1、第第2章章 数学基础数学基础12023-4-272.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换本章内容本章内容2.2拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.3MatlabMatlab运算基础运算基础第第2章章 数学基础数学基础22.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换可将时域函数拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换变换为频域函数为频域函数F(s)。只要。只要f(t)在区间在区间0,有定有定义，则有义，则有2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础3 0 )()(dtetfsFst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u上式是拉氏变换的定义式。由定义式可上式是拉氏变换的定
2、义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的一个复频域函数。式中的e-st称为称为收敛因收敛因子子，收敛因子中的，收敛因子中的s=+j 是一个复数形是一个复数形式的频率，称为式的频率，称为，其实部恒为正，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上，虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的式左边的，是，是的拉氏变换，的拉氏变换，F(s)也叫做也叫做f(t)的的。记作。记作2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础4)()(tfLsF2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u【例【例2-1】求单位阶跃函数】求单位阶跃函数 、单单
3、位冲激函数位冲激函数 、指数函数指数函数 的象函数。的象函数。解：解：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础5)(1)(ttf)()(ttftetf)()(1)(ttfsesdtedtetftfLsFststst11)()()(000)()(ttf1)()()()()()0(0000sstststedtetdtetdtetftfLsFtetf)(ssedteedtetftfLsFtssttst1)()()(0)(002.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.2 拉普拉斯变换的性质1线性线性性质性质设设函数函数 和函数和函数 的的象函数分别象函数分别为为和和 ，和和 是两个任意的实
4、数，则是两个任意的实数，则2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础6)(1tf)(2tf)(1sF)(2sF1A2A)()()()(22112211tfLAtfLAtfAtfAL)()(2211sFAsFA2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2微分性质微分性质函数函数 的象函数与其导数的象函数与其导数 的象的象函数之间有如下关系：函数之间有如下关系：若：若：则有：则有：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础7)(tfdttdftf)()()()(sFtfL)0()()(fssFtfL2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3积分性质积分性质函数函数 的象函数与其积分的象函数与
5、其积分 的象的象函数之间满足如下关系：函数之间满足如下关系：若：若：则有：则有：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础8)(tfdft0)()()(sFtfLssFdfLt)()(02.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4延迟性质延迟性质函数函数 的象函数与其延迟函数的象函数与其延迟函数 的的象函数之间有如下关系：象函数之间有如下关系：若：若：则有：则有：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础9)(tf)(0ttf)()(sFtfL0)(0stettfL2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5终值定理终值定理函数函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的及其一阶导数都是可拉氏变换的
6、，则，则 的的终值为：终值为：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础10)(tf)(tf)(lim)(lim0ssFtfst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6初值定理初值定理函数函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的及其一阶导数都是可拉氏变换的，则，则 的初的初值为：值为：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础11)(tf)(tf)(lim)(lim)0(0ssFtffst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换7卷积性质卷积性质卷积的定义为：若卷积的定义为：若 和和 可以进行可以进行拉氏变换，称积分拉氏变换，称积分 为为 和和 的的卷积。记为卷积。记为 ，即，即2023-
7、4-27第第2章章 数学基础数学基础12)(1tf)(2tfdtfft)()(201)(1tf)(2tf)()(21tftfdtfftftft)()()()(201212.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u卷积定理为：卷积定理为：若若 ，则：，则：即，即，两两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反卷积性质在求解拉式反变换的时候，起着十分重要的作用。变换的时候，起着十分重要的作用。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础13)()(11sFtfL)()(22sFtfL)()()()(2121sFsFtftfL2.2
8、 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.1 拉普拉斯反变换的定义拉式反变换的定义如下：拉式反变换的定义如下：式中式中为为正的有限常数。正的有限常数。通常可用符号通常可用符号 表示对方括号里的复表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换，记作变函数作拉氏反变换，记作2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础14dsesFjtfjjst)(21)(1L)()(1sFLtf2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分式展开自动控制系统的响应的象函数自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可通常可以表示为两个实系数的以表示为两个实系数的s的多项式之比，即的多项式之比
9、，即s的一个有理分式：的一个有理分式：其中其中m和和n为正整数，且为正整数，且nm。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础15nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换把上式把上式F(s)分解成若干简单项之和，分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求需要对分母多项式作因式分解，求出出D(s)=0的根，可以有三种情况：的根，可以有三种情况：D(s)=0有有n个单根个单根D(s)=0有重根有重根D(s)=0有共轭复根有共轭复根2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础160)(sD2.2
10、2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1、D(s)=0有有n个单根个单根设设n个单根分别为个单根分别为p1,p2，,pn，于是，于是F(s)可可以展开为：以展开为：式中，式中，k1,k2，,kn为待定系数。为待定系数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础17nnpskpskpsksF2211)(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待定系数确定方法：待定系数确定方法：上式两边同乘以上式两边同乘以 ，得得令令 ，等式除右边第一项外其余都变，等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得为零，即可求得同理，可求得其余的系数。同理，可求得其余的系数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学
11、基础18)(1ps nnpskpskpsksFps22111)()()(1ps 1)()(11pssFpsk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待待定系数确定之后，对应的原函数定系数确定之后，对应的原函数求解公式为求解公式为：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础19tpntptpnekekeksFLtf21211)()(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u【例【例2-1】求】求 的原函的原函数数f(t)。解：解：的的两个根两个根为：为：,代入代入公式得公式得2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础206554)(2ssssF54)(ssN65)(2sssD0)
12、(sD21p32p3354)()2(221sssssFsk7254)()3(332sssssFsk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u得到象函数为：得到象函数为：u得到原函数为：得到原函数为：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础213723-)(sssFtteetf3273-)(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2、D(s)=0有重根有重根设设p1为为D(s)=0的重根，其余的全部都为单的重根，其余的全部都为单根，则根，则F(s)可以分解为可以分解为对于单根，仍然采用前面的方法计算。对于单根，仍然采用前面的方法计算。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础2
13、2)()()(11221122111nnpskpskpskpsksF2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换对于对于 和和 ，则需要用到下式，则需要用到下式：由上式把由上式把 单独分离出来，可得：单独分离出来，可得：再对式再对式上上中的中的s求一阶导数，求一阶导数，分离分离 ，得，得2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础2311k12k1-1-22211211121)()()()(nnpskpskpskpsksFps11k1)()(2111pssFpsk12k1)()(2112pssFpsdsdk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换如果如果D(s)=0具有具有q阶重根时，其
14、余为单根时阶重根时，其余为单根时的分解式为的分解式为式中式中2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础24)()()()(22111112111pskpskpskpsksFqqq1)()(111psqsFpsk1)()(112psqsFpsdsdk1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换【例【例2-2】求】求 的原函数的原函数f(t)解：令解：令 =0重根为重根为p1=0，单根为，单根为 p2=-22023-4-27第第2章章 数学基础数学基础252322132)(sssssF232)(sssD2)2(1322132)(2122
15、1122232sksksksssssssssF023221112132)0()()(1spsqssssssFpsk212.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础26022202)2()2)(132()2()132(2132ssssssssssssdsd45023221122132)0()()(1spsqsssssdsdsFpsdsdk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u得到象函数为：得到象函数为：u得到原函数为：得到原函数为：2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础2722222132)()2(ssssssFsk432434521
16、)(2ssssFtettf2434521)(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3、D(s)=0有共轭复根有共轭复根设共轭复根为设共轭复根为 ，则则2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础28jp1jp2jsjssDsNsFjsk)()()()(1jsjssDsNsFjsk)()()()(22.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u由于由于F(s)是实系数多项式之比，故是实系数多项式之比，故k1和和k2也为共轭复数。也为共轭复数。u设设 ，则，则 ，有，有2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础29jekk11jekk12tjtjekektf)(2)(1)(tjjtjj
17、eekeek)(1)(1)()(1tjtjteeek)cos(21tekt2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换【例【例2-3】求】求 的原函数的原函数f(t)u解：解：求得两共轭复根为求得两共轭复根为2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础30523)(2ssssF52)(2sssDjp211jp212421125.05.05.0223)()(1jjpsejsssDsNk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础3141225.0jjeekk)cos(2)(1tektft)42cos(2tet2.3 MATLAB2.3 MATLAB
18、运算基础运算基础2.3.1 矩阵运算1矩阵的建立矩阵的建立矩阵矩阵是以是以“”为开始，以为开始，以“”为结束，为结束，矩阵同一行之间以空格或者逗号分隔，行矩阵同一行之间以空格或者逗号分隔，行和行之间以分号或者回车符分隔。建立矩和行之间以分号或者回车符分隔。建立矩阵的方法有直接输入矩阵的元素、在现有阵的方法有直接输入矩阵的元素、在现有矩阵中添加或者删除元素、采用现有的矩矩阵中添加或者删除元素、采用现有的矩阵组合、矩阵转向、矩阵移位及直接通过阵组合、矩阵转向、矩阵移位及直接通过函数建立矩阵等。函数建立矩阵等。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础322.3 MATLAB2.3 MATLAB
19、运算基础运算基础2矩阵的函数建立矩阵的函数建立（1）单位矩阵）单位矩阵单位矩阵可以用函数单位矩阵可以用函数“eye(m,n)”实现实现，其中：，其中：m是要生成的矩阵的行数，是要生成的矩阵的行数，n是要是要生成的矩阵的列数。生成的矩阵的列数。（2）全为）全为1的矩阵的矩阵全部元素为全部元素为1的矩阵可以用函数的矩阵可以用函数“ones(m,n)”来生成，其中：来生成，其中：m是要生成的是要生成的矩阵的行数，矩阵的行数，n是要生成的矩阵的列数。是要生成的矩阵的列数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础332.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础（3）全为）全为0的矩阵的
20、矩阵元素全部为元素全部为0的矩阵可以用函数的矩阵可以用函数“zeros(m,n)”来生成，其中：来生成，其中：m是要生成的是要生成的矩阵的行数，矩阵的行数，n是要生成的矩阵的列数。是要生成的矩阵的列数。（4）魔方矩阵）魔方矩阵魔方魔方矩阵可以用函数矩阵可以用函数“magic(m)”来来生成，其中：生成，其中：m是要生成的矩阵的维数。是要生成的矩阵的维数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础342.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础（5）随机矩阵）随机矩阵随机矩阵可由函数随机矩阵可由函数“rand(m,n)”或者或者“randn(m,n)”来实现，它们分别表示生成来实
21、现，它们分别表示生成的元素服从的元素服从01间的均匀分布的随机矩阵间的均匀分布的随机矩阵，元素服从均值为，元素服从均值为0和方差为和方差为1的正态分布的正态分布的随机矩阵。的随机矩阵。3矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加矩阵之间可以进行加“+”、减、减“-”、乘、乘“*”、除、除“/”、“”、幂、幂“”、对数、对数“logm”、和指数和指数“expm”运算。在进行左除运算。在进行左除“/”和右和右除除“”时，两个矩阵的维数必须相同。时，两个矩阵的维数必须相同。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础352.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础4矩阵的函数运算矩
22、阵的函数运算（1）矩阵的行列式和转置）矩阵的行列式和转置矩阵的行列式的值可以用函数矩阵的行列式的值可以用函数“det()”来计算；转置矩阵是矩阵元素的转换，来计算；转置矩阵是矩阵元素的转换，可用函数可用函数“rot90”、“fliplr”等来实现等来实现。（2）矩阵的特征值和特征向量）矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的运算可矩阵的特征值和特征向量的运算可用函数用函数“eig()”或者或者“eigs()”来实现。来实现。（3）矩阵的秩和迹）矩阵的秩和迹矩阵的秩可用函数矩阵的秩可用函数“rank()”来实现来实现，矩阵的迹可用函数，矩阵的迹可用函数“trace()”来实现。来实现。20
23、23-4-27第第2章章 数学基础数学基础362.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2.3.2 符号运算符号运算1、符号符号对象的创建和对象的创建和使用使用符号对象的创建可由函数符号对象的创建可由函数“sym()”和和“syms()”完成完成2、符号表达式的操作符号表达式的操作MATLAB符号表达式的操作涉及符号运算符号表达式的操作涉及符号运算中的因式分解、展开、化简等，它们在符中的因式分解、展开、化简等，它们在符号运算中非常重要，其相关的一些函数操号运算中非常重要，其相关的一些函数操作命令及功能如下作命令及功能如下表表2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础372.3
24、 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础382.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2.3.3 关系运算和逻辑运算u在在MATLAB中，关系运算和逻辑运算有中，关系运算和逻辑运算有其规定的关系运算符号和逻辑运算符号其规定的关系运算符号和逻辑运算符号，其符号和功能如表，其符号和功能如表2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础39关系运算符逻辑运算符2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础u此外此外MATLAB还提供了几个关系和逻辑函数这些还提供了几个关系和逻辑函数这些函数有：函数有：uxor(x,y)，
25、该函数表示逻辑异或，如果，该函数表示逻辑异或，如果x或者或者y中的中的任意一个不为零，而另一个为零，就返回任意一个不为零，而另一个为零，就返回true，如果如果x和和y同时为零或者同时不为零，就返回同时为零或者同时不为零，就返回false。uany(x)，该函数表示如果向量，该函数表示如果向量x的任意一个元素不的任意一个元素不为零，就返回为零，就返回true，对于数组，对于数组x的每一列，如果任的每一列，如果任何一个元素不为零，该列返回何一个元素不为零，该列返回true。uall(x)，该函数表示如果向量，该函数表示如果向量x中的所有元素都不中的所有元素都不为零，则返回为零，则返回true，对于数组，对于数组x的每一列，如果所的每一列，如果所有的元素都不为零，该列返回有的元素都不为零，该列返回true。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础40结结 束束41
