜光学中的重要组成部分。在各种光学系统中，滤学中的重要组成部分。在各种光学系统中，滤光片是十分重要的光学元件。光片是十分重要的光学元件。7.1 7.1 带通滤光片的特性描述带通滤光片的特性描述 理想带通滤光片透射率随波长的变化曲线理想带通滤光片透射率随波长的变化曲线薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础如图如图7-1(a)所示，所示，为通带的中心波长为通带的中心波长，为为通带的宽度通带的宽度。在理想情况下，滤光片通带内的。在理想情况下，滤光片通带内的透射率为透射率为100%。理想滤光片完全可以由透射理
3、想滤光片完全可以由透射区域的带宽和通带内中心波长来描述，区域的带宽和通带内中心波长来描述，确定确定带通滤光片的通带位置带通滤光片的通带位置,而而 确定通带的宽度。确定通带的宽度。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 实际的带通滤光片其通带并不是理想的方实际的带通滤光片其通带并不是理想的方形，需要更多参数描述其特性。图形，需要更多参数描述其特性。图7-1（b）就）就是可能的实际带通滤光片的透射率曲线，是可能的实际带通滤光片的透射率曲线，为为通带的中心波长，对应的透射率为通带的中心波长，对应的透射率为 ；为通为通带内峰值透射率带内峰值透射率 对应的波长对应的波长。是透射率是透射率为峰值透射
4、率一半处所对应的两个波长之间的为峰值透射率一半处所对应的两个波长之间的差，这个量称之为通带半宽度（差，这个量称之为通带半宽度（HW），），通常通常表达为表达为 的百分比的百分比 。同样可定义。同样可定义基准宽基准宽度（度（BW），比值，比值 称之为形状因称之为形状因子，表示透射带的子，表示透射带的“方方”度，度，值越小，值越小，表明通带越方表明通带越方,理想情况下最小值理想情况下最小值 .薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 假设带通滤光片通带两旁的最小透射率为假设带通滤光片通带两旁的最小透射率为Tmin，量，量 或或 称之为称之为带通滤光片的带通滤光片的抑制比抑制比，值越小，表明带通
5、滤光片拟值越小，表明带通滤光片拟制能力越强。制能力越强。7.2 7.2 带通滤光片的基本构型带通滤光片的基本构型法布里法布里-珀罗干珀罗干涉仪及其变形涉仪及其变形 最简单的带通滤光片是法布里最简单的带通滤光片是法布里-珀罗干涉珀罗干涉仪（仪（FP），如图），如图7-2所示。图所示。图7-2（a）所示的）所示的法布里法布里-珀罗干涉仪是由两块材质相同表面光珀罗干涉仪是由两块材质相同表面光滑的平行平板构成，两平板表面镀有高反射金滑的平行平板构成，两平板表面镀有高反射金属膜，两板之间以间隔环相间隔。图属膜，两板之间以间隔环相间隔。图7-2（b）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础所示的法布里
6、所示的法布里-珀罗干涉仪是在表面光滑的介珀罗干涉仪是在表面光滑的介质板两面镀有高反射金属膜，金属膜以介质质板两面镀有高反射金属膜，金属膜以介质板相间隔。板相间隔。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 实际上，法布里实际上，法布里-珀罗干涉仪中的高反射珀罗干涉仪中的高反射金属膜也可由高低折射率四分之一波长介质周金属膜也可由高低折射率四分之一波长介质周期多层膜代替，这样就可构成法布里期多层膜代替，这样就可构成法布里-珀罗干珀罗干涉仪的多种变形，其一般构成可表示为涉仪的多种变形，其一般构成可表示为其中其中H和和L分别表示高、低折射率四分之一波分别表示高、低折射率四分之一波长介质膜层，长介质膜
7、层，k为隔层的阶为隔层的阶，m为膜系周期数。为膜系周期数。如果间隔层的阶如果间隔层的阶 ，对应间隔层的最小厚度，对应间隔层的最小厚度为为 ；,间隔层的厚度为间隔层的厚度为 ，依此类推。，依此类推。图图7-3给出的是各种干涉带通滤光片示意图。给出的是各种干涉带通滤光片示意图。或或薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础图图7-3（a）是基本）是基本FP干涉仪，与图干涉仪，与图7-2相对应相对应;图图7-3（b）是平板表面镀高低折射率四分之一）是平板表面镀高低折射率四分之一波长周期高反射多层膜系波长周期高反射多层膜系FP干涉仪；干涉仪；图图7-3（c
8、）是平板表面镀有金属）是平板表面镀有金属-介质高反射介质高反射膜的膜的FP干涉仪；干涉仪；图图7-3（d）为受抑全反射带通滤光片；）为受抑全反射带通滤光片；图图7-3（e）是有金属反射镜的滤光片；）是有金属反射镜的滤光片；图图7-3（f）是有介质反射镜的滤光片；）是有介质反射镜的滤光片；图图7-3（g）是诱导滤光片；）是诱导滤光片；图图7-3（h）是相色散滤光片（隔层很薄）；）是相色散滤光片（隔层很薄）；图图7-3（i）是云母或石英隔层的）是云母或石英隔层的FP干涉滤光片。干涉滤光片。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础7.3 7.3 法布里法布里-珀罗干涉仪透射率计算珀罗干涉仪透射率
9、计算7.3.1 7.3.1 单层薄膜反射与透射计算的有效界面单层薄膜反射与透射计算的有效界面法法 如图如图7-4（a）所示为一单层膜系，入射介）所示为一单层膜系，入射介质折射率为质折射率为 ，膜层折射率为，膜层折射率为 ，基底介质，基底介质折射率为折射率为 。不考虑偏振方向，假设从入射。不考虑偏振方向，假设从入射介质到膜层界面介质到膜层界面1的透射系数为的透射系数为 、反射系数、反射系数为为 ;膜层到入射介质界面膜层到入射介质界面1的透射系数为的透射系数为 、反射系数为反射系数为 ；膜层到基底界面；膜层到基底界面2的透射系数的透射系数为为 、反射系数为、反射系数为 ；基底到膜层界面；基底到膜层
10、界面2的透的透射系数为射系数为 、反射系数为、反射系数为 。假设入射光的。假设入射光的电场初始复振幅为电场初始复振幅为 ，则由图，则由图7-4（b）可）可薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础写出多次反射与透射光的复振幅为写出多次反射与透射光的复振幅为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础反射：反射：(7-1)透射：透射：(7-2)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础式中式中为相邻两条光线的相位差，为相邻两条光线的相位差，d为膜层的厚度，为膜层的厚度，为膜层中的透射角。为膜层中的透射角。由式（由式（7-1），可写出单层膜系的反射系数为），可写出单层膜系的反射系数为(7-3)
11、薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-4)不管是不管是S-波偏振还是波偏振还是P-波偏振，由斯托克斯倒波偏振，由斯托克斯倒逆关系，有逆关系，有由此式（由此式（7-4）可简化为）可简化为(7-5)(7-6)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础记记 取实数取实数,由式（由式（7-6）可写出反射系数的膜）可写出反射系数的膜 和相位和相位 为为 由式（由式（7-2），可写出单层膜的透射系数为），可写出单层膜的透射系数为(7-7)(7-8)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-9)由式（由式（7-5），简化可得），简化可得记记(7-10)(7-11)薄膜光学与薄膜技术基础
12、薄膜光学与薄膜技术基础 取实数，由式（取实数，由式（7-10）可写出透射系数的模）可写出透射系数的模 和相位和相位 为为式（式（7-8）和式（）和式（7-12）既适合）既适合S-波偏振，也波偏振，也适合适合P-波偏振，形式完全相同。波偏振，形式完全相同。7.3.2 7.3.2 膜系透射定理膜系透射定理*膜系透射定理：不管膜层有无吸收，膜系膜系透射定理：不管膜层有无吸收，膜系(7-12)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础的透射率与光的传播方向无关。的透射率与光的传播方向无关。由由3.3.1节式（节式（3-68）可知，构成膜系的膜）可知，构成膜系的膜层对应的特征矩阵为层对应的特征矩阵为假
13、如膜层排列顺序为假如膜层排列顺序为（7-13）11122121122cossinsincoscossincossincossinsincossincossincosKiiiiiiiKKKiiKKKjjjjjjjj（7-14）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础光从介质光从介质 入射经过膜层（入射经过膜层（7-14）透射到介）透射到介质质 ，相应的特征向量为，相应的特征向量为 如果改变膜层顺序为如果改变膜层顺序为（7-15）111111111111cossinsincoscossincossincossinsincossincossincosiiii KiiiKKKKKKKiKKKKjj
14、jjjjjj（7-16）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础光从介质光从介质 入射经过膜层（入射经过膜层（7-16）透射到介）透射到介质质 ，则相应的特征向量为，则相应的特征向量为记式（记式（7-15）中的矩阵乘积为）中的矩阵乘积为记式（记式（7-17）中的矩阵乘积为）中的矩阵乘积为（7-17）（7-18）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础（7-19）则特征向量式（则特征向量式（7-15）改写为）改写为特征向量式（特征向量式（7-17）改写为）改写为（7-20）（7-21）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 求解特征向量方程（求解特征向量方程（7-20）和（）和（7
15、-21），），得到得到 由式（由式（3-74），可写出两个方向膜系的透），可写出两个方向膜系的透射率分别为射率分别为(7-22)(7-23)(7-24)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-25)采用数学归纳法，即可证明矩阵（采用数学归纳法，即可证明矩阵（7-18）和矩）和矩阵（阵（7-19）的元素满足关系）的元素满足关系(7-26)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础代入式（代入式（7-25），得到），得到定理得证。透射定理实例见图定理得证。透射定理实例见图13-32实测铂膜实测铂膜反射率和透射率随膜厚的变化曲线。反射率和透射率随膜厚的变化曲线。7.3.3 7.3.3 法
16、布里法布里-珀罗干涉仪的透射率计算珀罗干涉仪的透射率计算 对于法布里对于法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪假设间隔层假设间隔层 或或 与图与图7-4中的膜层相对中的膜层相对应应,折射率为折射率为 ，k阶厚度为阶厚度为d，如图，如图7-5所示。所示。(7-27)或或（7-28）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础与图与图7-4相比较，膜系相比较，膜系 或或 对应于界对应于界面面1，图中表示为膜系，图中表示为膜系A；膜系；膜系 或或 对应于界面对应于界面2，图中表示为膜系，图中表示为膜系B。法布里。法布里-珀珀罗干涉仪放置于折射率为罗干涉仪放置于折射率
17、为 和折射率为和折射率为 的介的介质中，光从介质质中，光从介质 到介质到介质 经过经过“界面界面A”的透的透射系数记为射系数记为 ，光从介质光从介质 到介质到介质 经过经过“界界面面B”的透射系数记为的透射系数记为 。“界面界面A”下侧的反射下侧的反射系数记为系数记为 ,“界面界面B”上侧的反射系数记为上侧的反射系数记为 。法布里法布里-珀罗干涉仪光从入射介质珀罗干涉仪光从入射介质 到出射介到出射介质质 的总透射系数记为的总透射系数记为 。在垂直入射的情况在垂直入射的情况下，由式下，由式(2-236)和式和式(2-238)以及式（以及式（7-12），），薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术
18、基础写出法布里写出法布里-珀罗干涉仪的总透射率为珀罗干涉仪的总透射率为利用关系式利用关系式式（式（7-29）化为）化为(7-29)(7-30)(7-31)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础垂直入射，隔层无吸收垂直入射，隔层无吸收 ，有，有且且代入式（代入式（7-31），有），有(7-32)(7-33)(7-34)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础式中式中 、分别为分别为“界面界面A”和和“界面界面B”的的透射率；透射率；、分别为法布里分别为法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪“界界面面A”下侧和下侧和“界面界面B”上侧的反射率，而上侧的反射率，而 对应于对应于“界面界面A”下侧反射
19、系数下侧反射系数 在波长在波长 处处的相位，的相位，对应于对应于“界面界面B”上侧反射系数上侧反射系数 在波长在波长 处的相位。处的相位。7.3.4 7.3.4 法布里法布里-珀罗干涉仪透射特性分析珀罗干涉仪透射特性分析 为了分析方便起见，假设膜系为了分析方便起见，假设膜系A和膜系和膜系B无吸收，且无吸收，且 ，则法布里，则法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪“界面界面A”下侧和下侧和“界面界面B”上侧的反射率相上侧的反射率相等，令等，令薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-35)且有且有则式（则式（7-34）化简为）化简为式中式中(7-36)(7-37)(7-38)薄膜光学与薄膜技术基础
20、薄膜光学与薄膜技术基础式（式（7-37）就是法布里）就是法布里-珀罗干涉仪特性的数珀罗干涉仪特性的数学描述，分析如下：学描述，分析如下：1.中心波长中心波长 由式（由式（7-37）可以看出，当）可以看出，当 取最小值取最小值时，透射率取最大值时，透射率取最大值 。对应于最大透射。对应于最大透射率处的波长就是峰值波长率处的波长就是峰值波长 ，也是中心波长，也是中心波长（法布里（法布里-珀罗干涉仪中心波长珀罗干涉仪中心波长 与峰值波长与峰值波长 二二者重合）。中心波长者重合）。中心波长 由条件由条件确定，其中确定，其中k对应的就是法布里对应的就是法布里-珀罗干涉仪的珀罗干涉仪的(7-39)薄膜光学
21、与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础阶。求解可到阶。求解可到当给定反射率当给定反射率 时，时，F确定，确定，是是 的函数，的函数，图图7-6就是法布里就是法布里-珀罗干涉仪透射率随珀罗干涉仪透射率随 的变的变化曲线。由图可见，化曲线。由图可见，当当 取取 的整数倍时，透的整数倍时，透射率出现最大值，由式（射率出现最大值，由式（7-40）就可确定相对）就可确定相对应的中心波长应的中心波长 。每个透射率最大值都对应每个透射率最大值都对应一个中心波长一个中心波长 ，所以法布里，所以法布里-珀罗干涉仪具有许多个通带。相邻两个透射带珀罗干涉仪具有许多个通带。相邻两个透射带之间波长区域的光被抑制掉，起到滤
22、波的作用，之间波长区域的光被抑制掉，起到滤波的作用，(7-40)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础所以称之为所以称之为滤光片滤光片。此外，由式（。此外，由式（7-40），通），通带位置又与间隔层折射率带位置又与间隔层折射率n和厚度和厚度d有关有关,改变改变薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础法布里法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪间隔层物理参数，通带位间隔层物理参数，通带位置还可以移动，这在设计滤光片时很重要置还可以移动，这在设计滤光片时很重要。假。假如式（如式（7-39）中）中 ，正好是间隔层的光学，正好是间隔层的光学厚度为厚度为 的的 倍，倍，也正好与膜系设计中的也正好与膜系设
23、计中的中心波长相同。但如果中心波长相同。但如果 ，中心波长会向，中心波长会向短波方向偏移，如果短波方向偏移，如果 ，中心波长会向长，中心波长会向长波方向偏移，所以此处波方向偏移，所以此处中心波长中心波长 与膜系设计与膜系设计选择的中心波长选择的中心波长 是有差别的，要特别给予注是有差别的，要特别给予注意意。在薄膜光学中，滤光片的特性曲线都是在薄膜光学中，滤光片的特性曲线都是以波长以波长 或相对波数或相对波数 为横坐标（前面章为横坐标（前面章薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础节中采用节中采用 ，波长变化由大变小，而采，波长变化由大变小，而采用用 ，波长变化由小变大），当间隔层折，波长变
24、化由小变大），当间隔层折射率射率n和厚度和厚度d给定后，且膜系给定后，且膜系A和膜系和膜系B反射反射率率R随波长变化的相位随波长变化的相位 也已知，由式（也已知，由式（7-32）可知，可知，取值的变化由入射光波长取值的变化由入射光波长 的变化确的变化确定，图定，图7-7就是以就是以 为横坐标绘制的法布里为横坐标绘制的法布里-珀罗干涉仪透射特性曲线示意图珀罗干涉仪透射特性曲线示意图,图中取图中取 。与图与图7-6相比较，由相对波数相比较，由相对波数 绘制的绘制的曲线透射带是不等间隔的，但透射带的位置一曲线透射带是不等间隔的，但透射带的位置一目了然，目了然，对应的是对应的是 时的中心波时的中心波长
25、长 。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 2.通带半宽度通带半宽度 由图由图7-6可以看出，可以看出，反射率反射率R越大，越大，F就越就越大，法布里大，法布里-珀罗干涉仪的通带（透射带）宽珀罗干涉仪的通带（透射带）宽度就越窄度就越窄，所以通常把式（，所以通常把式（7-37）中的）中的F称之称之为锐度系数或精细度系数。在为锐度系数或精细度系数。在R很大的情况下，很大的情况下，通带的宽度很窄，式（通带的宽度很窄，式（7-37）中）中 的变化很小。的变化很小。记记 对应的角宽度为对应的角宽度为 ，见图，见图7-6，则，则对应的角位置分别为对应的角
26、位置分别为在在 很小情况下，取近似，有很小情况下，取近似，有(7-41)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-42)取取 ，式（，式（7-37）近似为）近似为求解可得求解可得因此，角半宽度为因此，角半宽度为(7-43)(7-44)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-45)以以 为变量，微分式（为变量，微分式（7-39），并取正值，），并取正值，得得由式（由式（7-39），有），有此式代入式（此式代入式（7-46），得到），得到(7-46)(7-47)(7-48)2,0,1,2,ndkk 薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础假设假设 ，得到近似式，得到近似式或者
27、或者式（式（7-49）或者式（）或者式（7-50）就是）就是带宽很窄情况带宽很窄情况下法布里下法布里-珀罗干涉仪的通带半宽度。珀罗干涉仪的通带半宽度。如果取如果取 ，则式（，则式（7-50）分母为）分母为 。如果法布里如果法布里-珀罗干涉仪通带对应的角宽珀罗干涉仪通带对应的角宽度度 是有限值，那么，近似式（是有限值，那么，近似式（7-42）不成立，）不成立，(7-49)(7-50)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础可取可取则则代入式（代入式（7-37）,得到得到 。将式（。将式（7-52）代入式（代入式（7-49），有），有或者或者（7-51）（7-52）(7-53)薄膜光学与薄膜技
28、术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-54)同样可以推导出同样可以推导出 。利用式（。利用式（7-42），），令令求解可得求解可得(7-55)(7-56)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础代入式（代入式（7-49），得到），得到由此可得通带的形状因子为由此可得通带的形状因子为当当 时，取极限，有时，取极限，有(7-57)(7-58)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-59)此式表明，法布里此式表明，法布里-珀罗干涉仪在理想介质情珀罗干涉仪在理想介质情况下的形状因子最小值为况下的形状因子最小值为 ,即透射率即透射率 处的角宽度近似是透射率处的角宽度近似是透射率 处角宽度的处角
29、宽度的10倍。注意，在反射率很小的情况下，式（倍。注意，在反射率很小的情况下，式（7-53）和式（和式（7-57）不可用。）不可用。由式（由式（7-53）可以看出，）可以看出，通带半宽度通带半宽度 与中心波长与中心波长 、法布里、法布里-珀罗干涉仪的阶珀罗干涉仪的阶k和和反射率反射率 有关有关。通带半宽度与中心波长通带半宽度与中心波长 成成正比，中心波长正比，中心波长 越长，通带宽度越宽，如越长，通带宽度越宽，如薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础图图7-7所示。所示。通带半宽度与法布里通带半宽度与法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪的阶的阶k成反比，阶数越高，通带半宽度越窄，成反比，阶数越高
30、，通带半宽度越窄，也就是说法布里也就是说法布里-珀罗干涉仪的间隔层厚度越珀罗干涉仪的间隔层厚度越厚，半宽度越窄。同样厚，半宽度越窄。同样 越大，通带半宽度越大，通带半宽度变窄。所以为了提高法布里变窄。所以为了提高法布里-珀罗干涉仪的分珀罗干涉仪的分辨率可提高法布里辨率可提高法布里-珀罗干涉仪的阶数并增大珀罗干涉仪的阶数并增大内侧两个面的反射率。内侧两个面的反射率。前面的推导是假定前面的推导是假定“界面界面A”下侧的反射下侧的反射率率 与与“界面界面B”上侧的反射率上侧的反射率 相等，这是一相等，这是一种理想的情况。实际上两个界面的反射率总存种理想的情况。实际上两个界面的反射率总存在差别，不可能
31、相等，也必然对通带半宽度产在差别，不可能相等，也必然对通带半宽度产薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础生影响。设生影响。设式中式中 就是两膜系反射率之间的偏差，取值就是两膜系反射率之间的偏差，取值可正可负。在无吸收的情况下，有可正可负。在无吸收的情况下，有代入式（代入式（7-34），取），取 ，并利用式（，并利用式（7-42），有），有(7-60)(7-61)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-62)假定假定 ，取近似，取近似(7-63)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础代入式（代入式（7-62），并略去高阶项），并略去高阶项 ，简化，简化可得可得代入式（代入式
32、（7-49）得到）得到11122RR(7-64)(7-65)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础此式此式表明表明“界面界面A”与与“界面界面B”反射率的微反射率的微小差异会使通带变宽。小差异会使通带变宽。3.3.最大透射率最大透射率 根据式（根据式（7-34）可知，法布里）可知，法布里-珀罗干涉珀罗干涉仪的最大透射率为仪的最大透射率为如果膜系如果膜系A和膜系和膜系B的特性相同，将式（的特性相同，将式（7-35）和式（和式（7-36）代入，得到）代入，得到(7-66)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-67)理想介质的情况下，理想介质的情况下，。但实际上介质存。但实际上介质
33、存在吸收，假设膜系在吸收，假设膜系A和膜系和膜系B的吸收率相同等的吸收率相同等于于 ，由能量守恒关系，由能量守恒关系则法布里则法布里-珀罗干涉仪的最大透射率为珀罗干涉仪的最大透射率为(7-68)(7-69)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础由此由此可以看出，吸收会使最大透射率减小。可以看出，吸收会使最大透射率减小。另外，当法布里另外，当法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪“界面界面A”和和“界面界面B”的反射率不相等时，也会影响到的反射率不相等时，也会影响到最大透射率。将式（最大透射率。将式（7-60）和式（）和式（7-61）代入）代入式（式（7-66），并利用式（），并利用式（7-63），
34、得到最大反），得到最大反射率为射率为(7-70)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础该式第一个相乘因子对应的就是两膜系反射率该式第一个相乘因子对应的就是两膜系反射率相同时的最大值，见式（相同时的最大值，见式（7-67），而第二个相），而第二个相乘因子就是两膜系反射率不同时的影响因子。乘因子就是两膜系反射率不同时的影响因子。图图7-8就是影响因子随两膜系之间反射率偏差就是影响因子随两膜系之间反射率偏差 的曲线，横坐标是的曲线，横坐标是 。由图可见，。由图可见，当当 时，透射率取最大值；当时，透射率取最大值；当 时，最时，最大透射率近似为大透射率近似为0.75，说明法布里，说明法布里-珀罗
35、干涉珀罗干涉仪对两膜系之间反射率偏差仪对两膜系之间反射率偏差“不敏感不敏感”。4.4.最小透射率最小透射率 根据式（根据式（7-37），当取），当取薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-71)时，透射率取最小值时，透射率取最小值 由式（由式（7-71）求得与最小透射率相对应的）求得与最小透射率相对应的位置波长位置波长 为为(7-72)(7-73)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 在无吸收的理想情况下，满足条件式（在无吸收的理想情况下，满足条件式（7-39）,由式（由式（7-37）得到最大透射率）得到最大透射率 ，所以法布里所以
36、法布里-珀罗干涉仪的拟制比为珀罗干涉仪的拟制比为5.5.透射带的精细度透射带的精细度 透射带的半宽度透射带的半宽度 的大小表示透射带的宽的大小表示透射带的宽窄，所以通常用来描述透射带的锐度。而透射窄，所以通常用来描述透射带的锐度。而透射带的角间距带的角间距 与透射带半宽度与透射带半宽度 之比定义为透之比定义为透射带的精细度射带的精细度,在光学教材中也称条纹精细度，在光学教材中也称条纹精细度，(7-74)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础通常用字母通常用字母 表示。利用式（表示。利用式（7-44），有），有显然，反射率显然，反射率 越大，越大，就越大，则透射带就越大，则透射带越精细。比
37、如，越精细。比如，；，；，。6.6.分辨本领分辨本领 当入射光是复色光时，不同波长的光都当入射光是复色光时，不同波长的光都对应于一个透射带。假如两个波长为对应于一个透射带。假如两个波长为 和和(7-75)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础的光对应的透射带角间距恰好为的光对应的透射带角间距恰好为 ，两透射带，两透射带相叠加后的透射率极小点正好对应相叠加后的透射率极小点正好对应 ，此，此时认为两波长透射峰刚好能被人眼所分辨，如时认为两波长透射峰刚好能被人眼所分辨，如图图7-9所示，于是，可定义法布里所示，于是，可定义法布里-珀罗干涉仪珀罗干涉仪的分辨本领为的分辨本领为将式（将式（7-39
38、）和式（）和式（7-45）代入，得到）代入，得到(7-76)(7-77)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础法布里法布里-珀罗干涉仪间隔层的厚度决定干涉仪珀罗干涉仪间隔层的厚度决定干涉仪的阶数的阶数k，一般情况下，阶数，一般情况下，阶数k是个很大的数，是个很大的数，而干涉仪的精细度而干涉仪的精细度 ，所以法布里，所以法布里-珀罗干涉仪的分辨本领是很高的，可达到珀罗干涉仪的分辨本领是很高的，可达到 。7.7.自由光谱范围和抑制区域自由光谱范围和抑制区域 薄膜光学中定义的自由光谱范围与薄膜光学中定义的自由光谱范围与光学光学教材中的定义不同。教材中
39、的定义不同。光学光学教材中定义的自教材中定义的自由光谱范围是指不发生干涉条纹级次重叠时所由光谱范围是指不发生干涉条纹级次重叠时所允许的最大光谱范围，通常用允许的最大光谱范围，通常用 表示。薄膜表示。薄膜薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础光学中定义自由光谱范围是指介质法布里光学中定义自由光谱范围是指介质法布里-珀珀罗干涉仪透射带通滤光片，在其主透射带两边罗干涉仪透射带通滤光片，在其主透射带两边出现透射最大，如图出现透射最大，如图7-10所示，这两个紧邻透所示，这两个紧邻透射最大之间的波长范围称之为自由光谱范围，射最大之间的波长范围称之为自由光谱范围，记作记作 。在两个紧邻透射最大之间低
40、透射率。在两个紧邻透射最大之间低透射率对应的波长范围称之为抑制区域，记作对应的波长范围称之为抑制区域，记作 。需要说明的是在两个紧邻透射最大之间低透射需要说明的是在两个紧邻透射最大之间低透射率是根据实际要求取值的，最低透射率率是根据实际要求取值的，最低透射率 取值取值不同，抑制区域的宽度是不同的，比如低透射不同，抑制区域的宽度是不同的，比如低透射率取值率取值 所对应的抑制区域要比所对应的抑制区域要比 对应的抑对应的抑制区域小得多。制区域小得多。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础8.8.斜入射对透射通带中心波长的影响斜入射对透射通带中心波长的
41、影响 如果法布里如果法布里-珀罗干涉仪间隔层折射率取珀罗干涉仪间隔层折射率取实数实数 ，那么式（，那么式（7-34）对于斜入射也适用，）对于斜入射也适用，此时式中此时式中而而 由折射定律确定，即由折射定律确定，即 与垂直入射时推导中心波长过程相同，可与垂直入射时推导中心波长过程相同，可求得斜入射时的中心波长为求得斜入射时的中心波长为(7-78)(7-79)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(7-80)由于由于 在在 是减函数，所以中心波是减函数，所以中心波长在斜入射时向短波长方向偏移。长在斜入射时向短波长方向偏移。同理可得最小透射率对应的波长为同理可得最小透射率对应的波长为9.9.相
42、色散对通带半宽度的影响相色散对通带半宽度的影响(7-81)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 在推导通带半宽度的表达式（在推导通带半宽度的表达式（7-50）时，）时，除了假定垂直入射外，还假定没有相色散，即除了假定垂直入射外，还假定没有相色散，即如果考虑相色散，将式（如果考虑相色散，将式（7-78）代入式（）代入式（7-38），并用相对波数），并用相对波数 表示，有表示，有对式（对式（7-83）两边微分，可得）两边微分，可得(7-82)(7-83)(7-84)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础斜入射时中心波长斜入射时中心波长 所满足的条件为所满足的条件为式（式（7-85）代
43、入式（）代入式（7-84），求解得到），求解得到将式（将式（7-45）代入，有）代入，有(7-85)(7-86)(7-87)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础显然，相色散的大小取值也影响通带半宽度的显然，相色散的大小取值也影响通带半宽度的宽窄。宽窄。7.3.5 7.3.5 特殊带通滤光片信噪比的计算特殊带通滤光片信噪比的计算 对于特殊用途的带通滤光片，有时需要计对于特殊用途的带通滤光片，有时需要计算滤光片的信噪比算滤光片的信噪比 ，而不是计算滤光片的，而不是计算滤光片的透射率。设带通滤光片的光谱透射率为透射率。设带通滤光片的光谱透射率为 ，信噪比用光源的谱能量分布信噪比用光源的谱能量
44、分布 和探测器的光和探测器的光谱探测灵敏度谱探测灵敏度 定义为定义为(7-88)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础式中式中 、是带通滤光片透射区域的下限波长是带通滤光片透射区域的下限波长和上限波长。和上限波长。7.4 7.4 窄带和中等带宽滤光片窄带和中等带宽滤光片 带通滤光片的通带半宽度如果在带通滤光片的通带半宽度如果在0.1%到到35%的范围，属于窄带和中等带宽滤光片。最的范围，属于窄带和中等带宽滤光片。最简单的窄带滤光片是法布里简单的窄带滤光片是法布里-珀罗干涉仪。珀罗干涉仪。7.4.17.4.1法布里法布里-珀罗干涉滤光片珀罗干涉滤光片 1.1.金属反射膜金属反射膜FPFP干
45、涉带通滤光片干涉带通滤光片 金属反射膜金属反射膜FP干涉带通滤光片是有史以来干涉带通滤光片是有史以来薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础第一个干涉滤光片，也是最简单的干涉滤光片，第一个干涉滤光片，也是最简单的干涉滤光片，这种滤光片构型如图这种滤光片构型如图7-2（a）所示，在两个介）所示，在两个介质平板表面镀高反射金属膜，并由介质层间隔质平板表面镀高反射金属膜，并由介质层间隔构成，通常用符号构成，通常用符号MDM表示。目前，最好的表示。目前，最好的金属反射膜是铝和银，适用的谱范围分别为金属反射膜是铝和银，适用的谱范围分别为0.125到到0.34和和0.34到到3.0。金属。金属反射膜反
46、射膜FP干涉滤光片的通带半宽度大约在干涉滤光片的通带半宽度大约在1%到到8%的范围。图的范围。图7-11是许多个典型是许多个典型FP干涉滤干涉滤光片实测谱透射曲线。光片实测谱透射曲线。FP干涉滤光片介质间隔层内侧上下表面干涉滤光片介质间隔层内侧上下表面存在反射存在反射,反射相位一般取有限值反射相位一般取有限值,由式（由式（7-80）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础可知可知,反射相位会影响到透射最大的位置。但反射相位会影响到透射最大的位置。但是是,一般情况下不考虑反射相位的色散一般情况下不考虑反射相位的色散,所以干所以干涉滤光片的半宽度仅取
47、决于金属膜的反射率和涉滤光片的半宽度仅取决于金属膜的反射率和隔层的阶隔层的阶,见式见式(7-53)。对于金属膜来说，总存。对于金属膜来说，总存在吸收在吸收,由式由式(7-69)可知可知,比率比率 值越大，最值越大，最大透射率就降低越多，所以金属反射膜大透射率就降低越多，所以金属反射膜FP干干涉滤光片的透射率是不高的，通常金属反射膜涉滤光片的透射率是不高的，通常金属反射膜FP干涉仪的最大透射率大约在干涉仪的最大透射率大约在40%左右。对左右。对于具有较窄带宽或较短波长的于具有较窄带宽或较短波长的FP干涉滤光片，干涉滤光片，透射率的大小大约在透射率的大小大约在20%左右，与全介质干涉左右，与全介质
48、干涉带通滤光片相比较，金属反射膜带通滤光片相比较，金属反射膜FP干涉仪的干涉仪的薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础透射率要小得多。透射率要小得多。2 2介质反射膜介质反射膜FPFP干涉带通滤光片干涉带通滤光片 介质介质FP干涉滤光片的基本构型可表示为干涉滤光片的基本构型可表示为其中其中G为基板，为基板，A表示入射介质是空气。表示入射介质是空气。H和和L分别表示高、低折射率四分之一波长层（分别表示高、低折射率四分之一波长层（H、L=，为中心波长），为中心波长），2kL或或2kH为间隔为间隔层，层，k为隔层的阶（为隔层的阶（k=1,2,3,），），m是膜系总是膜系总周期数。如果介质周期数
49、。如果介质FP干涉滤光片一边入射介干涉滤光片一边入射介质为质为(7-89)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础空气，则可在最外层加镀一层低折射率膜层空气，则可在最外层加镀一层低折射率膜层L以提高滤光片的透射率。有时为了提高滤光片以提高滤光片的透射率。有时为了提高滤光片的透射率，也可在基板上镀一层增透膜。的透射率，也可在基板上镀一层增透膜。图图7-12所示为两个介质所示为两个介质FP干涉滤光片透射干涉滤光片透射率随波长变化实测曲线，图率随波长变化实测曲线，图7-12（a）所示滤）所示滤光片的通带半宽度光片的通带半宽度 ，图，图7-12（b）所示滤光片的通带半宽度所示滤光片的通带半宽度 ，
50、两个，两个滤光片都属于窄带通滤光片。由图可以看出，滤光片都属于窄带通滤光片。由图可以看出，介质介质FP干涉滤光片与金属反射膜干涉滤光片与金属反射膜FP干涉滤光干涉滤光片不同之处在于片不同之处在于主透射带两边出现透射最大主透射带两边出现透射最大，也称也称旁通带旁通带。滤掉主透射带两边的旁通带需要。滤掉主透射带两边的旁通带需要薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础两个截止滤光片，短波长区域的旁通带需要长两个截止滤光片，短波长区域的旁通带需要长波通截止滤光片，长波长区域的旁通带需要短波通截止滤光片，长波长区域的旁通带需要短波通截止滤光片。所以一个完整的窄带波通截止滤光片。所以一个完整的窄带FP
