1、阶段性测试题九 平面解析几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2012潍坊模拟)若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m的值为()A1B1C1或1 D4答案A解析两直线x2y50与2xmy60互相垂直12(2)m0即m1.(理)(2012潍坊模拟)已知两直线l1：xm2y60，l2：(m2)x3my2m0，若l1l2，则实数m的值为()A0或3 B1或3C0或1或3 D0或1答案D解析(1)当m0时，l1
2、：x60，l2：x0，l1l2；(2)当m0时，l1：yx，l2：yx，由且，m1.故所求实数m的值为0或1.2(文)(2012陕西师大第一次模拟)过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2y24x6y10的周长，则直线l的斜率为()A. B1C. D.答案A解析圆的方程可化为(x2)2(y3)212因为l平分圆C的周长，所以l过圆C的圆心(2，3)，又l过P(1,2)，所以kl，故选A.(理)(2012商丘一模)若点P(1,1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10答案D解析圆心C(3,0)，kCP，由kCPkMN1，得
3、kMN2，所以MN所在直线方程是2xy10.故选D.3(2012温州模拟)若双曲线y21的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()A. B.C. D2答案C解析由题意知a214，a，e.4(2012西宁一模)已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为()Ay2x By2xCy2x8 Dy2x4答案B解析设点P(x，y)，R(x1，y1)，(1x1，y1)(x1，y)，即又点R在直线l上，y2(2x)4，即2xy0为所求5(2012咸阳调研)若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为()A. B.C. D.答案B解析因为椭圆离心率e，即，也即，所以
4、，则1，即，双曲线离心率e，故选B.6(文)(2011北京文)已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图像上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3C2 D1答案A解析设C(t，t2)，由A(0,2)，B(2,0)易求得直线AB的方程为yx2.点C到直线AB的距离d.又|AB|2，SABC|AB|d|t2t2|.令|t2t2|2得t2t22，t2t0或t2t40，符合题意的t值有4个，故满足题意的点C有4个(理)(2011江西理)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. (，)B. (，0)(0, )C. ，D
5、( ， )( ，)答案B解析C1：(x1)2y21.C2：y0或ymxmm(x1)当m0时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m0时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m.即直线处于两切线之间时满足题意，则m0或0m.综上知m0或0m.7(2012合肥模拟)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A. B3C. D.答案D解析设椭圆短轴的一个端点为M.由于a4，b3，cb.F1MF2b0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y22bx的焦点为F.若3，则此椭圆
6、的离心率为()A. B.C. D.答案B解析F，F1(c,0)，F2(c,0)，且3，c3c，即bc.a2b2c22c2，e.9(2012郑州一模)如下图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A. B.C. D1答案D解析连接AF1，则F1AF290，AF2B60，|AF1|F1F2|c，|AF2|F1F2|c，cc2a，e1.10(2012洛阳调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，若|BC|2|BF|，且|AF|3
7、，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x答案C解析如下图所示，分别过点A、B作AA1、BB1与准线垂直，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，于是可得直线AB的倾斜角为60.又由|AF|3得|AF|AA1|3|AC|，于是可得|CF|AC|AF|633，|BF|CF|1.|AB|AF|BF|314.设直线AB的方程为y(x)，代入y22px得3x25pxp20，|AB|AF|BF|AA1|BB1|xAxBxAxBpppp4，p，即得抛物线方程为y23x.故选C.解法二：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|2|BF
8、|得点B到准线的距离为|BF|，则，l与准线夹角为30，则直线l的倾斜角为60.由|AF|3，如图作AHHC，EFAH，则AE3p，则cos60，故p.抛物线方程为y23x.第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11(2012长春模拟)设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为_答案抛物线解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物
9、线的特征，故点C的轨迹为抛物线点评本题考查用定义法求点的轨迹，考查学生数形结合和转化与化归的思想方法12(文)(2011北京文)已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.答案2解析本题主要考查双曲线的基本性质双曲线的渐近线方程为yx，因为a1，又知一条渐近线方程为y2x，所以b2.(理)(2011江西文)若双曲线1的离心率e2，则m_.答案48解析本题主要考查双曲线的基本性质c2a2b216m，又e，e2，m48.13(2012济南一模)设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsinAayc0与bxysinBcosC0的位置关系是_答案垂直解析在ABC中，由
10、正弦定理得，asinBbsinA0，两直线垂直14(文)(2012伊春一模)已知点A(1,0)，B(2,0)若动点M满足|0，则点M的轨迹方程为_答案y21解析(1)设M(x，y)，则(1,0)，(x2，y)，(x1，y)，由|0得，(x2)0.整理得y21.(理)(2012洛阳调研)若焦点在x轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是_答案b且b0解析设椭圆的两焦点为F1(c,0)，F2(c,0)以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b0.15(2012杭州
11、质检)过抛物线x22py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p_.答案2解析抛物线的焦点坐标为F(0，)，则过焦点斜率为1的直线方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2x1)由题意可知y10，y20.由，消去y得x22pxp20.由韦达定理得：x1x22p，x1x2p2.所以梯形ABCD的面积为S(y1y2)(x2x1)(x1x2p)(x2x1)3p3p3p2.所以3p212，又p0.所以p2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分
12、)(2012南京模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线xy70及xy50上，求AB中点M到原点距离的最小值解析设AB中点为(x0，y0)，又(x1x2)(y1y2)12，2x02y012，x0y06.原点到x0y06距离为所求，即d3.17(本小题满分12分)(2012银川一模)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围解析(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2.得圆 O的方程为x2y24.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2
13、,0)，x1x2.由x24即得A(2,0)，B(2,0)设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)由于点P在圆O内，故由此得y2b0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率；(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2 的方程解析本题主要考查了抛物线及椭圆的方程和性质，并涉及求离心率问题，重心坐标公式，曲线与曲线的交点等内容，注重运算变形能力的考查，综合性较强(1)椭圆的焦点为(，0)，代入抛物线方程a2b2b0b2，e.(2)由(1)问a22b2
14、，椭圆方程为1，即x22y22b2.设N(x0，y0)，M(x0，y0)，Q(3，b)，则重心(1，)，代入抛物线方程，抛物线C1的方程为y1x2，椭圆C2的方程为：y21.(理)(2012惠州调研)已知点(x，y)在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x2y28；定点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0)，直线l与曲线C交于A，B两个不同点(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围解析(1)在曲线C上任取一个动点P(x，y)，则点(x,2y)在圆x2y28上所以有x2(2y)28.整理得曲线C的方程为1.(2)直线l平行于OM，且在y
15、轴上的截距为m，又kOM，直线l的方程为yxm.由得x22mx2m240.直线l与椭圆交于A、B两个不同点，(2m)24(2m24)0，解得2m2且m0.m的取值范围是2m0或0m0)的左、右焦点(1)当PC，且0，|PF1|PF2|4时，求椭C的左、右焦点F1、F2；(2)F1、F2是(1)中椭圆的左、右焦点，已知F2的半径为1，过动点Q作F2的切线QM，使得|QF1|QM|(M是切点)，如图所示，求动点Q的轨迹方程解析(1)c2a2b2，c24m2.又0，PF1PF2，|2|2(2c)216m2.由椭圆定义可知|PF1|PF2|2a2m，(|PF1|PF2|)216m2824m2.从而得m
16、21，c24m24，c2，F1(2,0)，F2(2,0)(2)F1(2,0)，F2(2,0)，已知|QF1|QM|，即|QF1|22|QM|2，|QF1|22(|QF2|21)，设Q(x，y)，则(x2)2y22(x2)2y21，即(x6)2y234(或x2y212x20)综上所述，所求轨迹方程为(x6)2y234.点评基础知识熟练即可顺利解决第(1)问，第(2)问用到了直译法求轨迹方程，运算要细心(理)(2012太原一模)如下图所示，等腰三角形ABC的底边BC的两端点是椭圆E：1(ab0)的两焦点，且AB的中点D在椭圆E上(1)若ABC60，|AB|4，试求椭圆E的方程；(2)设椭圆离心率为
17、e，求cosABC.解析(1)因为ABC60，且ABC为等腰三角形，所以ABC是正三角形又因为点B，C是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c，则2c|BC|AB|4，如图所示，连结CD，由AB中点D在椭圆上，得2a|BD|CD|AB|AB|22，所以a1，从而a242，b2a2c22，故所求椭圆E的方程为1.(2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，且|AD|DB|m，连结CD，则|BO|OC|c，|DC|2am，在RtAOB中，cosABC. 在BCD中，由余弦定理，得cosABC. 由式得2m，代入式得cosABC.21(本小题满分14分)(文)(2012北京东城区模拟)已知椭圆C的
18、中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2:.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解析(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，得解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212(1)x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以4m4.故
19、实数m的取值范围是1,4(理)(2011湖南文)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与轨迹C相交于点A、B，l2与轨迹C相交于点D、E，求的最小值解析(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x1x21.因为l1l2，所以l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)11(2)11(24k2)184(k2)84216.当且仅当k2，即k1时，取最小值16.
