1、空间中直线与直线之间的位置关系 一、选择题 1已知异面直线a，b分别在平面、内，且c,那么直线c一定（ ） A与a、b都相交； B只能与a、b中的一条相交； C至少与a、b中的一条相交； D与a、b都平行 2、若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则 a和c的位置关系是（ ） A异面或平行 B异面或相交 C异面 D相交、平行或异面 3分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A一定平行 B一定相交 C一定异面 D相交或异面 4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ） A B C D 5三条直线两两垂直，
2、那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ）这三条直线必共点；其中必有两知是异面直线；三条直线不可能共面；其中必有两条在同一平面内 A4个 B3个 C2个 D1个 6空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ） A空间四边形 B矩形 C菱形 D正方形 二填空题 7和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是_ 8在长方体ABCDA1B1C1D1中AA1a，BAB1B1A1C130，则异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为_ 9四面体ABCD中，ABCD2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF，则AB与CD所成的角为_ 10已知直线a、b、ca，直线a、b、c是两
3、两异面的三直线，且aa，bb，cc，若a、b、c，两两所成的角均等于，则_ 11已知a，b是一对异面直线，而且a平行于ABC的边AB所在直线，b平行于AC所在的直线，若cosBAC，则a，b所成的角为_ 三、解答题 12如图，已知平面与平面相交于直线m，n，且mnA，直线la且lm证明n、l是异面直线 13已知直线ab，a与平面相交于A，求证：b与平面必相交 14在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，对角线BD，AC，求AC和BD所成的角 15已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，并且有，试证EF、GH、BD共点或两两平行 16在长方体AB
4、CDA1B1C1D1中，若ABBC3，AA14，求A1B和B1C所成角的余弦值 四、思考题 已知异面直线a、b所成的角为60，在过空间一定点P的直线中，与a，b所成的角均为60的直线有多少条？过P与a、b所成角均为50，或均为70的直线又各有多少呢？ 希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况： 已知异面直线a，b所成的角为0且090，过空间一点P的直线中与a，b所成的角均为的直线有多少条？参考答案一、选择题1C 2D 3D 4D 5D 6B二、填空题7相交、平行或异面；8；960；1060；1130三、解答题12证明：若n
5、、l共面，设该平面为g，An，ng，Ag又lg，平面g经过点A和直线l，平面g与重合由于与g重合，且mg，平面g经过直线m和nm与n是相交直线，g与也重合，于是与重合，这就与条件m矛盾，故假设不成立n、l是异面直线13证明：ab，a，b可确定平面，Aa，A是与的公共点与相交，设l，则Al，alA在平面内b与l必相交，b与必相交，交点即为b与l的交点14证明：AB、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EFBD，FGAC，再取AC的中点H，则EHBC，HGAD，ADBC，EHHG，EG2EH2HG21在EFG中，EG2EF2FG21，E
6、FG90，AC与BD所成的角为9015证明：如图，连AC、EG、FH，在ABC中，EGAC同理FHAC，于是根据公理4可知：EGFHE、F、H、G四点共面于，于是EF与HG只有相交与平行两种可能（）若EF与HG相交，设交点为P，则PEF平面ACDP平面ACD，同理可知：P平面BCDP是平面ABD与平面BCD的公共点两平面的交线BD必过P点FE、GH、BD共点（）若EF与HG平行，则必有EFBDEF、BD平面ABD，若EF与BD不平行，则EF与BD就相交，设交点为Q，则EF平面EFHG，QBD平面BDC，Q是平面EFHG与平面BDC的公共点又HG是这两个平面的交线，QHG，EFHGQ这就与EFH
7、G相矛盾，故假设错误EFBD同理可证：HGBD故由公理4知：EF、HG、BD两两平行16解：如图，连接A1D，BC，由长方体性质易知，A1DB1C，DA1B即为A1B与B1C所成角或其补角由题设易求A1D5，A1B5，BDcosDA1BA1B与B1C所成角的余弦值为四、思考题解：3条；2条；4条如图10，过点P分别作异面直线a、b的平行线a、b设l1、l2是a、b确定内，由a、b所成角的角平分直线于是，当时，满足条件的直线不存在；当时，满足条件的直线仅有一条，就是l1；当90时，满足条件的直线有2条；当90时，满足条件的直线有3条；当9090时，满足条件的直线有4条；当90时，满足条件的直线仅有1条
