1、2.2.1复习：复习：等差数列 图象特征通项公差定义AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.d=an+1-anan=a1+(n-1)d 等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.例题.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/11数列中，第数列中，第n n项与第项与第m m项有什么关系？项有什么关系？)(*Nnm，其中，已知等
2、差数列已知等差数列aan n 中中,首项为首项为a a1 1，公差为，公差为d,d,an=am+(n-m)d解解:依题得,a am m=a=a1 1+(m-1)d+(m-1)da an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)dnmaadnm变形变形练习练习在等差数列在等差数列aan n 中，中，已知已知a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求d d与与a a1212.解：a1=11(方法一)由题意知，a3=9a a1+2da9=3a a1+8d解得:d=-1所以：a12=a a1+11d1111(-1)=0(方法二)由题意知，a12=a a3+（12-3）d99(-1)=0139
3、933939aad在一个数列中在一个数列中,从第从第2 2项起项起,每一项每一项(有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项.如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,那么那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项.如如:数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：等差数列的性质等差数列的性质1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamn
4、dmnpq mnpqaaaa naNqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，若若且且求证：求证：证明：证明：设首项为设首项为，则，则例例1.1.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd 等差数列的性质等差数列的性质d，公差为，公差为例例2.在等差数列在等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析：a3+a11=a6+a8=
5、2a7，又已知又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=1523例题分析例题分析5 56 64 4n n求a求a10,10,a aa a为等差数列，为等差数列，练习1：已知a练习1：已知a1 10 01 18 81 13 38 81 1n n求求a a1 10 00 0,a aa aa aa a 为为等等差差数数列列，练练习习2 2：已已知知 a a思考题思考题:已知三个数成等差数列的和已知三个数成等差数列的和是是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数.:,.12484422ad a adadaadadaadaadd 解 设这三个数为解 设这三个数为或或设数技巧设数
6、技巧已知三个数成等差已知三个数成等差 数列，且和已知时常数列，且和已知时常利用对称性利用对称性设三数为：设三数为：a-d,a,a+da-d,a,a+d四个数怎么设？四个数怎么设？例3 已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为an=kn+b，其中，其中k,b是常数，那么这个数列是否一定是等差数列吗？是常数，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看a an+1n+1a an n 是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了等差数列的
7、性质等差数列的性质解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项an+1与与an(nN*)an+1an=k(n+1)+b-(kn+b)=(kn+k+b)-kn-b =k它是一个与它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等差数列，且公差是k在通项公式中令在通项公式中令n=1，得，得a1=k+b,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是k+b，公差是，公差是k,1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3a+2 2，则则 a 等于（等于（)A.-1 .-1 B.1 .1 C.-2 .-2 D.2B2.在
8、数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=-4-353.在等差数列在等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0课堂练习课堂练习300 5004.在等差数列在等差数列an中中,a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，84402.已知已知
9、an为等差数列，若为等差数列，若a10=20 ，d=-1，求，求a 3?1.若若a12=23，a42=143，an=263，求，求n.3.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数.d=4n=72a 3=a 10+(3-10)d a 3=27设这三个数分别为设这三个数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6研究性问题研究性问题a amm+a an n=a ap p+a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不
10、成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.3.通项公式扩展，通项公式扩展，a an n=，d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=d2.2.通项公式通项公式 a an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b（k k、b b为常数）为常数）a amm+(n n-mm)d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b=a+cb=a+c4.4.在等差数列在等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：等差数列的性质等差数列的性质5.5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =
