1、历年自主招生试题分类汇编概率统计2. （2014年华约）乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,求为多少时,取得最大值.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为; 若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为,因此 , 所以,; 设,则, 即, 所以, 又因为,所以,故, 所以令时,即,得; 又因为,所以取,易知当时,时,所以当时,有唯一极大值,也是最大值.4. （2013年华约）7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望;(3)若所取出的
2、4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为;(2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知, ,01234 ,即的分布列为: 所以其数学期望为 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算)(3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求.（13）（2012年华约）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。（1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论
3、增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。解答：显然,注意到，所以= =因此，当p时，递增，当P时，递减。14、（2011年华约）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.解（I）显数，；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.（II）共分三种情况：1）如果第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；2）如果第次出现正面，第次出
4、现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；3）如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面.那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是.综上， (III)由(II)知： ，有时，单调递减，又，时，数列单调递减，且有下界0.的极限存在记为.对两边同时取极限可得，故.其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的概率非常小.14（2010年华约）假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）
5、子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由解：（）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为，的概率如下表：父本、母本的基因型式相应情况出现的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率父母父母父母父母父母父母父母父母父母子一代的基因型式为的概率为 . 由对称性知子一代的基因型式为的概率为 . 子一代的基因型式为的概率为 若记，则， ，子一代三种基因型式：，的比例为. （）由（）可知子二代的基因型式为，的比例为，其中 ，.由，可得，.故子二代三种基因型式，的比例为，与子一代基因
6、型式的比例相同. 5. （2014年卓越联盟）已知,且的概率为,求.【解】由题知所有事件的空间为,其对应区域为矩形,面积为,而事件,其对应区域面积为 ,所以由古典概型知,即,解得.1、 （2013年卓越联盟文）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，该点落在内任一小区域的概率只与该小区域的面积成比例，则该点落入区域内的概率为 答案:（7）（2012年卓越联盟）试，是从集合中随机选取的数（）求直线与圆有公共点的概率（）设为直线与圆的公共点的个数，求随机变量的分布列及数学期望。解答：（）直线与圆有公共点的充要条件为有实根，整理即知：有实根，即 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，都有公共点
7、.（）的分布列为：012于是知： (14) （2011年卓越联盟）一袋中有a个白球和b个黑球从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn()求EX1；()设,求；()证明： 【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故
