1、历年自主招生试题分类汇编三角函数7. （2014年北约）证明是无理数.【证明】由三角公式, 若是有理数,则为有理数,再由和可得为有理数,这与为无理数矛盾!因此,是无理数.法二：设，则，这与矛盾9（2013年北约）对于任意的，求的值解析 ， ， ， ， 各式相加，得题7（2012年北约）求使得在上有唯一解的。解： 设关于直线对称故在上有唯一解，只能或当时，此时在上不是唯一解，舍去当时，此时时， 且，得为唯一解 评析：本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。4. （2011年北约）在中,求证:.【解】由正弦定理知,又因为,所以,又因为时,所以(当时取等号),而所以即.1（
2、2010年北约），求证：【解析】 不妨设，则，且当时，于是在上单调增即有同理可证，当时，于是在上单调增。在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解5（2010年北约）存不存在，使得为等差数列（25分）【解析】 不存在；否则有，则或者若，有而此时不成等差数列；若，有解得有而，矛盾！3. （2014年华约）函数的最大值为1,最小值为,求的值.【解】易知,令, 则问题等价于在上的最大值和最小值分别为1和.当对称轴,即时,则在上递减,则 ,解得当对称轴,即时,则, 消去得,解得,舍去.综上可知,为所求.2. （2013年华约）,求与的值【解】由,平方相加得;另一方面由可得由式可得,由/式得,也所以即
3、求.（1）（2012年华约）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 解：由于因为是锐角三角形所以。选A.（8）（2012年华约）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，则的长为（ ）(A) (B) (C)10 (D) 解答:连接DF，则有DF垂直AC,由已知条件有cosB=,cosC=,所以sinB=,sinC=，于是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB=sinB.因此A=B,即ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为CDB=CEB=，
4、所以B,C,D，E四点共圆，ABC=BAE,因此ADE为等腰三角形，所以，DF 垂直AC知，AF=FE=9（11）（2012年华约）在中，的对边分别为。已知（1）求的大小（2）若，求的值.解：（1）（2）4、（2011年华约）若的最小值和最大值分别为 ( )分析首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：降次：把三角函数的平方去掉；去角：原来含两个角，去掉一个。解：，可见答案是B11、（2011年华约）已知不是直角三形.（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列.求的值.解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知。又，而，代入得， ，5（2010年华约）在中，三边长，满足，则的值为（
5、C ）（A） （B） （C） （D）11（2010年华约）在中，已知，外接圆半径（）求角的大小；（）求面积的最大值解：（）由得所以即，因为为内角，所以，（）又由余弦定理得，即又，所以有，当且仅当即为等边三角形时，的面积取得最大值8. （2014年卓越联盟）已知(1)已知,求最大值;(2)若求的值.【解】(1)易知, , 由于,其中, 所以当,即时, 又在上递减,所以, 当时取到最大值.综上可知当时,.(2)由,且, 现在已知,则等价于,解得.1、 （2013年卓越联盟）已知函数（，）的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有的点（ ）A先向右平移个单位长度，再将所得点
6、的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变答案:B2、 （2013年卓越联盟）设函数若、，且，则ABCD答案:（文科）D3、 （2013年卓越联盟）在中，三个内角、所对的边分别为、已知 求角的大小； 求的最大值答案:（本小问6分）于是，解得 （本小问7分）由得，所以，所以当时，取到最大值（2）（2012年卓越联盟）函数的值域为 。【解答】令函数的值域为.（3）（2012年卓越联盟）设，则，的大小关系为 _。【
7、解答】根据条件知，因为，所以为递减函数，所以，于是.（6）（2012年卓越联盟）设函数，其中，若在常数，使对任意有，则可取到的最小值为 。【解答】先证明：根据条件，所以，若，则，然而对于任意，当时， 的值域是，矛盾；若，则，然而对于任意，当 时，的值域是，或矛盾.所以，又,所以.从而，所以是的一个周期，所以，当显然满足条件，所以可取到的最小值为(2) （2011年卓越联盟）已知sin2(a+g)=nsin2b，则等于( D )(A)(B)(C)(D)(12) （2011年卓越联盟）在ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kACABCDE()求k的取值范围；()若SABC=1，问k为何值时，BC最短？【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.
