1、高三年级（数学） 第 1 页（共 6 页） 海淀区高三年级第二学期二模试卷 数 数 学学 2020. 6 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）若全集U R，|1Ax x，|1Bx x，则 （A）AB （B）BA （C） U BA （D） UA B （2）下列函数中，值域为0, )且为偶函数的是 （A） 2 yx （B） |1|yx （C） c
2、osyx （D）lnyx （3）若抛物线 2 12yx的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则| |PF等于 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 （4）已知三条不同的直线, ,l m n和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为 （A）若/m，/n，则/m n （B）若/lm，m，则/l （C）若/l，/l，则/ （D）若/l，l，则 （5）在ABC中，若7a ，8b ， 1 cos 7 B ，则A的大小为 （A） 6 （B） 4 （C） 3 （D） 2 （6） 将函数( )sin(2) 6 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度， 得到函数( )g x的图象， 则( )g x （A
3、）sin(2) 6 x （B） 2 sin(2) 3 x （C）cos2x （D）cos2x 高三年级（数学） 第 2 页（共 6 页） （7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边 长为 1，那么该三棱锥的体积为 （A） 2 3 （B） 4 3 （C）2 （D）4 （8）对于非零向量, a b，“ 2 ()2abaa”是“ = ab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9） 如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2， 点O为底面ABCD的中心， 点P在侧面 11 BBC C 的边界及其内部运动. 若 1
4、 DOOP，则 11 DC P面积的最大值为 （A） 2 5 5 （B） 4 5 5 （C）5 （D）2 5 （10） 为了预防新型冠状病毒的传染， 人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议室 共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司 规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所 示情况不满足条件（其中“”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容 纳的就座人数为 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 主视图左视图 俯视图 A B C D 1 A1 B 1 C 1 D O P 高三年级（数学） 第 3
5、 页（共 6 页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）若复数(2i)(i)a为纯虚数，则实数a _. （12）已知双曲线E的一条渐近线方程为yx，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以 为_.（写出一个即可） （13）数列 n a中， 1 2a =， 1 2 nn aa + =，*nN. 若其前k项和为126，则k =_. （14） 已知点(2,0)A，(1,2)B，(2,2)C，| |APABAC，O为坐标原点， 则|AP _， OP与OA夹角的取值范围是_. （15）已知函数 1,0, ( ) |ln |,0. axx f
6、 x xx 给出下列三个结论： 当2a 时，函数( )f x的单调递减区间为(,1)； 若函数( )f x无最小值，则a的取值范围为(0,)； 若1a 且0a ，则b R，使得函数( )yf xb恰有 3 个零点 1 x, 2 x, 3 x，且 123 1x x x . 其中，所有正确结论的序号是_. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16） （本小题共 14 分） 已知 n a 是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为 n S. 又 ，且 5 40S ，是否 存在大于1的正整数k,使得 1k SS ？若存在，求k的值；若不存在，说明理由. 从 1
7、 4a ， 2d 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。 高三年级（数学） 第 4 页（共 6 页） （17） （本小题共 14 分） 在四棱锥PABCD中，底面A B C D为直角梯形， /BCAD，90ADC， 1 1 2 BCCDAD，E为线段AD 的中点. PE 底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF 与棱PD相交于点G. （）求证： /BE FG； （）若PC与AB所成的角为 4 ，求直线PB与平面BEF 所成角的正弦值 （18） （本小题共 14 分） 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的
8、诊疗模式，某 地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务. 已知该地区居民约为 2000 万， 从 1 岁到 101 岁 的居民年龄结构的频率分布直方图如图 1 所示. 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况， 现 调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所示. （）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （）若以图 2 中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的 概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约 家庭医生的概率； （）据统计，该地区被访者的签约率约为 44
9、%. 为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提高 到 55%以上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解 30.3 37.1 55.7 61.770.0 75.8 2图 O1830 20 40 60 80 315051606170718081以上 年龄段 %签约率（ ） 年龄（单位：岁） 1 图 O21 31415161718191101111 0.018 0.021 0.016 频率 组距 0.015 0.010 0.004 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.0025 0.0005 0.008 0.005 A B CD P E G F 高
10、三年级（数学） 第 5 页（共 6 页） 释. （19） （本小题共 15 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy W ab (0)ab过(0,1),(0, 1)AB两点，离心率为 3 2 . （）求椭圆W的方程； （） 过点A的直线l与椭圆W的另一个交点为C， 直线l交直线2y 于点M， 记直线BC， BM的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 k k的值. （20） （本小题共 14 分） 已知函数( )e (sincos ) x f xxx. （）求( )f x的单调递增区间； （）求证：曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线. （21） （本小题共 14
11、分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点. 对任意的点( , )P x y，定义| |OPxy. 任取点 1122 (,),(,)A x yB xy，记 1221 ( ,),(,)A x yB xy，若此时 2222 |OAOBOAOB 成立，则称点, A B相关. （）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ( 2,1), (3,2)AB； (4, 3),C(2,4)D. （）给定*nN，3n，点集( , )|, , n x ynxnnyn x y Z. ()求集合 n 中与点(1,1)A相关的点的个数； ()若 n S ，且对于任意的,A BS，点, A B相关，求S中元素个数的最大值
12、. 高三年级（数学） 第 6 页（共 6 页） 海淀区高三年级第海淀区高三年级第二二学期学期期末练习期末练习参考答案参考答案 数数 学学 2020.6 阅卷须知阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C C A B C C 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 11 12 1
13、3 14 15 答案 1 2 22 1 44 xy 6 1，0, 6 注：第 12 题答案不唯一，写出一个形如 22 22 1 xy aa 或 22 22 1 yx aa （ 2 2a ）的方程即可；第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 14 分） 解：选择条件，不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 解法 1 理由如下： 0 高三年级（数学） 第 7 页（共 6 页） 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又 1 4a ，
14、 5 40S . 所以由 1 1 4, 51040 a ad 得 2.d 所以 1 (1)42(1)22 n aandnn. 又因为 11 0 nnn SSa ， 所以数列 n S 为递增数列.即1k ，都有 1k SS . 所以不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 解法 2 理由如下： 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又 1 4a ， 5 40S . 所以由 1 1 4, 51040 a ad 得 2.d 所以 2 1 (1)(1) 423 22 k k kk k Skadkkk . 令 1 4 k SS，即 2 340kk. 解得1k 或4k .
15、 因为1k ，所以1k 与4k 均不符合要求. 所以不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 选择条件，存在正整数12k ,使得 1k SS. 理由如下： 高三年级（数学） 第 8 页（共 6 页） 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又2d ， 5 40S . 所以由 1 2, 51040 d ad 得 1 12.a 所以 2 1 (1)(1) 12( 2)13 22 k k kk k Skadkkk . 令 1 12 k SS，即 2 1312kk. 整理得 2 13120kk.解得1k 或12k . 因为1k ，所以12k . 所以当12k 时， 1k
16、 SS. （17） （本小题共 14 分） （）证明：因为E为AD中点，所以 1 1 2 DEAD. 又因为1BC ，所以DEBC. 在梯形ABCD中，/DEBC， 所以四边形BCDE为平行四边形. 所以/BECD. 又因为BE 平面PCD，且CD 平面PCD， 所以/BE平面PCD. 因为BE 平面BEF，平面BEF平面PCDFG， 所以/BEFG. （）解： （解法 1）因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 因为四边形BCDE为平行四边形，90ADC， 所以AEBE. 高三年级（数学） 第 9 页（共 6 页） 以E为坐标原点，如图建立空间直角
17、坐标系E xyz . 则 (0,0,0)E ， (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， ( 1,1,0)C ， ( 1,0,0)D . 设 (0,0,)Pm（0m ） ， 所以(1, 1,)CPm，( 1,1,0)AB . 因为PC与AB所成角为 4 ， 所以cos,CP AB= CP AB CPAB = 2 2 22m =cos 4 2 2 . 所以2m . 则(0,0,)2P， 1 12 (,) 2 22 F . 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0 0. EB EF ，n
18、 n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令2x ，则1z ，所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . （） （解法 2） 连结EC, A B C D P E G F x y z 高三年级（数学） 第 10 页（共 6 页） 因为/AEBC且AEBC，所以四边形ABCE为平行四边形. 所以/ABCE. 因为PC与AB所成角为 4 ，所以PC与CE所成角为 4 . 即 4 PCE . 因为PE 平面ABCD，且CE 平面ABCD， 所以PECE. 又因为 2 EDC ，所以平行四
19、边形BCDE是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中，2PECE. 因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 又因为AEBE， 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz 则 (0,0,0)E ， (0,1,0)B ，(0,0,)2P， ( 1,1,0)C ， 1 12 (,) 2 22 F . 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0. EB EF ，n n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令2x ，则1z ，所以( 2,
20、0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 高三年级（数学） 第 11 页（共 6 页） 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . （18） （本小题共 14 分） 解: （）由图 1 可知，该地区居民中年龄在 7180 岁的频率为0.004 10=4%. 由图 2 可知，样本中年龄在 7180 岁居民家庭医生的签约率为 70.0%， 因为该地区居民人数约为 2000 万， 所以该地区年龄在 7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为 20004% 70.0%=56（万人）. （）由题意，从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取一人，其签
21、约家庭医生的概率为 7 10 . 设 i A表示事件“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，其中第 i 个人已签约家 庭医生” （1,2i ） ， 则 7 () 10 i P A ， 73 ()1 1010 i P A （1,2i ）. 设事件 C 为“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有 1 人已签约 家庭医生” ， 则 1221 CA AA A. 所以 1212 733721 ( )() ()() () 1010101050 P CP A P AP A P A. 所以这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为 21 50 . （）应着重提高年龄在 3150
22、 岁居民的签约率. 理由如下： 依题意， 该地区年满 18 周岁居民签约率从44%提高到55%以上， 需至少提升11%； 年龄在 3150 岁居民人数在该地区的占比约为： 21%+16%=37%，占比大； 年龄在 3150 岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； 该地区年满 18 周岁居民的人数在该地区的占比约为： 0.008+0.005 0.7) 10=0.8851-(； 所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至100%，可将该地区年满 18 高三年级（数学） 第 12 页（共 6 页） 周岁居民签约率提升37% (1 37.1%)0.88537% 62.9%23%，大于 1
23、1%. （19） （本小题共 15 分） 解： （）由题意， 222 1 3 2 . b c a abc ， ， 解得 2, 1. a b 所以椭圆W的方程为 2 2 1 4 x y. （）由题意，直线l不与坐标轴垂直. 设直线l的方程为： 1ykx （0k ）. 由 22 1, 44. ykx xy 得 22 (41)80kxkx. 设 11 ( ,)C x y ，因为 1 0x ，所以 1 2 8 41 k x k . 得 2 11 22 814 11 4141 kk ykxk kk . 即 2 22 814 (,) 41 41 kk C kk . 又因为 (0, 1)B ，所以 2 2
24、1 2 14 1 1 41 8 4 41 k k k k k k . 由 1, 2. ykx y 得 1 , 2. x k y 所以点M的坐标为 1 ( ,2) k . 所以 2 21 3 1 kk k . 所以 12 13 3 44 kkk k . 高三年级（数学） 第 13 页（共 6 页） （20） （本小题共 14 分） 解： （）( )e (sincos )+e (cossin ) xx f xxxxx 2e cos x x. 令( )0,fx得22() 22 kxkk Z. 所以( )f x的单调递增区间为(2,2) 22 kk ()kZ. （）证明： 要证曲线( )yf x在区间
25、(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线， 即证方程( )2fx 在区间(0,) 2 上有且只有一个解. 令( )fx2e cos2 x x，得e cos1 x x . 设c(1)eos x g xx， 则( )e cose sin2e sin() 4 xxx g xxxx . 当(0,) 2 x 时，令( )0g x，得 4 x . 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,) 4 4 (,) 4 2 ( )g x 0 ( )g x 极大值 所以( )g x在(0, ) 4 上单调增，在(,) 4 2 上单调减. 因为0(0)g,所以当(0, 4 x 时，(
26、)0g x ； 又1(0) 2 g ，所以当(,) 4 2 x 时，( )g x有且只有一个零点. 所以当(0,) 2 x 时，c(1)eos x g xx有且只有一个零点. 高三年级（数学） 第 14 页（共 6 页） 即方程2( )fx，(0,) 2 x 有且只有一个解. 所以曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线. （21） （本小题共 14 分） 解： （）由题知( 2,2),(3,1)AB，进而有 2222 |(2+1)(32)34OAOB， 2222 |(2+2)(3 1)32OAOB， 所以 2222 |OAOBOAOB. 所以,A B两点相关； 由题
27、知(4,4),(2, 3)CD，进而有 2222 | =4+3)(24)85OCOD（， 2222 |4+4)(23)89OCOD（， 所以 2222 |OCODOCOD， 所以,C D两点不相关. （）()设(1,1)A的相关点为( , )B x y，, x yZ，,nxnnyn , 由题意，(1, )Ay，( ,1)B x. 因为点,A B相关，则 2222 42| 12| 12|xyxyyyxx . 所以| 10xyxy . 所以(| 1)(| 1)0xy. 当0x 时,|0,1y ,则(1,1)A相关点的个数共 3 个; 当| 1x 时,则(1,1)A相关点的个数共42n个; 高三年级
28、（数学） 第 15 页（共 6 页） 当| 2x 时, | 1y ，则(1,1)A相关点的个数共4 (1)n n个. 所以满足条件点 B 共有 2 4 (1)42345n nnn (个). ()集合S中元素个数的最大值为81n. (0,0),(0, 1),( 1, 1),( 1,),( 2,),(,)Snnnn 符合题意 下证：集合S中元素个数不超过81n. 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y，若点,A B相关，则 2222 11112222 2|2|xyxyxyxy 2222 12122121 2|2|xyxyxyxy. 则 1 1221221 | |x yx yx yx
29、y. 所以 1212 (|)(|)0xxyy. 设集合S中共有m个元素，分别为( ,) iii A x y，1im ，*iN， 不妨设 12 | | m xxx，而且满足当 1 | | ii xx， 1 | | ii yy . 下证： 12 | | m yyy. 若 1 | | ii xx， 1 | | ii yy . 若 1 | | ii xx，则必有 1 | | ii yy . 记， 11 | iiiii dxyxy ，11im ，*iN， 显然，数列 i d至多连续 3 项为 0，必有 123 1 iiii dddd ， 假设81mn， 则 1281123481 ()21 nn dddd
30、ddddn . 而 12818181 | 21 nnn dddxxyyn , 高三年级（数学） 第 16 页（共 6 页） 因此，必有 1 0x 或 1 0y . 可得， 12 ,d d不可能同时为 0，则 12 1dd. 所以 1281123481 ()()2 nn ddddddddn . 必有 88 | | nn xyn， 11 0xy. 所以， 1 1d ， 23 0dd. 因此 22 | 1xy， 33 | 1xy， 44 | 1xy. 若 2 | 1x ，则 234 ,(1,0),( 1,0)A A A ，矛盾. 同理， 2 | 1y ，矛盾. 因此，假设不成立. 所以81mn. 所以集合S中元素个数的最大值为81n.
