1、物理奧林匹亞競賽試題與解答文/林明瑞本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。本期刊登二道試題。【本期試題評註】：一般人認為物理的思維很複雜，但是實際上它的基礎很簡單，只是少數幾條基本的定律而已！表面上看似複雜的實際問題，若選對適當的思考切入點，應用數學和邏輯推演，則問題的內貌層層展開，一覽無遺，物理學的美妙就是如此！物理雙月刊（廿八卷三期）2006年6月622一、古典二維都卜勒效應(a) 如圖一所示，有一訊號源S以等速度v向+x方向運動，訊號在空中的傳播速率為u，訊號源本身所發出的頻率為，在地面上的靜止觀察者P所接收到的訊號頻率為f。在訊號源的飛行軌跡上
2、，O點為最靠近P點的位置，取為x軸的原點，兩者之間的距離為h。設訊號源S的時空坐標為，訊號源離觀察者的距離r x，試證。vPuvSrhxOvt圖一(b) 1957年10月4日俄國人首先成功發射史波尼克號人造衛星（Sputnik I），進入環繞地球的軌道，並對地面傳送無線電頻率的訊號。當年10月7日，美國麻省理工學院的林肯實驗室接收到該人造衛星所傳送的訊號，如圖二所示。圖中x軸上的數字代表格林威治標準時間，例如334代表3時34分，335代表3時35分。利用上題所得的古典二維都卜勒公式，計算史波尼克號人造衛星飛經該地的速率和距該實驗室的最近距離。vPuvS1S2Ohx圖三圖二解：(a) 參看圖三
3、，訊號源S以等速度v向+x方向運動，訊號的傳播速率為u，訊號源本身所發出的訊號週期為，觀察者P所測得的訊號週期為。設S1的時空坐標為，經一個週期後，其時空坐標變為，由圖上的幾何關係可得 由於，故，以之代入上式，得(b) 人造衛星的軌道雖然是橢圓形，但從地面上觀察，所見者僅為其軌跡的一小段，近乎為一直線，因此衛星訊號的都卜勒效應符合上題所描述的情況。由於無線電訊號以光速傳送，利用上題所得的二維都卜勒公式，得 另由圖三的幾何關係得由上兩式消去，得令，上式可變為此為一線性方程式。當衛星自遠處而來，趨向觀察者時，即， ；而衛星離觀察者遠去時，即， 。因此，即。利用圖二的數據，可得將圖二的數據轉變為對的
4、關係直線，如圖四所示。圖中直線的斜率，截距，利用此二值，可得 圖四二、帶電粒子在正交電磁場中的運動軌跡如圖五所示，兩平行的電極板之間形成一均勻的電場，在此電場上另加有一均勻的磁場，其方向為向內垂直於紙面，兩者構成一均勻的正交電磁場。現有一質量為m，帶有正電量q的粒子，從左方沿著平行於兩極板之間的中央平分線（即向著+x方向），且垂直於磁場的方向，以速度v射入此正交電磁場內。回答下列問題：Oxyvq圖五(a) 若入射粒子的速度值恰好等於某一特定值，則此粒子將沿同一直線作等速度運動，試求此值。(b) 若粒子的入射速度v，不等於，則該粒子的運動軌跡將不會是一條直線，那麼粒子的入射速度v為何值時，有可能
5、使該粒子在整個運動過程中，會出現逆轉向左方運動的情形（即向著-x方向運動）？(c) 承(b)小題，分成下列兩種情況，分別導出帶電粒子的運動軌跡方程式，並畫出其圖形：(i) 若；(ii) 若。解：(1) 帶電粒子在電磁場中所受的電力；所受的磁力，故粒子所受的合力為若該粒子沿直線作等速度運動，則，其速度必須滿足下列條件：(2) 若，則入射粒子的速度可寫為，即可分成兩個速度分量和，前者使粒子沿直線作等速度運動，後者使粒子受到磁力的作用，而作等速率圓周運動。粒子的運動方程式可寫為粒子的運動軌跡為上述等速度直線運動和等速率圓周運動的合成。單就等速率圓周運動而言，上式中的速度分量所引起的磁力，提供粒子作圓
6、周運動所需的向心力，設其圓軌跡的半徑為R，若，則圓心位在x軸的上方，得 圓周運動的角頻率為。粒子在x方向的速度分量是由等速度直線運動的和等速率圓周運動的x軸速度分量共同決定，即。等速率圓周運動的x軸速度分量，向-x方向的最大速度值為，故vx的最小值為。因此若欲使粒子的運動轉向-x方向，則需滿足下列的條件： (3) 由於粒子的運動軌跡為等速度直線運動和等速率圓周運動的合成，因此可先分別求出這兩個運動在x和y方向的位移，再求其合位移。(i) 若等速度直線運動：等速率圓周運動：由於，故粒子沿逆時鐘方向作圓運動，圓心位在x軸的上方。參考下圖，由圖上的幾何關係可得粒子軌跡的參數方程式為ORxyC上式為擺線方程式。粒子的軌跡圖形可分成三種情況，如下所述：(1)（粒子會出現向-x方向的運動）Oxy(2)（粒子的運動方向恆朝向+x方向）Oxy(3)（粒子的運動方向恆朝向+x方向）yOx(ii) 若等速度直線運動：等速率圓周運動：由於，故粒子沿逆時鐘方向作圓運動，圓心位在x軸的下方。參考下圖，可得粒子軌跡的參數方程式為式中。粒子在x軸的速度分量的最小值為OxyC故粒子的運動方向恆朝向+x方向，其軌跡圖形如下所示：Oxy
